人教版數學九年級下冊第27章相似章節(jié)復習

知識網絡知識梳理(1)形狀相同的圖形(2)相似多邊形(3)相似比：相似多邊形對應邊的比1.

圖形的相似①表象：大小不等，形狀相同.②實質：各對應角相等、各對應邊成比例.知識梳理一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.符號語言：若a∥b∥c，則，，

A1A2A3B1B2B3bca2.

平行線分線段成比例定理知識梳理?通過定義?平行于三角形一邊的直線?三邊成比例?兩邊成比例且夾角相等?兩角分別相等?兩直角三角形的斜邊和一條直角邊成比例(三個角分別相等，三條邊成比例)3.

相似三角形的判定?對應角相等、對應邊成比例?對應高、中線、角平分線的比等于相似比?周長比等于相似比?面積比等于相似比的平方4.

相似三角形的性質知識梳理知識梳理(1)測高測量不能到達兩點間的距離,常構造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接測量的兩點間的距離)測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決.(2)測距5.

相似三角形的應用知識梳理(1)如果兩個圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.(這時的相似比也稱為位似比)6.

位似(2)性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比；對應線段平行或者在一條直線上.知識梳理(3)

位似性質的應用：能將一個圖形放大或縮小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P(4)平面直角坐標系中的位似當位似圖形在原點同側時，其對應頂點的坐標的比為k；當位似圖形在原點兩側時，對應頂點的坐標的比為－k.知識梳理(4)平面直角坐標系中的位似當位似圖形在原點同側時，其對應頂點的坐標的比為k；當位似圖形在原點兩側時，對應頂點的坐標的比為－k.考點解析考點一比例線段及比例基本性質【例1】判斷下列線段a、b、c、d是否是成比例線段：（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；（2）a＝2，b＝，c＝，d＝.∴線段a、b、c、d不是成比例線段.解（1）∵，，∴

（2）∵，，∴

∴線段a、b、c、d是成比例線段.【點睛】將線段從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，計算第一和第二之比，第三和第四之比，看他們的比值是否相同.1.下列各組線段長度可組成成比例的是（）A.2cm，3cm，4cm，1cmB.6.5cm，1.5cm，2.5cm，4.5cmC.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cmD.2cm，2cm，1cm，4cmD2.已知A、B兩地的實際距離為2千米，地圖上的比例尺為1：1000000，則A、B兩地在地圖上的距離是_______cm．解：根據比例尺=圖上距離：實際距離．2千米=200000厘米，A、B兩地在地圖上的距離是200000÷1000000=0.2cm．0.2針對練習考點解析

3【點睛】已知幾個量的比值時，常用的解法是：設一個未知數，把題目中的幾個量用所設的未知數表示出來，實現消元．針對練習1.a，b，c，d是成比例線段，其中a=3，b=2，c=6，則d的長____.2.若x:6=(5+x):2,則x=______.4-7.5

C考點解析考點二黃金分割【例3】已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則下列等式中成立的是（）A.AB2=AC?CBB.CB2=AC?ABC.AC2=BC?ABD.AC2=2BC?ABC

A針對練習考點三平行線分線段成比例

【點睛】該題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應用問題；解題的關鍵是準確找出圖形中的對應線段，正確列出比例式求解、計算．考點解析1.如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與a，b，c分別交于點A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，則BF＝()A.7B.7.5C.8D.8.5B

B針對練習考點四相似三角形的預備定理

【點睛】此題考查了相似三角形的預備定理與平行四邊形的性質．解題的關鍵是根據題意判定△BEF∽△DAF，再利用相似三角形的對應邊成比例定理求解．考點解析

B2.如圖，平行四邊形ABCD中，過點B的直線順次與AC、AD及CD的延長線分別相交于點E、F、G．若BE=6，EF=2，則FG等于______．16針對練習考點五相似三角形的判定【例6】如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列結論正確的是()

