第五章-函數(shù)與基數(shù)課件

第五章函數(shù)與基數(shù)5.1函數(shù)基本概念5.2函數(shù)類型5.3函數(shù)運(yùn)算5.4基數(shù)7/23/202315.1函數(shù)基本概念函數(shù)也常稱為映射或變換，其定義如下：

定義5.1.1

設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合，且f是從A到B的關(guān)系，若對(duì)每一個(gè)xA，都存在唯一的yB，使?x,y?f，則稱f為從A到B的函數(shù)，并記作f:AB。A稱為函數(shù)f的定義域，即D(f)=A，B稱為函數(shù)f的陪域，R(f)稱為函數(shù)f的值域，且R(f)B。有時(shí)也用f(A)表示函數(shù)f的值域，即7/23/20232f(A)=R(f)={y|yB∧(x)(xA∧y=f(x))}

并稱f(A)為函數(shù)f的像。對(duì)于f:AB來(lái)說(shuō)，若?x,y?f，則稱x為函數(shù)的自變?cè)?，稱y為函數(shù)因變?cè)?，因?yàn)閥值依賴于x所取的值，或稱y是f在x處的值，或稱y為f下x的像。通常把?x,y?f記作f(x)=y。7/23/20233從本定義可以看出，從A到B的函數(shù)f和一般從A到B的二元關(guān)系之不同有以下兩點(diǎn)：①A的每一元素都必須是f的有序?qū)Φ牡谝环至俊＂谌鬴(x)=y，則函數(shù)F在x處的值是唯一的，即f(x)=y∧f(x)=zy=z7/23/20234

定義5.1.2

設(shè)f:AB，g:CD，若A=C，B=D，且對(duì)每一xA都有f(x)=g(x)，則稱函數(shù)f和g相等，記為f=g。本定義表明了，兩函數(shù)相等，它們必須有相同的定義域、陪域和有序?qū)稀?/23/20235下面討論由集合A和B，構(gòu)成這樣函數(shù)f:AB會(huì)有多少呢？或者說(shuō)，在AB的所有子集中，是全部還是部分子集可以定義函數(shù)？令BA表示這些函數(shù)的集合(稱為由集合A到集合B的超冪)，即BA={f|f:AB}

設(shè)|A|=m，|B|=n，則|BA|=nm。(這里|A|表示集合A的基數(shù),或者叫勢(shì))這是因?yàn)閷?duì)每個(gè)自變?cè)?，它的函?shù)值都有n種取法，故總共有nm種從A到B的函數(shù)。7/23/202365.2函數(shù)類型根據(jù)函數(shù)具有的不同性質(zhì)，可以將函數(shù)分成不同的類型。本節(jié)將定義這些函數(shù)，并給出相應(yīng)的術(shù)語(yǔ)。7/23/20237

定義5.2.1

設(shè)f:AB是函數(shù)，若R(f)=B，即對(duì)任意bB，存在aA，使得f(a)=b，或形式表為：(y)(yB(x)(xA∧f(x)=y))

則稱f:AB是滿射函數(shù)，或稱函數(shù)f:AB是滿射的。本定義表明了，在函數(shù)f的作用下，B中每個(gè)元素b，都至少是A中某元素a的像，因此，若A和B是有限集合，存在滿射函數(shù)f:AB，則|A|≥|B|。7/23/20238

定義5.2.2

設(shè)f:AB是函數(shù)，對(duì)任意的a，bA，且ab，都有f(a)f(b)，或形式表為(x)(y)(x,yA∧xyf(x)f(y))

則稱f:AB是單射函數(shù)，或稱函數(shù)f:AB是單射的。本定義揭示了，A中不同的元素，其在B中像也是不同的。于是，若A的B是有限集合，存在單射函數(shù)f:AB，則|A|≤|B|。7/23/20239

定義5.2.3

設(shè)f:AB是函數(shù)，若f既是滿射又是單射，則稱f:AB是雙射函數(shù)（或一一對(duì)應(yīng)），或稱函數(shù)f:AB是雙射的。該定義說(shuō)明了，B中的每個(gè)元素b是且僅是A中某個(gè)元素a的像。因此，若A和B是有限集合，存在雙射函數(shù)f:AB，則|A|=|B|。7/23/2023107/23/202311

