浙江省七彩陽光聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

第第頁浙江省七彩陽光聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；

2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．

3．所有【答案】必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；

4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．

選擇題部分

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．直線的傾斜角是（）

A．B．C．D．

2．已知向量、分別是平面，的法向量，若，，，則（）

A．，B．，

C．，D．，

3．已知樣本數(shù)據(jù)、、、…、的方差為1，若，則樣本數(shù)據(jù)、、、…、的方差是（）

A．3B．2C．D．4

4．已知，，，若、、三個向量不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的一組基底，則實數(shù)（）

A．0B．9C．5D．3

5．已知點，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍是（）

A．B．C．或D．

6．已知、是橢圓的兩個焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在橢圓上，則橢圓的離心率是（）

A．B．C．D．

7．一個盒子中裝有6個除顏色外完全相同的小球，其中三個紅色，兩個綠色，一個黃色．若從中任取兩個小球，則下列說法錯誤的是（）

A．恰有一個紅球的概率為

B．兩個球都是紅球的概率為

C．“至少一個黃球”和“兩個都是紅球”為互斥事件

D．“至少一個綠球”和“至多一個綠球”為對立事件

8．在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在點，且點關(guān)于直線的對稱點在圓上，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

9．《中華流行病學(xué)雜志》對感染新冠并死亡的人員做了統(tǒng)計，以下是某同學(xué)將所得數(shù)據(jù)按年齡分為10組：，……，并整理得到如下的頻率分布直方圖，下列說法正確的是（）

A．死亡年齡的眾數(shù)在區(qū)間內(nèi)B．死亡年齡的中位數(shù)大于80歲

C．現(xiàn)已知某地新增一新冠死亡病例，則此人為70歲及以上老人的概率大約是

D．現(xiàn)已知某地新增一新冠陽性感染病人，年齡為75歲，則可以根據(jù)上圖估計他今年因為感染新冠而死亡的概率為

10．若曲線的方程為：，則（）

A．可能為圓

B．若，則為橢圓

C．若為焦點在軸上的橢圓，則越大，離心率越大

D．若為焦點在軸上的橢圓，則越大，離心率越大

11．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”（Chumeng）是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體是一個芻甍，其中是正三角形，且，，則以下結(jié)論正確的是（）

A．

B．直線與直線所成的夾角為

C．到底面的距離為

D．五面體的體積為

12．已知圓，斜率為的直線經(jīng)過圓內(nèi)與點不重合的一個定點，且與圓相交于、兩點，下列選項中正確的是（）

A．若為定值，則存在，使得

B．若為定值，則存在，使得

C．若為定值，則存在，使得圓上恰有三個點到的距離均為

D．若為定值，則存在，使得圓上恰有三個點到的距離均為

非選擇題部分

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的橫線上．

13．據(jù)統(tǒng)計，在某師范學(xué)校中，男生每天體育鍛煉的時間平均值是44分鐘，女生每天體育鍛煉的時間平均值是34分鐘．若此學(xué)校的男生與女生人數(shù)比是1：9，則此校學(xué)生每天體育鍛煉的時間平均值是__________分鐘．

14．已知，，，若，則在上的投影向量可以是__________．（只需寫出一個符合題意的答案）

15．在空間四邊形中，為中點，為的中點，若，則使、、三點共線的的值是__________．

16．在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，則當(dāng)點在圓上運動時，可求得線段的中點的軌跡方程是橢圓，相當(dāng)于把圓壓縮后得到了橢圓．由此可見橢圓和圓之間可以通過伸縮變換進行轉(zhuǎn)化，進一步，可利用伸縮變換研究一些與橢圓和圓相關(guān)的幾何問題．現(xiàn)有一條不過原點的直線與橢圓交于、兩點，則由伸縮變換可知，面積的最大值是__________．

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（滿分10分）已知直線，，直線被和所截得的線段中點為原點．

（1）求直線的方程；

（2）若圓經(jīng)過點以及直線與坐標(biāo)軸的兩個交點，求圓的方程．

18．（滿分12分）如圖，在四棱錐中，，，，平面底面，，、分別是和的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）求棱的長，使得點到直線的距離為．

19．（滿分12分）已知圓，圓．

（1）求兩圓的公共弦長；

（2）求兩圓的公切線方程．

20．（滿分12分）已知橢圓，、分別為其左右焦點，過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點，其中點在軸上方．

（1）若，求弦長；

（2）若的面積為，求橢圓的方程．

21．（滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，，，是矩形對角線的交點，為上底面的重心，為中點．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面夾角的余弦值．

22．（滿分12分）已知圓，，圓上有一動點，線段的中垂線與線段交于點，記點的軌跡為．第一象限有一點在曲線上，滿足軸，一條動直線與曲線交于、兩點，且直線與直線的斜率乘積為．

（1）求曲線的方程；

（2）當(dāng)直線與圓相交所成的弦長最短時，求直線的方程．

2022學(xué)年第一學(xué)期浙江“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案

選擇題部分

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

題號12345678

答案CADCCBDB

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

題號9101112

答案ABCACABDAC

非選擇題部分

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的橫線上．

13．3514．，（寫出其中一個答案即可）

15．16．4

詳細(xì)解析如下：

1．【答案】C

【解析】設(shè)直線傾斜角為，則直線的斜率．

，，故選C．

2．【答案】A

【解析】，，，，，故選A．

3．【答案】D

【解析】，故選D．

4．【答案】C

【解析】因為，，不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的一組基底，所以存在唯一的實數(shù)對，

