靜態(tài)場的解法

靜態(tài)場的解法第1頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1靜態(tài)場邊值問題及唯一性定理

靜態(tài)場的問題大體上可分為兩類：（1）分布型問題（2）邊值型問題常遇到的邊值問題有三種：（1）全部邊界上的位函數(shù)是已知的，稱為第一類邊值問題，又稱為狄利克雷（Dirichlet）問題。（2）全部邊界上的法線方向的位函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是已知的，稱為第二類邊值問題，又稱為紐曼（Neumann）問題。第2頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）混合邊值問題，又稱為第三類邊值問題，它是第一類和第二類邊值問題的混合型。靜態(tài)場的邊值問題有多種求解方法，大體可分為以下幾種：（1）直接求解法：直接積分法、分離變量法、格林函數(shù)法等。（2）間接求解法：復(fù)變函數(shù)法、鏡像法等。（3）數(shù)值計(jì)算法：有限差分法、有限元法、矩量法等。第3頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月唯一性定理：不管用什么方法，可以如上任何一種方法，也可以依靠判斷猜出解答，只要在給定區(qū)域內(nèi)滿足所要求解的微分方程，并滿足給定的全部邊界條件，那么這個解答就是靜態(tài)場的唯一解答。

第4頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2直接積分法下面舉幾個例子來介紹這種方法的應(yīng)用。

例3.2.1

空間電荷區(qū)如圖3.2.1所示，在-l～0區(qū)域內(nèi)為負(fù)電荷，在0～l區(qū)域內(nèi)為正電荷，且電荷分布函數(shù)為ρ=Kqx（x范圍為-l≤x≤l，K為比例常數(shù)）。取x=0為電位參考點(diǎn)，在x=±l處電場為零。求在-l＜x＜l范圍內(nèi)的電位分布和電場分布。第5頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月解：在-l≤x≤l范圍內(nèi)，電位滿足泊松方程

（ε為材料的介電常數(shù)）從圖3.2.1可以看出，電位函數(shù)是x的函數(shù)，即=（x）對上式進(jìn)行積分

第6頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月在球外：在球體表面根據(jù)邊界條件可知在r=R處有

第8頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月對式（3.11）進(jìn)行積分得

第9頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3在直角坐標(biāo)系中的分離變量法如果邊界面的形狀適合用直角坐標(biāo)系表示，那么可以在直角坐標(biāo)系中求解。在直角坐標(biāo)系中，位函數(shù)的拉普拉斯方程為

位函數(shù)φ是x、y、z的函數(shù)，可以表示成三個單變量未知函數(shù)的乘積（3.49）式中f(x)僅為x的函數(shù)；g(y)為y的函數(shù)，h(z)為第12頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月z的函數(shù)，得上式除以得

上式第一項(xiàng)僅是x為變量的函數(shù)，與y和z無關(guān)；而第二項(xiàng)僅隨y而變化，第三項(xiàng)僅隨z而變化。所以式（3.50）成立的唯一條件是這三項(xiàng)中每一項(xiàng)都是常數(shù)。令第一、二、三項(xiàng)分別為常數(shù)，即

