新不定積分與定積分

新不定積分與定積分第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月問題1:曲邊梯形的面積問題2:變速直線運動的路程存在定理廣義積分定積分定積分的性質(zhì)定積分的計算法牛頓-萊布尼茨公式一、定積分主要內(nèi)容第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1、問題的提出實例1（求曲邊梯形的面積A）實例2（求變速直線運動的路程）方法:分割、近似求和、取極限.第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、定積分的定義定義第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月記為可積的兩個充分條件：定理1定理23、存在定理第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)5性質(zhì)4第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月推論：（1）（2）性質(zhì)7(定積分中值定理)性質(zhì)6積分中值公式第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5、牛頓—萊布尼茨公式定理1定理2（原函數(shù)存在定理）第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3（微積分基本公式）也可寫成牛頓—萊布尼茨公式第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6、定積分的計算法換元公式（1）換元法（2）分部積分法分部積分公式第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月７、廣義積分(1)無窮限的廣義積分第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)無界函數(shù)的廣義積分第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月微元法所求量的特點解題步驟定積分應(yīng)用中的常用公式8、定積分的應(yīng)用第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）就是說，如果把區(qū)間分成許多部分區(qū)間，對于區(qū)間具有可加性，相應(yīng)地分成許多部分量，則等于所有部分量之和；而（1）是與某個變量的變化區(qū)間有關(guān)的量；第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月微元法的一般步驟：這個方法通常叫做微元法．設(shè)想把區(qū)間分成個小區(qū)間，

并記為，

求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量近似值.

若

可近似地表示為上的一個連續(xù)函數(shù)在

處的值與的乘積，

把稱為量且記作，

即；

2）取其中任一小區(qū)間的的微元第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標情形第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函數(shù)第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月極坐標情形第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)體積xyo第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月平行截面面積為已知的立體的體積第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月C．曲線弧為弧長(4)細棒的質(zhì)量第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)變力所作的功(6)水壓力第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月(7)引力第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求極限解：原式例2求極限提示：原式左邊=右邊二、典型例題第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例4解第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例5解第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例6解第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例7解第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例9解例8第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例10求多項式f(x)

使它滿足方程解:令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見f(x)應(yīng)為二次多項式,設(shè)代入①式比較同次冪系數(shù),得故①再求導(dǎo):第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例11例12例13證明柯西不等式第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例14證作輔助函數(shù)第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例15第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例16求拋物線在(0,1)內(nèi)的一條切線,使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解:設(shè)拋物線上切點為則該點處的切線方程為它與x,y軸的交點分別為所指面積第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月且為最小點.故所求切線為得[0,1]上的唯一駐點第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例17設(shè)非負函數(shù)曲線與直線及坐標軸所圍(1)求函數(shù)(2)

a

為何值時,所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解:(1)由方程得圖形面積為2,體積最小?即故得第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月又(2)旋轉(zhuǎn)體體積又為唯一極小點,因此時V

取最小值.第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月故所求旋轉(zhuǎn)體體積為例18求由與所圍區(qū)域繞旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.解:曲線與直線的交點坐標為曲線上任一點到直線的距離為則第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月證根據(jù)橢圓的對稱性知故原結(jié)論成立.第42頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例20解如圖所示建立坐標系.于是對半圓上任一點,有第43頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月故所求速度為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為第45頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月證明曲邊扇形繞極軸證:先求上微曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積體積微元故旋轉(zhuǎn)而成的體積為第46頁，課件共47頁