弧度制與任意角的三角函數(shù)配套 全國一等獎

第三章

三角函數(shù)與解三角形第1講

弧度制與任意角的三角函數(shù)課標(biāo)要求考情風(fēng)向標(biāo)1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化.2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義從近幾年的高考試題看，三角函數(shù)定義及符號判定是高考的熱點(diǎn).這部分的高考試題大多為教材例題，習(xí)題的變形與創(chuàng)新，因此學(xué)習(xí)中要立足基礎(chǔ)，抓好對教材知識的學(xué)習(xí)1.任意角的概念順時針

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.正角是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的；負(fù)角是按________方向旋轉(zhuǎn)形成的；一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它為零角. 2.終邊相同的角

終邊與角α相同的角，可寫成S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

3.弧度制

(1)長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角. (2)用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制. (3)正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.角α的弧度數(shù)的絕對值|α|＝______(其中l(wèi)是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r是圓的半徑). (4)弧度與角度的換算：180°＝πrad；

5.任意角的三角函數(shù)的定義

設(shè)α是一個任意角，角α的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，它與原點(diǎn)的距離是r(r＞0)，那么6.三角函數(shù)值在各象限的符號

三角函數(shù)線余弦線

→OM正弦線

→MP正切線→AT7.三角函數(shù)線

設(shè)角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM垂直x軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M是點(diǎn)P在x軸上的正射影.)C1.下列各命題正確的是(A.終邊相同的角一定相等B.第一象限角都是銳角C.銳角都是第一象限角D.小于90度的角都是銳角2.sin2·cos3·tan4的值()AA.小于0C.等于0B.大于0D.不存在tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0.故選A.)3.(2016年江西模擬)下列說法中，正確的是(

B.第一象限的角不可能是負(fù)角C.終邊相同的兩個角的差是360°的整數(shù)倍D.若α是第一象限角，則2α是第二象限角答案：CD考點(diǎn)1角的概念例1：(1)①寫出與－1840°終邊相同的角的集合M；②把－1840°的角寫成k·360°＋α(0°≤α＜360°)的形式；③若角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α.(2)給出下列四個命題：四象限角；④－315°是第一象限角.其中正確命題的個數(shù)有()A.1個B.2個C.3個D.4個三象限角，故②正確.－400°＝－360°－40°，故③正確.－315°＝－360°＋45°，從而④正確.故選C.

答案：C

【規(guī)律方法】在0°到360°范圍內(nèi)找與任意一個角終邊相同的角時，可根據(jù)實(shí)數(shù)的帶余除法進(jìn)行.因為任意一個角α均可寫成k·360°＋α1(0°≤α1＜360°，k∈Z)的形式，所以與角α終邊相同的角的集合也可寫成{β|β＝k·360°＋α1，k∈Z}.如本例(1)③中M＝{β|β＝k·360°＋320°，k∈Z}.由此確定[－360°，360°]范圍內(nèi)的角時，只需令k＝－1和0即可.考點(diǎn)2三角函數(shù)的概念

例2：(1)已知角α終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3t,4t)，t≠0，求角α的正弦、余弦和正切.答案：C

(3)(2018年東北三省四校模擬)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4a,3a)(a<0)，則25sinα－7tan2α的值為________.答案：－39

【規(guī)律方法】任意角的三角函數(shù)值，只與角的終邊位置有關(guān)，而與角的終邊上點(diǎn)的位置無關(guān).當(dāng)角α的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，由于參數(shù)t的符號不確定，故用分類討論的思想，將t分為t＞0和t＜0兩種情況，這是解決本題的關(guān)鍵.考點(diǎn)3三角函數(shù)的符號

解：∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z). ①∵180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)， 故2α是第三或第四象限角，或2α的終邊在y軸的非正半軸上.①畫出區(qū)域：將坐標(biāo)系每個象限二等分，得8個區(qū)域；②標(biāo)號：自x軸正向逆時針方向把每個區(qū)域依次標(biāo)上一，二，三，四(如圖3-1-1)；圖3-1-1③確定區(qū)域：找出與角α所在象限標(biāo)號一致的區(qū)域，即為所求.①畫出區(qū)域：將坐標(biāo)系每個象限三等分，得到12個區(qū)域；②標(biāo)號：自x軸正向逆時針方向把每個區(qū)域依次標(biāo)上一，二，三，四(如圖3-1-2)：圖3-1-2③確定區(qū)域：找出與角α所在象限標(biāo)號一致的區(qū)域，即為所求.【跟蹤訓(xùn)練】1.(多選)下列各式中，計算結(jié)果為負(fù)數(shù)的是()答案：ABD

A.第一或第二或第三象限角B.第一或第三或第四象限角C.第二或第三或第四象限角D.第一或第二或第四象限角答案：A考點(diǎn)4弧度制的應(yīng)用

例4：(1)如圖3-1-3，一扇形的半徑為r，扇形的周長為4.當(dāng)圓心角α為多少弧度時，扇形的面積S取得最大值？ (2)若一扇形面積為4，則當(dāng)它的中心角為何值時，扇形周長C最??？ 圖3-1-3

【規(guī)律方法】(1)自變量是線(線段或曲線)的長度時，求函數(shù)的定義域的基本方法是所有的線的長度均為正數(shù).應(yīng)用扇形【跟蹤訓(xùn)練】3.已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()CA.1B.4C.1或4D.2或4解析：設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l，

難點(diǎn)突破 ⊙三角函數(shù)線的應(yīng)用圖3-1-4解析：方法一，當(dāng)α為銳角時，顯然有tanα>sinα，故A，B錯誤；當(dāng)α在第三象限時，顯然有tanα>0，cosα<0，sinα<0，故D錯誤.故選C.3-1-5，圖3-1-5AT＝tanα，OM＝cosα，MP＝sinα.顯然選C.答案：C

【跟蹤訓(xùn)練】

4.(2014年新課標(biāo)Ⅰ)如圖3-1-6，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M.將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，π]的圖象大致為()圖3-1-6ABCD答案：B

1.任意角的三角函數(shù)值僅與角α的終邊位置有關(guān)，而與角α終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).若角α已經(jīng)給出，則無論點(diǎn)P選擇在角α終邊上的什么位置，角α的三角函數(shù)值都是確定的.如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn).其中|OP|＝r一定是正值.

2.三角函數(shù)符號是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正