第13頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月三個常數(shù)滿足的關(guān)系式為（3.54）這樣就把偏微分方程（3.48）變成了三個常微分方程，這種方法就是分離變量法。三個常微分方程（3.51）～（3.53）可以改寫為第14頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月下面討論拉普拉斯方程對二維位場的求解問題。所謂二維位場即是于是有第15頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.3.1兩塊彼此平行的半無限長接地金屬板，板間距離為b，兩平行板的一端另一塊電位為的極長的金屬條，它們之間縫隙極小，但彼此絕緣，如圖3.2所示。求兩板間的電位分布。解:給定的邊界條件為第17頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.3.2兩塊完全相同的T形導(dǎo)體構(gòu)成導(dǎo)體槽，兩塊T形導(dǎo)體間有一狹縫，如圖3.3.2(a)所示。上板所加的電壓為U0，下板接地。求金屬槽內(nèi)的電位分布。圖3.3.2例3.3.2圖第20頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月解：本題所給的場可以分解為兩個場的疊加，分解后的兩個場如圖3.3.2(b)(c)所示。槽內(nèi)的電位分別為x、y的函數(shù)，是一個二維場問題。分解后第一個場是兩個距離為d的無窮大的平行板，上板電壓為U0，下板接地，其解為(3.3.23)第二個場電位為φ2，是兩個電位為零的無窮大的平行板，并且在x=0處φ2滿足第21頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月那么金屬槽內(nèi)的電位分布的解為φ=φ1+φ2，分別求出φ1和φ2，φ也就得出來了，根據(jù)唯一性定理，即是要求的唯一解答。φ1已知，見（3.3.23）式，下面求出φ2。由例3.3.1的討論，φ2可表示為

(3.3.24)式中Cn由x=0處的邊界條件求出，即第22頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月可以確定傅里葉系數(shù)Cn為則(3.3.25)金屬槽內(nèi)的電位分布為

(3.3.26)第23頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的

分離變量法1.在圓柱坐標(biāo)系的分離變量法在圓柱坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為(3.4.1)下面討論電位φ不隨縱向（z方向）變化的二維場問題，即φ僅為r和變化的情況。此時拉普拉斯方程變?yōu)?3.4.2)第24頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)（3.4.3）式中R(r)僅為r的函數(shù)，把式（3.4.3）代入到式（3.4.2）中得(3.4.4)式（3.4.4）第一項(xiàng)是關(guān)于r的函數(shù)，第二項(xiàng)是關(guān)于的函數(shù)，要使上式對于所有的r和都成立，必須每項(xiàng)都等于一個常數(shù)，于是有（3.4.5）(3.4.6)第25頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月對式（3.4.6）求解，其解為(3.4.7)對于所研究的實(shí)際問題，位場是單值的，則有所以k必須為整數(shù)，令k=n，于是式（3.4.7）變?yōu)?3.4.8)用n代替k，并把式（3.4.5）改寫為如下形式(3.4.9)它是一個歐拉方程，其解為(3.4.10)第26頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（3.4.11）式中的系數(shù)由邊界條件確定第27頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.在球坐標(biāo)系的分離變量法球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程為在球坐標(biāo)系中具有軸對稱的二維場的解式中常數(shù)Am、Bm由邊界條件決定。例3.8無限大介質(zhì)外加均勻電場，在介質(zhì)內(nèi)有一個半徑為a的球形空腔，介質(zhì)的介電常數(shù)為ε，求空腔內(nèi)、外的電位分布及電場強(qiáng)度。第28頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月解本題為球坐標(biāo)系中具有軸對稱性的二維場問題在空腔內(nèi)的通解為在介質(zhì)中的通解為第29頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月下面利用邊界條件確定各個系數(shù)。所以B1=0③系數(shù)A1、C1、D1可以由r=a時的邊界條件求出，當(dāng)r=a時由φ1=φ2所以可以得出A1acosθ=（C1a+D1a-2）cosθ第30頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5鏡像法鏡像法最簡單的情況是點(diǎn)電荷對無限大平面的鏡像問題。

在無限大接地導(dǎo)體平面上方的空氣中放置一個電荷q，距平面距離為h，如圖3.5.1所示，要求出這個無限大接地導(dǎo)體平面上方任意一點(diǎn)的電位φ,那么可以設(shè)想在平面下方有一個鏡像電荷-q，在所研究的區(qū)域即平面上方的電位為點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位和鏡像電荷-q產(chǎn)生電位的疊加。第33頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3.5.1鏡像法求解點(diǎn)電荷與無限大接地導(dǎo)體平面形成的位場第34頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月建立一個坐標(biāo)系，如圖3.5.2所示，可以很方便地求出平面上方任意一點(diǎn)的電位分布及無限大接地平面上的電荷分布。圖3.5.2在直角坐標(biāo)系中求解點(diǎn)電荷與無限大接地導(dǎo)體平面問題第35頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月從圖3.5.2可以看出

