專題02一元二次方程與二次函數的圖象性質（五大題型）（原卷版）

專題02一元二次方程與二次函數的圖象、性質【題型歸納目錄】題型一：根的判別式題型二：根與系數的關系（韋達定理）題型三：二次函數圖像的伸縮變換題型四：二次函數圖像的平移變換題型五：二次函數的最值問題【知識點梳理】知識點1：根的判別式我們知道，對于一元二次方程（），用配方法可以將其變形為．①因為，所以，．于是（1）當時，方程①的右端是一個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數根；（2）當時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數根；（3）當時，方程①的右端是一個負數，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數根．由此可知，一元二次方程（）的根的情況可以由來判定，我們把叫做一元二次方程（）的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示．綜上所述，對于一元二次方程（），有(1)當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數根；（2）當Δ=0時，方程有兩個相等的實數根；（3）當Δ<0時，方程沒有實數根．知識點2：根與系數的關系（韋達定理）若一元二次方程（）有兩個實數根，，則有；．所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：如果（）的兩根分別是，，那么，．這一關系也被稱為韋達定理．特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程，若，是其兩根，由韋達定理可知，，即，，所以，方程可化為，由于，是一元二次方程的兩根，所以，，也是一元二次方程．知識點3：二次函數圖像的伸縮變換問題函數與的圖象之間存在怎樣的關系？為了研究這一問題，我們可以先畫出，，的圖象，通過這些函數圖象與函數的圖象之間的關系，推導出函數與的圖象之間所存在的關系．先畫出函數，的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了．再描點、連線，就分別得到了函數，的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個函數圖象之間的關系：函數的圖象可以由函數的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑瑢W們也可以用類似于上面的方法畫出函數，的圖象，并研究這兩個函數圖象與函數的圖象之間的關系．通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象可以由y=x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到．在二次函數y=ax2(a≠0)知識點4：二次函數圖像的平移變換函數y=a(x+h)2+k與y=ax2的圖象之間存在怎樣的關系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數圖象之間的關系來研究它們之間的關系．同學們可以作出函數y=2(x+1)2+1與y=2x2的圖象（如圖2－2所示），從函數的同學我們不難發(fā)現，只要把函數y=2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數y=2(x+1)2+1的圖象．這兩個函數圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．類似地，還可以通過畫函數y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系．通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a決定了二次函數圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．由上面的結論，我們可以得到研究二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的方法：由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－，所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象可以看作是將函數y=ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性質：（1）當a>0時，函數y=ax2+bx+c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x=－；當x<時，y隨著x的增大而減??；當x>時，y隨著x的增大而增大；當x=時，函數取最小值y=．（2）當a<0時，函數y=ax2+bx+c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x=－；當x<時，y隨著x的增大而增大；當x>時，y隨著x的增大而減小；當x=時，函數取最大值y=．【典例例題】題型一：根的判別式例1．（2023·河南新鄉(xiāng)·統考三模）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．沒有實數根C．有兩個相等的實數根 D．只有一個實數裉例2．（2023·湖北恩施·統考二模）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．例3．（2023·云南楚雄·統考三模）關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．變式1．（2023·浙江溫州·?？既＃┤絷P于x的方程有兩個不相等的實數根，則實數m的值可以是（

）A． B． C． D．2變式2．（2023·內蒙古包頭·統考一模）在正比例函數中，的值隨值的增大而減小，則關于的一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根 D．無法確定題型二：根與系數的關系（韋達定理）例4．（2023·福建泉州·統考模擬預測）已知m，n是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．0 B．3 C．6 D．13例5．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學校考三模）若是關于x的一元二次方程的一個根，則該方程的另一個根是（

）A． B． C． D．例6．（2023·江蘇南京·校聯考三模）若，是方程的兩個根，則（

）A． B． C． D．變式3．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學校?？寄M預測）若5是方程的一個根，則方程的另一個根是（

）A．1 B．2 C．3 D．5變式4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考三模）如圖，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線，結合圖象給出下列結論：①；②；③；④方程的兩根和為1；⑤若是方程的兩根，則方程的兩根滿足；其中正確結論有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個變式5．（2023·廣東佛山·校考三模）關于x一元二次方程有一個根是，則另一個根是（

）A． B． C． D．題型三：二次函數圖像的伸縮變換例7．（2023·湖北武漢·武漢市第一初級中學?？寄M預測）為有效地應對高樓火災，某消防中隊進行消防技能比賽.如圖，在一個廢棄高樓距地面的點和的點處，各設置了一個火源，消防員來到火源正前方，水槍噴出的水流看作拋物線的一部分，第一次滅火時站在水平地面的點處，水流從點射出恰好到達點處，且水流的最大高度為，水流的最高點到高樓的水平距離為，建立如圖所示的平面直角坐標系，水流的高度與出水點到高樓的水平距離之間滿足二次函數關系．

