人教A版高中數(shù)學選擇性必修兩點間的距離公式點到直線的距離公式兩條平行直線間的距離

2.3.2兩點間的距離公式

2.3.3點到直線的距離公式

2.3.4兩條平行直線間的距離激趣誘思知識點撥在一條筆直的公路同側有兩個村莊A和B,現(xiàn)在計劃在公路上某處建一個公交站點C,以方便兩村人民的出行.如何選址能使站點到兩個村的距離之和最小?激趣誘思知識點撥一、兩點間的距離公式1.已知平面上兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2),那么這兩點間的距離為名師點析1.兩點間的距離與這兩點的先后順序無關,即上述公式也2.(1)當P1P2∥x軸(y1=y2)時,|P1P2|=|x2-x1|.(2)當P1P2∥y軸(x1=x2)時,|P1P2|=|y2-y1|.激趣誘思知識點撥微練習已知點P1(4,2),P2(2,-2),則|P1P2|=

.

激趣誘思知識點撥二、點到直線的距離1.概念:過一點向直線作垂線,則該點與垂足之間的距離,就是該點到直線的距離.2.公式:點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的距離名師點析1.運用公式前首先應把直線方程化為一般式.2.注意公式特征,分子絕對值符號里面是把坐標(x0,y0)代入直線方程的左邊得到的.當A=0,或B=0時,上述公式仍然成立.激趣誘思知識點撥微練習原點到直線x+2y-5=0的距離為(

)答案:D微思考點P(x0,y0)到x軸,y軸,直線y=a,x=b的距離分別是什么?答案:到x軸的距離d=|y0|,到y(tǒng)軸的距離d=|x0|,到y(tǒng)=a的距離d=|y0-a|,到x=b的距離d=|x0-b|.激趣誘思知識點撥三、兩條平行直線間的距離1.概念:夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離.2.求法:兩條平行直線間的距離轉化為點到直線的距離.名師點析兩條平行線間距離公式適用于兩條直線的方程都是一般式,并且x,y分別對應的系數(shù)一模一樣的情況,如果兩平行直線的方程中x,y的系數(shù)對應不同,必須先等價化為系數(shù)對應相同才能套用公式.激趣誘思知識點撥微練習兩條平行線l1:3x-4y-1=0與l2:6x-8y-7=0間的距離為(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測兩點間距離公式的應用例1已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.思路分析:可求出三條邊的長,根據所求長度判斷三角形的形狀.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟兩點間距離公式的應用兩點間的距離公式是解析幾何的重要公式之一,它主要解決線段的長度問題,體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1已知點A(-3,4),B(2,),在x軸上找一點P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測坐標法及其應用例2如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點,求證:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.思路分析:建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?設出各頂點的坐標,應用兩點間的距離公式證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:如圖,以BC的中點為原點O,BC所在的直線為x軸,建立直角坐標系.設A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).則|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟坐標法及其應用1.坐標法解決幾何問題時,關鍵要結合圖形的特征,建立平面直角坐標系.坐標系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點:(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上,這樣便于運算;(2)如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標軸.2.利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟:(1)建立坐標系,盡可能將有關元素放在坐標軸上;(2)用坐標表示有關的量;(3)將幾何關系轉化為坐標運算;(4)把代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何關系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2已知正三角形ABC的邊長為a,在平面ABC上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.解:以BC所在直線為x軸,以線段BC的中點為原點,建立直角坐標系,如圖所示.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求點到直線的距離例3求點P0(-1,2)到下列直線的距離:(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.思路分析:當直線與坐標軸不平行時,直接代入公式求得距離;當直線與坐標軸平行時,可以數(shù)形結合求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(方法2)∵直線x=2與y軸平行,∴由圖知d=|-1-2|=3.(方法2)∵直線y-1=0與x軸平行,∴由圖知d=|2-1|=1.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟點到直線距離的求法求點到直線的距離時,先把直線方程化為一般式,再代入公式.如果直線垂直于坐標軸,那么可結合圖形求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究已知點A(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a的值為

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測兩平行線間的距離例4(1)已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是(

)A.-2 B.-6 C.2 D.0思路分析:(1)首先利用兩直線平行求出參數(shù)m的值,將兩直線方程對應系數(shù)化為相同,然后代入距離公式求值;(2)首先將兩直線方程系數(shù)化為相同,然后代入距離公式,建立a,c的方程組求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測即m=4.所以對應直線方程為6x+4y+1=0.又直線3x+2y-3=0可化為6x+4y-6=0,答案:(1)D

(2)A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟求兩條平行直線間的距離的兩種思路1.利用“化歸”思想將兩條平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.由于這種求法與點的選擇無關,因此,選點時,常選取一個特殊點,如直線與坐標軸的交點等,以便于運算.2.利用兩條平行直線間的距離公式求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知直線l1與l2:x+y-1=0平行,且l1與l2的距離是,求l1的方程.解:(方法1)∵l1∥l2,∴可設l1的方程為x+y+c=0.∴c=1或c=-3.∴l(xiāng)1的方程為x+y+1=0或x+y-3=0.(方法2)∵l1∥l2,∴可設l1的方程為x+y+c=0.|c+1|=2.∴c=1或c=-3.從而l1的方程為x+y+1=0或x+y-3=0.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測一題多解——求直線的方程典例求過點M(-2,1),且與A(-1,2),B(3,0)距離相等的直線方程.解:(方法1)由題意可得kAB=-,線段AB的中點為C(1,1),滿足條件的直線經過線段AB的中點或與直線AB平行.當直線過線段AB的中點時,由于M與C點的縱坐標相同,所以直線MC的方程為y=1;綜上,所求直線的方程為y=1或x+2y=0.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(方法2)顯然所求直線的斜率存在,設直線方程為y=kx+b,根據條件故所求直線方程為y=1或x+2y=0.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法總結解此類題目有兩種方法,一是利用數(shù)形結合的方法,過一定點與兩定點距離相等的點的直線有兩條,根據這兩條直線的幾何特征可求出其直線方程.二是求此類問題的一般方法,它應用了點到直線的距離公式,但設所求直線的方程時,要注意考慮直線的斜率是否存在.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.點A(1,-2)關于原點的對稱點為A',則|AA'|為(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.點(1,2)到直線y=2x+1的距離為(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.兩條平行直線3x+4y-12=0與ax+8y+11=0間的距離為(

)答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.設點A在x軸上,點B在y軸上,線