A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDA

C.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA

ACBPDC∵

AB:BC

=BD

:AB

=AD

:AC，∴△ABC∽△DBA，故選C.解析：設AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB=，AC=，AD=.【點睛】本題考查的是相似三角形的判定定理，熟知三組對應邊的比相等的兩個三角形相似是解答此題的關鍵.考點解析【例7】如圖,△ABC與△ADE都是等腰三角形,AD=AE,AB=AC,∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.考點五相似三角形的判定證明：∵△ABC與△ADE是等腰三角形

∴AD=AE，AB=AC∴又∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE即∠DAE=∠BAC∴△ABC∽△ADEABCDE【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．考點解析考點五相似三角形的判定【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應角相等的兩個三角形相似．證明：∵△ABC的高AD、BE交于點F，∴∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE

=∠BFD(對頂角相等).∴△FEA

∽△FDB，∴【例8】如圖，△ABC

的高AD、BE交于點F．求證：

DCABEF考點解析1．如圖所示,當滿足下列條件之一時，都可判定△ADC∽△ACB．(1)

；(2)

；(3)

.∠ACD=∠B∠ACB=∠ADC或AC2=AD·AB針對練習2.如圖，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，則圖中相似三角形共有()A.1對B.2對C.3對D.4對C3.如圖，D是△ABC一邊BC上一點，連接AD，使△ABC∽△DBA的條件是(

)A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BCDABCD針對練習考點六相似三角形的性質【例9】△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB∴△ADE∽△ABC,∠AED=∠C，∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC又∵S△ADE:S△EFC=4:9∴AE:EC=2:3則AE:AC=2:5∴S△ADE:S△ABC=4:25∴S△ABC=25考點解析4.

連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于______，面積比等于_____.1:21:43.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中線，若AP＝2，則DQ的值為()A．2B．4C．1D.C1.如果兩個相似三角形的對應高的比為2:3，那么對應角平分線的比是

，對應邊上的中線的比是______.2.

△ABC與△A’B’C’的相似比為3:4，若BC邊上的高AD＝12cm，則B’C’邊上的高A’D’＝_______.2:32:316cm針對練習5.△ABC的三邊長分別為5，12，13，與它相似的△DEF的最小邊長為15，則△DEF的其他兩條邊長為

．36和396.如圖，△ABC中，AB=9，AC=6，點E在AB上且AE=3，點F在AC上，連接EF，若△AEF與△ABC相似，則AF=

.BCAE2或4.5針對練習考點七相似三角形的判定和性質綜合【例10】如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，CD⊥AB，垂足為P，求證：PC2＝PA·PB.B·ACDOP證明：連接AC，BC.∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B=90°.又∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∠PCB＋∠B＝90°.又∠A＝∠CPB，∴△APC∽△CPB.∴

PC2=AP·PB.∴考點解析證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分線，∴∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．【例11】如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E.(1)求證：△ABD∽△CED；ABCDFE考點解析(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的長.解：作BM⊥AC于點M.

∵

AC＝AB＝6，∴AM＝CM＝3.∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，

MD＝1.ABCDFEM在Rt△BDM中，由(1)△ABD∽△CED得，即∴考點解析考點八相似三角形的實際應用【例12】如圖，某一時刻一根2m長的竹竿EF的影長GE為1.2m，此時，小紅測得一棵被風吹斜的柏樹與地面成30°角，樹頂端B在地面上的影子點D與B到垂直地面的落點C的距離是3.6m，求樹AB的長．2m1.2m3.6m解：如圖，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即樹長AB是12m.即∴考點解析如圖，小明同學跳起來把一個排球打在離地2m遠的地上，然后反彈碰到墻上，如果她跳起擊球時的高度是1.8m，排球落地點離墻的距離是6m，假設球一直沿直線運動，球能碰到墻面離地多高的地方？ABOCD2m6m1.8m解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD.∴∴解得CD=5.4m.故球能碰到墻面離地5.4m高的地方．針對練習【例13】在如圖所示的四個圖形中，位似圖形的個數為()A.1個B.2個

C.3個

D.4個C考點九位似相關知識考點解析1.

已知△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，

△ABC和△A′B′C′不存在位似關系的是()B'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'AC'BCA'ABCDB針對練習2.如圖，DE∥AB，CE=3BE，則△