R=［x2+y2+（z-h）2］1/2R′=［x2+y2+（z+h）2］1/2所以在平面上方空間任意一點(diǎn)P的電位為平面上方空間任意一點(diǎn)P的電場強(qiáng)度為第36頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月無限大接地導(dǎo)體平面的面電荷分布為例3.9相交成直角的接地導(dǎo)體平面AOB附近有一個點(diǎn)電荷q，如圖3.10所示，中間介質(zhì)為空氣，求空間任意一點(diǎn)P的電位。圖3.10直角形導(dǎo)體平面的鏡像第37頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月解:

點(diǎn)電荷q位置為（h1,h2,0），在OA面的鏡像為-q，位置在（-h1,h2,0）。在OB面的鏡像為-q，位置在（-h1,h2,0）。按照平面鏡像法則還應(yīng)該成第三個鏡像位置在（-h,-h2，0），第三個鏡像為q。這樣點(diǎn)電荷q與三個鏡像電荷共同作用才能滿足原來的邊界條件——在導(dǎo)體平面AOB上的電位為零。所以本問題可以用三個鏡像電荷代替相交成直角的接地導(dǎo)體平面AOB。得到P點(diǎn)的電位為第38頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10一根無限長直導(dǎo)線與地面平行，設(shè)導(dǎo)線半徑為a，高出地面的高度為h(h>>a)，求單位長度導(dǎo)線對地的電容。圖3.11無限長直導(dǎo)線的鏡像法第39頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月解:本題可以采用鏡像法求解，無限長的直導(dǎo)線的線電荷密度為ρl，則地面這個邊界可以用鏡像的線電荷密度為-ρl的直導(dǎo)線代替，如圖3.5.4所示。原導(dǎo)線在P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為第40頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月同理鏡像電荷的電位為

所以由鏡像法可知，地面上方任意一點(diǎn)P的電位為則直導(dǎo)線的電位為所以單位長度導(dǎo)線對地的電容為第41頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.11有一個接地導(dǎo)體球半徑為a，與球心O相距d1的位置P1點(diǎn)有一個點(diǎn)電荷q1如圖3.5.5所示，試求：

(1)導(dǎo)體球外的電位函數(shù)；

(2)球面上感應(yīng)的面電荷密度；

(3)球面上總感應(yīng)電量。圖3.12點(diǎn)電荷對導(dǎo)體球的鏡像第42頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月解（1）導(dǎo)體球接地時，導(dǎo)體表面電位處處為零。下面在球內(nèi)區(qū)域找到一個鏡像電荷q2，用q2來代替球形邊界。在球面上任取一點(diǎn)P′，則P′點(diǎn)的電位為零，即上式對球面上任意一點(diǎn)都是成立的，那么可以在球面上取兩個特殊點(diǎn)：一個是OP1與球面的交點(diǎn)，另一個是OP1的延長線與球面的交點(diǎn)，于是有第43頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月由上面兩個方程聯(lián)立解得這樣球外任意一點(diǎn)P的電位為以O(shè)為中心建立球坐標(biāo)系，設(shè)OP與OP1夾角為θ第44頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月所以由在r=a時的邊界條件可知第45頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）球面上總感應(yīng)電量為計(jì)算結(jié)果表明，球面上總感應(yīng)電量等于鏡像電荷的電量。第46頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6靜態(tài)場的數(shù)值解法數(shù)值積分法電磁場分布型問題可以利用數(shù)值積分法計(jì)算。例如，可以在各向同性電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度E和電位φ

式中τ′為源區(qū)。如τ′為體分布，則需對V′體積分；如τ′為面分布，則需對S′面積分；如τ′為線分布，則需對l′線積分。第47頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月

