高中數(shù)學矩陣與變換新人教選修

高中數(shù)學矩陣與變換課件新人教選修1第1頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

通過幾何變換討論二階矩陣的乘法及性質、逆矩陣和矩陣的特征向量，并以變換和映射的觀點理解解線性方程組的意義，初步展示矩陣應用的廣泛性。主要內容2第2頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量2.2幾種常見的平面變換2.3變換的復合與矩陣的乘法2.4逆矩陣與逆變換2.5特征值與特征向量2.6矩陣的簡單應用

具體內容3第3頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月定位

低起點——以初中數(shù)學知識為基礎；低維度——以二階矩陣為研究對象；形→數(shù)——以(幾何圖形)變換研究二階矩陣。意圖

在基本思想上對矩陣、變換等有一個初步了解，對進一步學習和工作打下基礎。

本專題的定位和意圖4第4頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月主要數(shù)學思想（1）數(shù)學化思想；（2）數(shù)學建模；（3）數(shù)形結合的思想；（4）算法思想。重點

通過幾何圖形變換，學習二階矩陣的基本概念、性質和思想。難點

切變變換，逆變換(矩陣)，特征值與特征向量。本專題重點、難點及主要數(shù)學思想5第5頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量2.2幾種常見的平面變換2.3變換的復合與矩陣的乘法2.4逆矩陣與逆變換2.5特征值與特征向量2.6矩陣的簡單應用具體內容解析6第6頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量2.在本章中點和向量不加區(qū)分.如:1.本專題研究的矩陣是二階矩陣,對高階矩陣只是要求學生初步了解.二階矩陣如:兩行兩列7第7頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量3.矩陣的概念——從表、網(wǎng)絡圖、坐標平面上的點（向量）、生活實例等引出.即在大量舉例的基礎上引出矩陣的概念和表示方法.如:某公司負責從兩個礦區(qū)向三個城市送煤：從甲礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是200萬噸、240萬噸、160萬噸；從乙礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是400萬噸、360萬噸、820萬噸。

城市A城市B城市C甲礦區(qū)

乙礦區(qū)8第8頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量4.矩陣通常用大寫黑體字母表示.如;矩陣A,行矩陣和列矩陣通常用希臘字母α、β等表示.5.兩個矩陣的行數(shù)與列數(shù)分別相等,并且對應位置的元素也分別相等時兩矩陣相等.6.二階矩陣與列向量的乘法法則為:9第9頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量7.強化學生對二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義理解.使他們認識并理解矩陣是向量集合到向量集合的映射,為后面學習幾種常見的幾何變換打下基礎.表示的幾何變換為:縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍.8.二元一次方程組可以表示為系數(shù)矩陣10第10頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見的平面變換1.恒等變換矩陣(單位矩陣)為E:2.恒等變換是指對平面上任何一點(向量)或圖形施以矩陣對應的變換,都把自己變?yōu)樽约?11第11頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見的平面變換3.伸壓變換矩陣是指將圖形作沿x軸方向伸長或壓縮,或沿y軸方向伸長或壓縮的變換矩陣.伸壓變換不是簡單地把平面上的點(向量)“向下”壓,而是向x軸或y軸方向壓縮.12第12頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見的平面變換4.反射變換矩陣是指將平面圖形變?yōu)殛P于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣.13第13頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見的平面變換5.一般地,二階非零矩陣對應的變換把直線變成直線.這種把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換.或點14第14頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見的平面變換6.旋轉變換矩陣是指將平面圖形圍繞原點逆時針旋轉θ的變換矩陣.其中θ稱為旋轉角,點O為旋轉中心.15第15頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見的平面變換16第16頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見的平面變換7.投影變換矩陣是指將平面圖形投影到某條直線(或某個點)上的矩陣,相應的變換為投影變換.7.投影變換矩陣是映射,但不是一一映射.17第17頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見的平面變換8.切變變換矩陣是指類似于對紙牌實施的變換矩陣.18第18頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見的平面變換9.切變變換矩陣把平面上的點P(x,y)沿x軸方向平移個單位.10.研究平面上的多邊形或直線在矩陣的變換作用后形成的圖形時,只需考察頂(端)點的變化結果即可.19第19頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月旋轉矩陣20第20頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月21第21頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復合與矩陣的乘法1.矩陣乘法的法則是:2.矩陣乘法MN的幾何意義為對向量連續(xù)實施的兩次幾何變換(先TN,后TM)的復合變換.3.矩陣乘法不滿足交換率,這可能是學生第一次遇到乘法不滿足交換率的情況.此時,我們可以從幾何變換角度進一步明確乘法一般不滿足交換率,在適當時候,有些特殊幾何變換(如兩次連續(xù)旋轉變換)滿足交換率.22第22頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月23第23頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月24第24頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月25第25頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復合與矩陣的乘法4.要求學生從幾何變換角度理解AB.5.要求學生從幾何變換角度理解矩陣乘法不滿足銷去率.26第26頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月27第27頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月28第28頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復合與矩陣的乘法6.有關轉移矩陣.假設某市的天氣分為晴和陰兩種狀態(tài),若今天晴,則明天晴的概率為,陰的概率為,若今天陰則明天晴的概率為,陰的概率為,這些概率可以通過觀察某市以往幾年每天天氣的變化趨勢來確定,通常將用矩陣來表示的這種概率叫做轉移矩陣概率,對應的矩陣為轉移矩陣,而將這種以當前狀態(tài)來預測下一時段不同狀態(tài)的概率模型叫做馬爾可夫鏈,如果清晨天氣預報報告今天陰的概率為,那么明天的天氣預報會是什么?后天呢?29第29頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復合與矩陣的乘法30第30頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復合與矩陣的乘法31第31頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復合與矩陣的乘法7.轉移矩陣每列的元素的和應該為1,否則做乘法時,容易出問題.32第32頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣2．課文從“走過去”、“走回來”的生動形象的話語中引入了逆矩陣和逆變換．這樣安排讓學生在輕松氛圍中掌握“找到回家的路”的本質是已知矩陣A，能否找到一個矩陣B，使得連續(xù)進行的兩次變換的結果與恒等變換的結果相同．也便于學生更好的理解逆矩陣，從而為例1的順利解決打下基礎．3．例1的設計起著承上啟下的作用，所舉的幾個例子也是學生熟知的，學生可以從幾何變換的角度借助直觀找到答案．所以，例1的目的在于幫助學生從幾何的角度理解逆矩陣的意義，并為后續(xù)學習積累豐富的感性認識．1.對于二階矩陣A,B,若有AB=BA=E,則稱A是可逆的,B稱為A的逆矩陣.33第33頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣4．既然有些矩陣存在逆矩陣，那么，什么樣的矩陣存在逆矩陣呢？課本從映射角度給出解釋，讓抽象的問題更貼近學生實際．5．矩陣的行列式為,則如果則矩陣存在逆矩陣.6.矩陣是否可逆的判斷

