2022年江蘇省無錫市錢橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022年江蘇省無錫市錢橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，則k的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.如圖，長方形的四個頂點為，曲線經(jīng)過點，現(xiàn)將一質(zhì)點隨機投入長方形中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是A．

B．

C．

D．參考答案：C3.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ax2－x，若x=1是函數(shù)f(x)是極大值點，則函數(shù)f(x)的極小值為（

）A.ln2－2

B.ln2－1

C.

ln3－2

D.ln3－1參考答案：A∵，∴，∵是函數(shù)的極大值點，∴，解得，∴，∴當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；∴當(dāng)時，有極小值，且極小值為．故選A．

4.命題“a,b都是偶數(shù)，則a與b的和是偶數(shù)”的逆否命題是（

）A.a與b的和是偶數(shù)，則a,b都是偶數(shù)

B.a與b的和不是偶數(shù)，則a,b不都是偶數(shù)C.a,b不都是偶數(shù)，則a與b的和不是偶數(shù)

D.a與b的和不是偶數(shù)，則a,b都不是偶數(shù)參考答案：B5.函數(shù)，則

．

參考答案：6.給出演繹推理的“三段論”：直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有的直線；（大前提）已知直線b∥平面α．，直線α?平面α；（小前提）則直線b∥直線α（結(jié)論）那么這個推理是（）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤參考答案：A【考點】演繹推理的意義．【分析】根據(jù)線面、線線的位置關(guān)系的定義進行判斷即可．【解答】解：因為直線平行于平面，所以直線與平面沒有公共點，則直線與面內(nèi)所有的直線平行或異面，所以大前提錯誤，故選：A．7.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，則等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.已知復(fù)數(shù)z，滿足（z﹣1）i=i﹣1，則|z|=（）A． B． C．2+i D．參考答案：D【考點】復(fù)數(shù)求模．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．【解答】解：（z﹣1）i=i﹣1，∴﹣i?（z﹣1）i=﹣i?（i﹣1），∴z﹣1=1+i，∴z=2+i．則|z|==．故選：D．9.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）

Ａ．Ｂ．Ｃ．

Ｄ．參考答案：A略10.設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，則對虛數(shù)單位，（

）A.8

B.6

C.4

D.2參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

已知扇形的周長為10，面積是4，則扇形的圓心角是____________.參考答案：12.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則

．參考答案：2，，所以。

13.在等比數(shù)列中，a2＝2，且，則的值為_______．參考答案：5【知識點】等比數(shù)列【試題解析】在等比數(shù)列中，

由

得：解得：或

所以

故答案為：14.如圖所示，在南海上有兩座燈塔，這兩座燈塔之間的距離為60千米，有個貨船從島P處出發(fā)前往距離120千米島Q處，行駛致一半路程時剛好到達M處，恰巧M處在燈塔A的正南方，也正好在燈塔B的正西方，向量⊥，則＝_____________．參考答案：－3600由題意可知，⊥，⊥，，所以＝15.已知圓,過點的直線,則與的位置關(guān)系是___________（填“相交”、“相切”、“相離”或“三種位置關(guān)系均有可能”）.參考答案：相交,所以點在圓C內(nèi)部,故直線與圓相交；16.如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3，則AB的長為

．參考答案：考點：余弦定理．專題：綜合題．分析：先根據(jù)余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根據(jù)正弦定理可得答案．解答： 解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案為：．點評：本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，在解決問題的過程中要靈活運用正弦定理和余弦定理．屬基礎(chǔ)題．17.若實數(shù)x，y滿足且的最小值為4，則實數(shù)b的值為______參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．已知a=2acosAcosB﹣2bsin2A．（1）求C；（2）若△ABC的面積為，周長為15，求c．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）a=2acosAcosB﹣2bsin2A，利用正弦定理，即可求C；（2）由△ABC的面積為得ab=15，由余弦定理得a2+b2+ab=c2，又c=15﹣（a+b），即可求c．【解答】解：（1）由正弦定理可得sinA=2sinAcosAcosB﹣2sinBsin2A…=2sinA（cosAcosB﹣sinBsinA）=2sinAcos（A+B）=﹣2sinAcosC．所以cosC=﹣，故C=．…（2）由△ABC的面積為得ab=15，…由余弦定理得a2+b2+ab=c2，又c=15﹣（a+b），解得c=7．…19.（12分）如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，且△ABC是的邊長為4的等邊三角形，AE=2，CD與平面ABDE所成角的余弦值為，F(xiàn)是線段CD上一點．（Ⅰ）若F是線段CD的中點，證明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中點O，連結(jié)OC，OD，取ED的中點為M，以O(shè)為原點，OC為x軸，OB為y軸，OM為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面CDE⊥平面DBC．（Ⅱ）求出平面DEC的一個法向量和平面BCE的一個法向量，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【解答】證明：（Ⅰ）取AB中點O，連結(jié)OC，OD，∵DB⊥平面ABC，DB?平面ABDE，∴平面ABDE⊥平面ABC，∵△ABC是等邊三角形，∴OC⊥AB，又OC?平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∠CDO是CD與平面ABDE所成角，∵CD與平面ABDE所成角的余弦值為，∴CD與平面ABDE所成角的正弦值為，∴sin，∵OC=2，∴CD=4，BD=4，取ED的中點為M，以O(shè)為原點，OC為x軸，OB為y軸，OM為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，4），E（0，﹣2，2），F(xiàn)（，1，2），∴=（），=（2，﹣2，0），=（0，0，4），∴，，∴EF⊥BC，EF⊥BD，∵DB，BC?平面DBC，且DB∩BC=B，∴∴EF⊥平面DBC，又EF?平面BDF，∴平面CDE⊥平面DBC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)F是線段CD的中點時，得BF⊥平面DEC，又=（），則可取平面DEC的一個法向量==（），設(shè)平面BCE的一個法向量=（x，y，z），=（2，﹣2，0），=（2，2，﹣2），則，取x=1，得=（1，），則cos＜＞===，sin＜＞=，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值為．【點評】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（，）．（Ⅱ）當(dāng)時，若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．參考答案：21.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD，，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.參考答案：(1)見解析；（2）【分析】（1）連接，，,通過勾股定理得到，再由條件推得進而得到線面垂直，線線垂直；（2）建立坐標(biāo)系，分別求得兩個面的法向量，進而求得夾角的余弦值.【詳解】(1)連接，，，以為原幾何體是平行六面體，故得到是平行四邊形，進而得到，因為且，在三角形ABC中由余弦定理得到邊，，進而得到，又因為底面，面..(2)根據(jù)題干，以及第一問可建立如圖坐標(biāo)系：設(shè)，，，根據(jù)，設(shè)面的法向量為設(shè)面的法向量為，，則兩個半平面的夾角余弦值為：【點睛】這個題目考查了空間中直線和面的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，以及線線垂直的證明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用幾何方法，做出二面角，或者建立空間坐標(biāo)系得到法向量進而求得二面角的大小.22.在直角梯形ABCD中，AB=2，CD=CB=1，∠ABC=90°，平面ABCD外有一點E，平面ADE⊥平面ABCD，AE=ED=1．（1）求證：AE⊥BE；（2）求二面角C﹣BE﹣A的正弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）求出BD，利用勾股定理得得AD⊥BD．由平面ADE⊥平面ABCD，得DB⊥AE．AE⊥平面BDE，即可證明AE⊥BE．．（2）如圖，由（1）得CB⊥CD，所以以C為原點，CB，DC分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，﹣2，0），B（1，0，0），C（0，0，0），E（﹣，﹣，），D）（0，﹣1，0）．求出法向量即可求解．【解答】解：（1）因為∠ABC=90°，所以在Rt△BCD中，BD=．又∵AD==，∴AE⊥ED．∵AB2=AD2+BD2，∴AD⊥DB，∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，AD⊥DB，∴DB⊥平面ADE，∵AE?平面ADE，∴DB⊥AE．∵AE⊥B