再如對于一閉合回路l′，電流為I，在場點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和矢量磁位A也可以通過數(shù)值積分法計(jì)算諸如此類的電磁場問題很多，通過矢量計(jì)算都可以得到數(shù)值積分問題。數(shù)值積分的算法很多，如梯形求積算法、辛普生求積算法等。下面通過一個例子介紹梯形求積算法。例3.6.1求均勻帶電直導(dǎo)線的中垂線上一點(diǎn)P的電場強(qiáng)度，設(shè)帶電直導(dǎo)線的長度為l，帶電量為q。第48頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月解:取棒的中點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，在帶電體上取電荷元

圖3.6.1例3.6.1用圖（這里加“′”表示源點(diǎn)），則dq和P點(diǎn)的電場強(qiáng)度的大小為根據(jù)對稱性可知，P點(diǎn)的電場強(qiáng)度只有x分量，而y分量Ey=0，即第49頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)在對上式進(jìn)行數(shù)值積分，把被積函數(shù)f(x)在積分區(qū)間(a,b)取N個小梯形，則第n個小梯形的面積為f(xn)Δxn，則f(x)在(a,b)上的積分為按照梯形算法，每一個小梯形區(qū)間寬度為，第n個梯形采樣點(diǎn)為第50頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月則然后編寫程序計(jì)算數(shù)值解。第51頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月2.有限差分法

在一個閉合邊界L所界定的平面域，其定解問題可表述為首先是把求解的場域離散化，即在求解的場域劃分成網(wǎng)格，網(wǎng)格的劃分有許多種方法，最簡單的是正方形網(wǎng)格劃分，如圖3.6.2所示。然后對偏微分方程進(jìn)行離散化，對正方形網(wǎng)格可采用五點(diǎn)差分格式。在二維場域中取一點(diǎn)P，則沿x軸方向并通過P點(diǎn)的直線上任意一點(diǎn)的數(shù)值ux用泰勒公式展開為第52頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月

式中h=（x-xP）很小時，4階以上的高次項(xiàng)可以忽略。P點(diǎn)與其相鄰的四個網(wǎng)格點(diǎn)構(gòu)成了五個網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)，如圖3.6.3所示。圖3.6.2二維場域的正方形網(wǎng)格剖分圖3.15正方形網(wǎng)格的五點(diǎn)差分格式第53頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月則1點(diǎn)的值為3點(diǎn)的值為上兩式相加得同理取P點(diǎn)為（xi,yi），則uP=ui,j；u1=ui+1,j；u2=ui,j+1；u3=ui-1,j；u4=ui,j-1。則有ui,j=1/4（ui+1,j+ui,j+1+ui-1,j+ui,j-1-h2F）第54頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.6.2如圖3.6.4所示為一長直接地金屬槽，其側(cè)壁與底面電位均為零，頂蓋電位的相對值為10，試求槽中的電位分布。解:在金屬槽中題中的邊界構(gòu)成第一類邊值問題按照有限差分法，本題的解題過程如下：1）離散化場域。用正方形網(wǎng)格對場域D進(jìn)行剖分，剖分越細(xì)計(jì)算精度越高。根據(jù)工程需要，沿x、y方向的等分?jǐn)?shù)應(yīng)取p=30以上，本題中為了形象直觀，沿x、y方向的等分?jǐn)?shù)均為p=4，步距h=a/4，如圖3.6.5所示。第55頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3.6.4例3.6.2圖圖3.6.5場域離散化（2）采用超松弛迭代法，本題中F=0，得到差分方程的迭代運(yùn)算形式為式中加速收斂因子ω可以通過一定的方法估算給出，本題中加速收斂因子的最佳取值通過估算取為ωopt=1.17第56頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）給出邊界條件和初始值。因?yàn)楸绢}中給定的是第一類邊界條件，則邊界條件的差分離散化應(yīng)采用直接賦值