34第34頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣7.逆矩陣的求解．

8.矩陣的逆矩陣為

35第35頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣9.“先穿襪子后穿鞋”“先脫鞋子后脫襪子”解決了學生可能會出現(xiàn)的認知障礙．學生可以借助于此更好地理解公式（AB）-1=B-1A-1．

10．新教材的螺旋上升體系隨處可見，課本在本節(jié)中就通過證明命題“已知A，B，C為二階矩陣，且AB=AC，若矩陣A存在逆矩陣，則B=C．”而既做到前后章節(jié)間的呼應，又要求學生會用逆矩陣的知識解釋二階矩陣的乘法何時滿足消去率．11.逆矩陣與二元一次方程組密切相關，用逆矩陣的知識理解二元一次方程組的求解過程是為了讓學生更好的認識兩者，理解它們間的相互為用、相輔相成.36第36頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣12.37第37頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣12.AX=B

X=A-1B13.AXC=B

X=A-1BC-1

14.38第38頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣15.用二階矩陣和行列式研究二元一次方程組的解的情況并不比消元法優(yōu)越多少.但是,當方程組中的未知元很多時,矩陣就變成了研究它的一個強有力的工具.39第39頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量1.在本節(jié)開始部分，課本安排了兩個學生熟知的伸壓變換，并給出了變換前后的圖形，其目的在于讓學生借助于感性理解在矩陣的作用下某些向量的“不變性”，從而為學生學習特征值和特征向量打下堅實基礎．2.3.將矩陣的特征值與特征向量概念轉換成矩陣與列向量的乘法表示來理解，其目的在于引出矩陣的特征多項式．課本沒有對特征多項式作展開討論，其意圖是僅僅讓學生將之作為一個工具．40第40頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量4.5.41第41頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量42第42頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量6.一個特征值對應著多個特征向量.7.有了特征值和特征向量的知識,我們就可以方便地計算多次變換的結果.43第43頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量44第44頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量投影變換45第45頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.6矩陣的簡單應用1.只要求學生對高階矩陣有一個感性認識.2.通過本節(jié)的學習,讓學生了解到矩陣來源于實際生活需要.3.課本介紹了矩陣在數(shù)學領域內的應用,也介紹了它在經濟學領域、密碼學領域、生物學領域的應用.46第46頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.6矩陣的簡單應用47第47頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.6矩陣的簡單應用48第48頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.6矩陣的簡單應用49第49頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量2.2幾種常見的平面變換2.3變換的復合與矩陣的乘法2.4逆矩陣與逆變換2.5特征值與特征向量2.6矩陣的簡單應用

學習總結報告主要內容50第50頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月教學建議51第51頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1.本專題只對具體的二階方陣加以討論,而不討論一般m×n階矩陣以及(aij)形式的矩陣.教學建議2.矩陣的引入要從具體的實例開始,通過具體的實例讓學生認識到,某些幾何變換可以用矩陣表示,豐富學生對矩陣幾何意義的理解,并引導學生用映射的觀點來認識矩陣,解線性方程組.不提倡先講矩陣,后講變換.3.要求從圖形的變換直觀地理解矩陣的乘法,并通過具體的實例讓學生理解矩陣乘法的運算率.52第52頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月4.在新課講解過程中適當?shù)貜土曈成浜鸵?/p>