定義5.2.4

設(shè)f:AB是函數(shù)，若存在bB，使對(duì)任意aA有f(a)=b，即f(A)=，則稱f:AB為常值函數(shù)。7/23/202312

定義5.2.5

設(shè)f:AA是函數(shù)，若對(duì)任意aA，有f(a)=a，亦即f={?a,a?|xA}

則稱f:AA為A上恒等函數(shù)，通常記為IA，因?yàn)楹愕汝P(guān)系即是恒等函數(shù)。由定義可知，A上恒等函數(shù)IA是雙射函數(shù)。7/23/202313

定義5.2.6

設(shè)A和B為集合，且AB，若函數(shù)fA:B{0,1}為

1xA

fA(x)= 0否則則稱fA為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)建立了函數(shù)與集合的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。于是，可通過(guò)特征函數(shù)的計(jì)算來(lái)研究集合上的命題。7/23/202314

定義5.2.7

設(shè)?A,≤?和?B,≤?為全序集，函數(shù)f:AB。對(duì)于任意a,bA.①若a≤b，有f(a)≤f(b)，則稱f為單調(diào)遞增函數(shù)。②若a≤b，有f(a)≥f(b)，則稱f為單調(diào)遞減函數(shù)。7/23/202315③若a≤b，且ab，有f(a)＜f(b)，則稱f為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。④若a≥b，且ab，有f(a)＜f(b)，則稱f為嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。顯然，嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)。7/23/2023165.3函數(shù)運(yùn)算函數(shù)是一種特殊關(guān)系，對(duì)關(guān)系可以進(jìn)行運(yùn)算，自然對(duì)函數(shù)也需要討論運(yùn)算問(wèn)題，即如何由已知函數(shù)得到新的函數(shù)。7/23/2023171．函數(shù)復(fù)合利用兩個(gè)具有一定性質(zhì)的已知函數(shù)通過(guò)復(fù)合運(yùn)算可以得到新的函數(shù)。

定理5.3.1

設(shè)f:AB和g:BC是函數(shù)，通過(guò)復(fù)合運(yùn)算

，可以得到新的從A到C的函數(shù)，記為g

f，即對(duì)任意aA，有(gf)(x)=g(f(x))。7/23/202318注意，函數(shù)是一種關(guān)系，今用“”表示函數(shù)復(fù)合運(yùn)算，記為gf，這是“左復(fù)合”，它與關(guān)系的“右復(fù)合”f*g次序正好相反，即有g(shù)

f=f*g。7/23/202319推論1

若f,g,h都是函數(shù)，則(f

g)h=f(gh)。本推論表明，函數(shù)復(fù)合運(yùn)算是可結(jié)合的。若對(duì)于集合A，f:AA，則函數(shù)f能同自身復(fù)合成任意次。f的n次復(fù)合定義為：①f0(x)=x②fn+1(x)=f(fn(x))，nN。7/23/202320定理5.3.2

設(shè)f:AB，g:BC①若f:AB，g:BC都是滿射，則g

f:AC也是滿射。②若f:AB，g:BC都是單射，則g

f:AC也是單射。③若f:AB，g:BC都是雙射，則g

f:AC也是雙射。7/23/202321定理5.3.3

若f:AB是函數(shù)，則f=fIA=IBf本定理揭示了，恒等函數(shù)在復(fù)合函數(shù)運(yùn)算中的特殊性質(zhì)，特別地，對(duì)于f:AA，有fIA=IA

f=f。7/23/2023222．函數(shù)逆運(yùn)算給定關(guān)系R，其逆關(guān)系是存在，但對(duì)已知一函數(shù),它作為關(guān)系其逆是存在,但未必是函數(shù).例如,A={a,b,c},B={1,2,3},f={?a,1?,?b,1?,?c,3?}是函數(shù),而f-1={?1,a?,?1,b?,?3,c?}卻不是從B到A的函數(shù)。但若f:AB是雙射，則f-1便是從B到A的函數(shù)。

