考研數(shù)學(xué)習(xí)題課-基礎(chǔ)班-第十講下課件

一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法線面積分的計算積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲面積分（一）對面積的曲面積分的概念及計算方法（二）對坐標(biāo)的曲面積分的概念及計算方法（三）高斯公式及斯托克斯公式

二、曲面積分的計算法（四）物理應(yīng)用（一）對面積的曲面積分的概念及計算方法①定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分f(x,y,z)是定義在上的一個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對做任意分割和局部區(qū)域任意取點,

則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對面積說明：(1):積分曲面(也稱積分區(qū)域)；積分區(qū)域：假定光滑或逐片光滑.逐片光滑：曲面分成若干塊后,每塊光滑.光滑曲面:曲面上各點處都有切平面,且當(dāng)點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.1.對面積的曲面積分的概念及性質(zhì)故二重積分是第一類曲面積分的特例.假定：第一類曲面積分總是存在的，重點是計算第一類曲面積分.②第一類曲面積分的性質(zhì)(假定下面的面積分都存在)結(jié)論1關(guān)于對稱關(guān)于是偶函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)如果積分曲面關(guān)于平面對稱（輪換對稱性）則結(jié)論2P184題2.設(shè)一卦限中的部分,則有().(2000考研)2.對面積的曲面積分的計算方法化為二重積分計算證明:由定義知所以類似的有溫馨提示：向哪個坐標(biāo)面投影，由所給積分曲面方程的形式?jīng)Q定.注意：對面積的曲面積分的計算步驟如下：簡述為：一代、二換、三投影代：將曲面的方程代入被積函數(shù)換：換面積元投影：將曲面投影到坐標(biāo)面得投影區(qū)域xyzo11D例1.Dxyzo11D利用對稱性例1.說明：第一類曲面積分的簡化計算方法（1）曲面積分與曲線積分一樣，可用積分曲面的方程代入被積表達式化簡被積函數(shù).（2）利用曲面積分的幾何意義簡化計算曲面積分.（3）利用積分曲面的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性簡化計算曲面積分；或用輪換對稱性.（4）利用規(guī)則幾何體的質(zhì)心坐標(biāo).預(yù)備知識：有向曲面及曲面元素的投影1.曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶分上側(cè)和下側(cè)分內(nèi)側(cè)和外側(cè)分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)其方向用法向量的2.指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,

指向表示:其方向用法向量的指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定2.指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,

表示:點處的單位法向量.注:3.有向曲面元的投影：ab同理可定義：（二）對坐標(biāo)的曲面積分的概念及計算方法類似地：①定義:1.對坐標(biāo)的曲面積分的概念及性質(zhì)說明:②對坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)：③兩類曲面積分的聯(lián)系：故兩類面積分的關(guān)系的的向量形式：---法向量注：由這個關(guān)系式就可把第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分，用第一類曲面積分的計算方法計算2.對坐標(biāo)的曲面積分的計算方法從而有即由所給積分的形式確定將向哪個坐標(biāo)面投影.注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).概括為：代換：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù),然后代入被積函數(shù)一代換、二投影、三定號將其化成二元函數(shù).投影：將積分曲面投影到與有向面積元素(如dxdy)中兩個變量同名的坐標(biāo)面上(如xoy面).定號:由曲面的方向,即曲面的側(cè)確定二重積分前的正負號.注積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計算，結(jié)果相加②確定正負號的原則：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時為正，曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時為負.(2)“合一投影法”或“點積法”例2.解:下側(cè)則由公式得：說明：積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計算，結(jié)果相加.②要寫出積分曲面的方程、側(cè)及投影區(qū)域.由所給積分的形式確定將向哪個坐標(biāo)面投影.③第二類曲面積分的簡化計算方法有：ⅰ.利用積分曲面的方程代入被積函數(shù)，化簡被積函數(shù).ⅱ.利用積分曲面的垂直性.ⅲ.利用兩類曲面積分的關(guān)系化簡計算第二類曲面積分.例3.計算解:利用兩類曲面積分之間的關(guān)系上側(cè)例4.解:利用向量點積法下側(cè)（三）高斯公式及斯托克斯公式高斯公式2.使用Guass公式時應(yīng)注意:（1）是否滿足高斯公式的條件:

封閉性，有向性，連續(xù)性.（2）（3）是對什么變量求偏導(dǎo)數(shù).相當(dāng)于：解:于是取上側(cè)注意:1.是否滿足高斯公式的條件

（封閉性，有向性，連續(xù)性）200420062009所圍區(qū)域內(nèi)偏導(dǎo)，不連續(xù)（因在原點不連續(xù)）所圍區(qū)域閉合非閉注意定理使用的條件：有向性；連續(xù)性；封閉性.右手法則：說明:(任意選一種記住它)利用斯托克斯公式得解:則其法向量（四）物理應(yīng)用2.曲面的質(zhì)心坐標(biāo)例9.解:由對稱性故質(zhì)心坐標(biāo)為例10.已知曲面殼求此曲面殼在平面z=1以上部分的質(zhì)量M.的面密度解:

在xoy面上的投影為

故4.通量

設(shè)是場內(nèi)的一片有向曲面

n是上點(x,y,z)處的單位法向量則稱為向量場A通過曲面向著指定側(cè)的通量(或流量)

5.環(huán)流量的定義:經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWill