廣東省江門市恩平江南中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

廣東省江門市恩平江南中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.小明有中國(guó)古代四大名著：《三國(guó)演義》，《西游記》，《水滸傳》，《紅樓夢(mèng)》各一本，他要將這四本書全部借給三位同學(xué)，每位同學(xué)至少一本，但《西游記》，《紅樓夢(mèng)》這兩本書不能借給同一人，則不同的借法有（）A．36種 B．30種 C．24種 D．12種參考答案：B【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、將4本書分成3組，其中一組2本，其他2組各1本，注意需要排除其中《西游記》，《紅樓夢(mèng)》分在同一組的情況，②將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)三位同學(xué)，求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、將4本書分成3組，其中一組2本，其他2組各1本，有=6種分組方法，但《西游記》，《紅樓夢(mèng)》這兩本書不能借給同一人，即這兩本書不能分在同一組，《西游記》，《紅樓夢(mèng)》分在同一組的情況有1種，故4本書分成3組，符合題意的分法有6﹣1=5種，②、將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)三位同學(xué)，有A33=6種情況，則不同的借法有5×6=30種；故選：B．2.已知，則“”是“”的（

）條件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既非充分也非必要參考答案：A

略3.命題“若，則”的逆否命題是A．“若，則”

B．“若，則”C．“若x，則” D．“若，則”參考答案：C略4.若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值等于

A.

B.

C.

D.參考答案：C

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．J3

解析：由題意，（x6）n的展開式的項(xiàng)為Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr，令6n﹣r=0，得n=r，當(dāng)r=4時(shí)，n取到最小值5故選：C．【思路點(diǎn)撥】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，對(duì)其進(jìn)行整理，令x的指數(shù)為0，建立方程求出n的最小值．5.函數(shù)y=的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．【分析】欲判斷圖象大致圖象，可從函數(shù)的定義域{x|x≠0}方面考慮，還可從函數(shù)的單調(diào)性（在函數(shù)當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)）方面進(jìn)行考慮即可．【解答】解析：函數(shù)有意義，需使ex﹣e﹣x≠0，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，排除C，D，又因?yàn)椋援?dāng)x＞0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，故選A答案：A．6.如圖，A、B、C是表面積為的球面上三點(diǎn)，AB=2，BC=4，

∠ABC=60o，O為球心，則直線OA與截面ABC所成的角是（

）

A．a(chǎn)rcsin

B．a(chǎn)rccosC．a(chǎn)rcsin

D．a(chǎn)rccos參考答案：D7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖象最有可能的是（

） 參考答案：A8.如圖，圓柱的軸截面為正方形ABCD，E為弧的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．參考答案：D取的中點(diǎn)，連接，，，設(shè)，則，，所以，連接，，因?yàn)?，所以異面直線與所成角即為，在中，，故選D．9.已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，則λ的值為（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，由向量、的坐標(biāo)可得的坐標(biāo)，進(jìn)而由向量模的計(jì)算公式可得1+（1﹣λ）2=5，解得λ的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量=（0，﹣1），=（1，1），則=（1，1﹣λ），又由|λ+|=，即，有1+（1﹣λ）2=5，解得λ=3或﹣1，故選：C．10.不等式的解集為(

)A．{x|x＜﹣3，x＞2} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|x＞﹣3} D．{x|x＜2}參考答案：B【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【專題】計(jì)算題．【分析】此題是分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式然后再利用數(shù)軸標(biāo)根法即可求解．【解答】解：∵∴（2﹣x）（x+3）＞0∴（x﹣2）（x+3）＞0∴由數(shù)軸標(biāo)根法可得解集為（﹣3，2）故選B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式不等式的解法．解題的關(guān)鍵是先轉(zhuǎn)化為整式不等式（同時(shí)注意分母不可以為哦）再利用數(shù)軸標(biāo)根法時(shí)要保證x的系數(shù)均為正，這一點(diǎn)十分重要！二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則公比____________.參考答案：2略12.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，(1)若則的最大值為

；(2)設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有三個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

。參考答案：；13.若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋（a－2）x－2>0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．參考答案：x<－1或x>14.雙曲線=1的左右兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且∠F1PF2為銳角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是

．參考答案：（，+∞）∪（﹣∞，﹣）【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意畫出圖形，以P在雙曲線右支為例，求出∠F1PF2為直角時(shí)P的坐標(biāo)，可得∠F1PF2為銳角時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍【解答】解：不妨以P在雙曲線右支為例由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又|PF1|﹣|PF2|=2，①兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4，∴|PF1||PF2|=6，②聯(lián)立①②解得：|PF2|=，由焦半徑公式得|PF2|==ex﹣a，即可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱性，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（））．故答案為：是（））15.現(xiàn)有5雙不同號(hào)碼的鞋，從中任意取出4只，則恰好只能配出一雙的概率為

．參考答案：考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：由題意可得總的基本事件數(shù)為=210，恰有兩只成雙的取法是???=120，由概率公式可得．解答： 解：總的基本事件數(shù)為=210，恰有兩只成雙的取法是???=120∴從中任意取出4只，則恰好只能配出一雙的概率P==故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率公式，涉及排列組合的知識(shí)，屬基礎(chǔ)題．16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意，存在唯一的，使（c為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)在D上均值為c，給出下列五個(gè)函數(shù)：①②；③；④；⑤滿足在其定義域上均值為2的所有函數(shù)的序號(hào)是

。參考答案：答案:②③⑤17.已知函數(shù)與都是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（4）的值為____．參考答案：2【分析】根據(jù)題意，由f（x﹣1）是定義在R上的奇函數(shù)可得f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，分析可得f（x）＝f（x﹣2），則函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，據(jù)此可得f（）＝f（）＝﹣f（），結(jié)合函數(shù)的解析式可得f（）的值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與周期性可得f（0）的值，相加即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，f（x﹣1）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對(duì)稱，則有f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），又由f（x）也R上的為奇函數(shù)，則f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0；則有f（﹣2﹣x）＝f（﹣x），即f（x）＝f（x﹣2），則函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，則f（）＝f（）＝﹣f（），又由f（）＝log2（）＝﹣2，則f（）＝2，f（4）＝f（0）＝0，故f（）+f（4）＝2+0＝2；故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)的對(duì)稱性的判定，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B點(diǎn)在AM上D點(diǎn)在AN上，且對(duì)角線MN過(guò)點(diǎn)C,已知AB=3米，AD=2米。(Ⅰ）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(Ⅱ）當(dāng)DN的長(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值。參考答案：（Ⅰ）設(shè)DN的長(zhǎng)為米，則米,由得又得解得：即DN的長(zhǎng)取值范圍是(Ⅱ）矩形花壇的面積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，矩形花壇的面積最小24平方米19.(本題滿分12分)已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓:的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.（Ⅰ）求拋物線的方程;（Ⅱ）設(shè)橢圓C的右準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)。求面積的最小值；（Ⅲ）設(shè)、分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)Q的任意一點(diǎn)，若直線、分別與橢圓相交于異于、的點(diǎn)、。求證：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)．參考答案：解:(1)由題意,可設(shè)拋物線方程為.

由,得.

拋物線的焦點(diǎn)為,.

拋物線的方程為.

…………4分(2)橢圓的右準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，,.

聯(lián)立,整理得:

當(dāng)時(shí)，

…………8分(3)

A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）（－2<x0<2）.∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝（4－x02）.

1又直線AP的方程為y＝，則P（4，）.

從而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.

2將1代入2，化簡(jiǎn)得·＝（2－x0）.∵2－x0>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)?！?2分20.如圖,五邊形ABSCD中,四邊形ABCD為長(zhǎng)方形,為邊長(zhǎng)為2的正三角形,將沿BC折起,使得點(diǎn)S在平面ABCD上的射影恰好在AD上.（Ⅰ）當(dāng)時(shí),證明:平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）若,求平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對(duì)值.參考答案：(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).試題分析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，則，平面，，結(jié)合勾股定理可得，則平面，平面平面.（Ⅱ）由幾何關(guān)系，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面的法向量，平面的法向量.計(jì)算可得平面與平面所成二面角的余弦值的絕對(duì)值為.試題解析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，，又，平面，利用勾股定理得，同理可得在中，平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）連結(jié)，，，，又四邊形為長(zhǎng)方形，.取中點(diǎn)為，得∥，連結(jié)，其中，，由以上證明可知互相垂直，不妨以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，設(shè)是平面的法向量，則有即，令得設(shè)是平面的法向量，則有即令得.則所以平面與平面所成二面角的余弦值的絕對(duì)值為.

21.（本小題14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．（I）求證：M為PB的中點(diǎn)；（II）求二面角B-PD-A的大??；（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．

參考答案：解：（I）設(shè)交點(diǎn)為，連接.因?yàn)槠矫?，平面平面，所?因?yàn)槭钦叫?，所以為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).（II）取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槭钦叫危?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，.于是.平面的法向量為，所以.由題知二面角為銳角，所以它的大小為.（III）由題意知，，.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.

22.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx（1）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為﹣2，求a的取值范圍；（2）若對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）由題意當(dāng)a＞0時(shí)，求導(dǎo)，令f′（x）=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，分類討論，求得f（x）的最小值，求得a的取值范圍；（2）設(shè)g（x）=f（x）+2x，求導(dǎo)，令當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=＞0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a≠0時(shí)，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得a的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞），當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2ax﹣（a+2）+=（x＞0），（2分）令f′（x）=0，得f′（x）===0，∴x=或x=．（3分）當(dāng)0＜≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，則f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；

（4分）當(dāng)1＜＜e時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值是f（）＜f（1）=﹣2，不合題意；

當(dāng)≥e時(shí)，f（x）在[1，e）上單調(diào)遞減，f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合題意，（6分）綜上：a≥1．（2）設(shè)g（x）=f（x）+2x，即g（x）=ax2﹣ax+