三二重積分的換元法課件

三二重積分的換元法36、如果我們國家的法律中只有某種神靈，而不是殫精竭慮將神靈揉進(jìn)憲法，總體上來說，法律就會(huì)更好。——馬克·吐溫37、綱紀(jì)廢棄之日，便是暴政興起之時(shí)?！ての锾?8、若是沒有公眾輿論的支持，法律是絲毫沒有力量的?！屏ζ账?9、一個(gè)判例造出另一個(gè)判例，它們迅速累聚，進(jìn)而變成法律?！炷岫蛩?0、人類法律，事物有規(guī)律，這是不容忽視的。——愛獻(xiàn)生三二重積分的換元法三二重積分的換元法36、如果我們國家的法律中只有某種神靈，而不是殫精竭慮將神靈揉進(jìn)憲法，總體上來說，法律就會(huì)更好?！R克·吐溫37、綱紀(jì)廢棄之日，便是暴政興起之時(shí)?！ての锾?8、若是沒有公眾輿論的支持，法律是絲毫沒有力量的?！屏ζ账?9、一個(gè)判例造出另一個(gè)判例，它們迅速累聚，進(jìn)而變成法律?！炷岫蛩?0、人類法律，事物有規(guī)律，這是不容忽視的。——愛獻(xiàn)生*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分的計(jì)算法第十章且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為X-型區(qū)域則若D為Y-型區(qū)域則一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分的計(jì)算法第十章例1.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X-型區(qū)域,則解法2.將D看作Y-型區(qū)域,

則例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則例3.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X-型域:先對(duì)x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y-型區(qū)域,則例5.

計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分對(duì)應(yīng)有在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為即設(shè)則特別,對(duì)此時(shí)若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)例6.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.注:利用上題可得一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,①故①式成立.又例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對(duì)稱性可知*三、二重積分換元法

定積分換元法滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xOy面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則同理得當(dāng)h,k充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),例8.

計(jì)算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則例9.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則例10.

試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱性令則D的原象為的體積V.內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換2.交換積分順序提示:積分域如圖作業(yè)P1521(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);

11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);

15(1),(4);

*19(1);

*20(2)

第三節(jié)解：原式備用題1.給定改變積分的次序.2.計(jì)算其中D為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.謝謝！61、奢侈是舒適的，否則就不是奢侈?！狢ocoChanel

62、少而好學(xué)，如日出之陽；壯而好學(xué)，如日中之光；志而好學(xué)，如炳燭之光。——