使得，所以，，，故選C．

5．【答案】C

【解析】直線經(jīng)過定點，，．

又直線與線段相交，或，故選C．

6．【答案】B

【解析】設(shè)的中點為，由題意得：，

由橢圓定義得：，，故選B．

7．【答案】D

【解析】設(shè)三個紅球記為1，2，3，兩個綠球記為，，一個黃球記為，

記：恰有一個紅球，

，即．

記：兩個球都是紅球，，．

記：至少一個黃球，，，

所以“至少一個黃球”與“兩個球都是紅球”是互斥事件．

記：至少一個綠球，

．

記：至多一個綠球，

因為，所以“至少一個綠球”和“至多一個綠球”不是對立事件．故選D．

8．【答案】B

【解析】關(guān)于直線的對稱點為，

由題意得，以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點，

所以，解得：，故選B．

9．【答案】ABC

【解析】由題知A、B正確；，所以C正確；

因為并沒有感染人員的數(shù)據(jù)，所以不知道各年齡病人的死亡率，D錯誤，故選ABC．

10．【答案】AC

【解析1】時，為圓，A正確；

或時，為橢圓，B錯誤；

若為焦點在軸上的橢圓，則，此時，關(guān)于單調(diào)遞增，C正確；

若為焦點在軸上的橢圓，則，此時，關(guān)于單調(diào)遞減，D錯誤；故選AC．

【解析2】時，為圓，A正確；

若為橢圓，則或，B錯誤；

若為焦點在軸上的橢圓，則，此時，，則增大時，變大，變小，橢圓會變扁，離心率變大，C正確；

若為焦點在軸上的橢圓，則，此時，，則增大時，變小，變大，橢圓會變圓，離心率變小，D錯誤；故選AC．

11．【答案】ABD

【解析】易知，面，面面，，A正確；

過點做，，，，為正三角形，B正確；

過，做，，，，，

則，，，C錯誤；

，，所以五面體的體積為，D正確；故選ABD．

12．【答案】AC

【解析】為弦中點時，，A正確，B錯誤；

與距離為非零定值的所有點的軌跡是與平行的兩條平行線，

若為定值，當(dāng)趨向于0時，兩條平行線與的距離趨向于0，都與圓相交，

當(dāng)趨向于無窮大時，兩條平行線與的距離趨向于無窮大，都與圓相離．

由于點在圓內(nèi)且與點不重合，前面兩個極限狀態(tài)之間必然存在一條平行線與圓相交而另一條平行線與圓相切的情況，此時圓上恰有三個點到的距離均為，符合題意，C正確；

若為定值，當(dāng)圓上恰有三個點到的距離均為時，的兩條平行線中一條與圓相切，一條與圓相交．

設(shè)原點與的距離為，直線與的夾角為，

此時，即，由于，所以，所以．

相應(yīng)地，當(dāng)時，不存在圓上恰有三個點到的距離均為，D錯誤，故選AC．

13．【答案】35

【解析】．

14．【答案】，（寫出其中一個答案即可）

【解析】，，

當(dāng)時，，，，

同理，時，，．

15．【答案】

【解析】由題意可知，，，，

，，三點共線，，．

16．【答案】4

【解析】設(shè)直線與軸交于點，伸縮變換時點對應(yīng)圓上的點，點對應(yīng)圓上的點．

則，，顯然，

由于，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），

所以．

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．【解析】（1）設(shè)所截得的線段端點為和，則有．

解得：，所以直線的方程為：．

（2）直線與坐標(biāo)軸的交點為和，線段的中點為，直線的斜率為，

則線段的中垂線方程為，

以點和點為端點的線段的中垂線方程為：，

根據(jù)垂徑定理，兩條中垂線的交點即為圓心，

半徑為，所以圓的方程為：．

18．【解析】（1）法一：，，，

面面，面面，面，

易知面面，所以面，所以平面平面．

法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，，，，，

可求得面的一個法向量為，面的一個法向量為，

所以平面平面．

（2），，，

，．

19．【解析】（1）聯(lián)立兩圓方程可得公共弦直線方程為，點到的距離為，

所以．

（2）易知圓的圓心，半徑為1，圓的圓心，半徑為3，

由圖象可知，有一條公切線為：，

直線與的交點為，

設(shè)另一條公切線的方程為，也即，

則點到此公切線的距離，解得：，

所以另一條公切線的方程為：，

綜上，兩圓的公切線方程為和．

20．【解析】（1）設(shè)，，時，直線的方程為：，

聯(lián)立橢圓方程得：，所以，，

所以．

（2）設(shè)，，則，化簡得：．

另外，由余弦定理得：，結(jié)合，可得：，

代入，消元得：，即，

結(jié)合可得：．

又因為，所以，，綜上，橢圓的方程為：．

21．【解析】（1）法一：，，

，，．

如圖建立坐標(biāo)系，，，，

，，，，，，，

所以平面的一個法向量為，

，所以平面．

法二：延長，交于，連接，延長交與中點，連接，延長交于，

易知，易知，為中點，所以為中點，

，，，所以平面．

（2），，可解得面的一個法向量為，

由（1）可知，平面的一個法向量為，

所以．

22．【解析】（1）由題意得：，且，所以點軌跡為橢圓，

且，，，所以粗圓的方程為：．

（2）由（1）可知點