定理5.3.4

若f:AB是雙射，則f-1:BA也是雙射。7/23/202323

定義5.3.1

設(shè)f:AB是雙射函數(shù),稱f-1:BA是f的逆函數(shù),習(xí)慣上常稱f-1為f的反函數(shù)。

定理5.3.5

設(shè)f:AB是雙射函數(shù),則

f-1f=IA，ff-1=IB

定理5.3.6

若f:AB是雙射,則(f-1)-1=f。7/23/2023245.4基數(shù)1．基數(shù)定義首先選取一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)集合”Nn={0,1,2,···,n-1}，再用雙射函數(shù)為工具，給出集合基數(shù)的定義如下：7/23/202325

定義5.4.1

設(shè)A是集合，若f:NnA為雙射函數(shù)，則稱集合A是有限集，A的基數(shù)是n，記為|A|=n，或cardA=n。若集合A不是有限的，則稱A是無(wú)限集。本定義表明了，對(duì)于有限集合A，可以用“數(shù)”數(shù)的方式來(lái)確定集合A的基數(shù)。

定理5.4.1

自然數(shù)集合N是無(wú)限集。為了確定某些無(wú)窮集合的基數(shù)，選取第二個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)集合”N來(lái)度量這些集合。7/23/202326

定義5.4.2

設(shè)A是集合，若f:NA為雙射函數(shù)，則稱A的基數(shù)是0，記為|A|=0。顯然，存在從N到N的雙射函數(shù)，故|N|=0，0讀作“阿列夫零”。符號(hào)0是康托引入的。0是一個(gè)無(wú)法確定的數(shù),是一個(gè)抽象的描述。

7/23/202327

定義5.4.3

設(shè)A是集合，若|A|=0，則稱A是可數(shù)無(wú)限集；若A是無(wú)限的且不可數(shù)的，則稱A是不可數(shù)集或不可數(shù)無(wú)限集。7/23/202328在上述基數(shù)定義中，是使用兩個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)集合”Nn和N以及雙射函數(shù)（或一一對(duì)應(yīng)），引入了集合基數(shù)的概念。這種方式可以把基數(shù)簡(jiǎn)單地看作對(duì)集合指派一個(gè)符號(hào)，指派原則是：與Nn構(gòu)成雙射或一一對(duì)應(yīng)的集合，指派它的基數(shù)是n，與N構(gòu)成雙射或一一對(duì)應(yīng)的集合，指派它的基數(shù)為0。指派空集的基數(shù)為0。7/23/2023292．基數(shù)比較基數(shù)概念是有限集合元素個(gè)數(shù)的推廣?？蓴?shù)(無(wú)限)集的基數(shù)都等于0。那么,無(wú)限集的基數(shù)都一樣嗎?有沒(méi)有最大的基數(shù)呢？7/23/202330在集合基數(shù)的基礎(chǔ)上，可以建立相等關(guān)系和次序關(guān)系，進(jìn)行基數(shù)比較和基數(shù)運(yùn)算，這里僅討論前者。

定義5.4.4

設(shè)A和B為任意集合(包括無(wú)限集)①若有一個(gè)從A到B的雙射函數(shù)，則稱A和B有相同基數(shù)（或稱A與B是等勢(shì)），記為|A|=|B|（或AB）。7/23/202331②若有一個(gè)從A到B的單射函數(shù)，則稱A的基數(shù)小于等于B的基數(shù)，記為|A|≤|B|。③若有一個(gè)從A到B的單射函數(shù)，但不存在雙射函數(shù)，則稱A的基數(shù)小于B的基數(shù)，記為|A|＜|B|。7/23/202332由于在復(fù)合運(yùn)算下，雙射函數(shù)是封閉的，雙射函數(shù)的逆函數(shù)（即常說(shuō)反函數(shù)）是雙射函數(shù)，因此等勢(shì)關(guān)系有以下性質(zhì)：

定理5.4.3

等勢(shì)是任何集合族上的等價(jià)關(guān)系。7/23/202333從上面定義及定理可知：①等勢(shì)是集合族上的等價(jià)關(guān)系，它把集合族劃分成等價(jià)類，在同一等價(jià)類中的集合具有相同的基數(shù)。因此可以說(shuō)：基數(shù)是在等勢(shì)關(guān)系下集合的等價(jià)類的特征?；蛘哒f(shuō)：基數(shù)是在等勢(shì)關(guān)系下集合的等價(jià)類的名稱。這實(shí)際上就是基數(shù)的一種定義。例如，3是等價(jià)類{{a,b,c},{p,q,r},{1,2,3}}的名稱（或特征）。0是自然數(shù)集合N所屬等價(jià)類的名稱。7/23/202334②要證明一個(gè)集合A有基數(shù)，只需選取基數(shù)為的任意集合B，證明從A到B或從B到A存在一個(gè)雙射函數(shù)。選取集合B的原則是使證明盡可能容易。下面將不加證明地引入兩個(gè)定理。第一個(gè)定理稱為三分律。第二定理表明：≤是反對(duì)稱的。7/23/202335

定理5.4.4

（Zermelo）設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合，則下述情況恰有一個(gè)成立：①|(zhì)A|＜|B|②|B|＜|A|③|A|=|B|7/23/202336

定理5.4.5

（Cantor-Schroder-Bernstein）設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合，若|A|≤|B|和|B|≤|A|，則|A|=|B|。本定理對(duì)證明兩集合具有相同基數(shù)提供了有效的方法。若能夠構(gòu)造一單射函數(shù)f:AB，則有|A|≤|B|；又能構(gòu)造另一個(gè)單射函數(shù)g:BC，以證明|B|≤|A|。于是根據(jù)本定理即可得出|A|=|B|。特別要注意，f和g不必是滿射。因?yàn)橥ǔ?gòu)造這樣兩個(gè)單射函數(shù)比構(gòu)造一個(gè)雙射函數(shù)要容易許多。7/23/202337對(duì)于有限集，我們有：定理5.4.6

設(shè)A是有限集合，則|A|＜0。對(duì)于無(wú)限集呢？我們有必要對(duì)無(wú)限集有所了解7/23/202338有限集與無(wú)限集雖然是數(shù)量上的差別，但是由“量變”而引起了“質(zhì)”的變化，無(wú)限集有著很多有限集所沒(méi)有的一些特性，而有限集的一些特性也不能任意推廣到無(wú)限集中去，即使有的能推廣也要做某些意義上的修改。下面我們先討論無(wú)限集的一些特性7/23/202339

定理5.4.7

無(wú)限集必含有與其等勢(shì)的真子集。例如：自然數(shù)集N={0,1,2,3,…}與其真子集S={1,3,5,7,…}均為無(wú)限集，且NS。這是因?yàn)樗鼈冎g存在雙射（一一對(duì)應(yīng)）：N:01234…?????S:13579…這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系可以寫(xiě)成s=2n+1,其中nN,sS7/23/202340無(wú)限集的這個(gè)特征可以作為區(qū)別無(wú)限集與有限集的一個(gè)標(biāo)志。即有推論一個(gè)集合為無(wú)限集的充分必要條件是它必含有與其等勢(shì)的真子集。有了這個(gè)推論后，我們可以重新定義有限集與無(wú)限集定義一集合若存在與其等勢(shì)的真子集則稱其為無(wú)限集，否則稱為有限集。7/23/202341下面我們對(duì)無(wú)限集作進(jìn)一步的探討，我們討論一種特殊類型的也是最常見(jiàn)的無(wú)限集——可數(shù)(無(wú)限)集的性質(zhì)。7/23/202342定理5.4.8

每個(gè)無(wú)限集必包含一可數(shù)無(wú)限子集。定理5.4.9

可數(shù)無(wú)限集的無(wú)限子集仍為一可數(shù)無(wú)限集。由此可知，可數(shù)無(wú)限集是無(wú)限集中的最小集合。從而有定理5.4.10

0是最小無(wú)限集合的基