(1)直接寫出消防員第一次滅火時水流所在拋物線的解析式：______；(2)待處火熄滅后，消防員前進到點（水流從點射出）處進行第二次滅火，若兩次滅火時水流所在拋物線的形狀完全相同，請判斷水流是否到達點處，并說明理由；(3)若消防員從點前進到點（水流從點射出）處，水流未達到最高點且恰好到達點處，求請直接寫出的值．（水流所在拋物線形狀與第一次完全相同）例8．（2023·江蘇宿遷·統考三模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線的拋物線也經過點、點，并與軸正半軸交于點．(1)拋物線的函數表達式；(2)設點，點在拋物線對稱軸上，并使得的周長最?。^點任意作一條與軸不平行的直線交此拋物線于、兩點，試探究的值是否為定值？說明理由；(3)將拋物線適當平移后，得到拋物線，若當時，恒成立，求的最大值．例9．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學校考三模）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于點和點，與y軸交于點C，P為拋物線上一動點．

(1)寫出拋物線的對稱軸為直線______，拋物線的解析式為______；(2)如圖2，連結，若P在上方，作軸交于Q，把上述拋物線沿射線的方向向下平移，平移的距離為h，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；(3)若P在上方，設直線，與拋物線的對稱軸分別相交于點F，E，請?zhí)剿饕訟，F，B，G（G是點E關于x軸的對稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由．(4)設M為拋物線對稱軸上一動點，當P，M運動時，在坐標軸上是否存在點N，使四邊形為矩形？若存在，直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．變式6．（2023·廣東深圳·統考模擬預測）在初中函數學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，結合圖象研究函數性質并對其性質進行應用的過程．小麗同學學習二次函數后，對函數（自變量x可以是任意實數）圖象與性質進行了探究．請同學們閱讀探究過程并解答：(1)作圖探究：①下表是y與x的幾組對應值：x…01234…y…830m00n8…___________，___________；②在平面直角坐標系中，描出表中各組對應值為坐標的點，并根據描出的點，畫出該函數的圖象：

(2)深入思考：根據所作圖象，回答下列問題：①方程的解是___________；②如果的圖象與直線有4個交點，則k的取值范圍是___________；(3)延伸思考：將函數的圖象經過怎樣的平移可得到的圖象？請寫出平移過程．題型四：二次函數圖像的平移變換例10．（2023·廣東廣州·校考二模）在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A，B兩點．(1)將沿y軸正方向平移t個單位得到，當拋物線與有且僅有一個公共點時，求t的取值．(2)當時，拋物線恒在直線的上方，求的取值范圍．(3)將此拋物線在A，B之間的部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）記為G，在G內的整點（橫、縱坐標都是整數的點）是否存在有且只有8個？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．例11．（2023·浙江湖州·統考二模）如圖，已知在平面直角坐標系中，拋物線經過點．

(1)求該拋物線的解析式；(2)將該拋物線向下平移n個單位，使得平移后的拋物線經過點，求n的值．例12．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）如圖，頂點在軸負半軸上的拋物線與直線相交于點，，連接.

(1)求該拋物線的函數表達式；(2)若將拋物線向下平移個單位長度，則在平移后的拋物線上，且在直線的下方，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由.變式7．（2023·陜西西安·?？寄M預測）已知拋物線與x軸相交于A、B兩點（點B在點A的左側），點A的坐標是，與y軸相交于點C，將拋物線L繞點旋轉得到拋物線．(1)求拋物線的函數表達式．(2)將拋物線向左或向右平移，得到拋物線，與x軸相交于、兩點（點在點的左側），與y軸相交于點，要使，求所有滿足條件的拋物線的函數表達式．題型五：二次函數的最值問題例13．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校敽蜁r，二次函數（，是常數，）的函數值相等．(1)若該函數的最大值為，求函數的表達式，并寫出函數圖象的頂點坐標；(2)若該函數的圖象與軸有且只有一個交點，求，的值．(3)記（2）中的拋物線為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，當時，拋物線的最大值與最小值之差為，求的值．例14．（2023·湖北孝感·?？寄M預測）如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，，連接．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知點D為第四象限拋物線上的一個動點，且D點的橫坐標為m，過點D作軸，垂足為點E，交于點F，過點D作交x軸于點N，交于點M．①寫出的值為，并求出線段的長（用含m的代數式表示）；②若D點的橫坐標m滿足，其中，當的最小值為時，求t的值．例15．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，交軸于點，且，

(1)求這個拋物線的解析式；(2)如圖1，點為第三象限拋物線上的點，設點的橫坐標為，面積，求與的函數解析式（直接寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，為延長線上的一點，與交于點，若，求的最大值．變式8．（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學校考三模）如圖，在矩形中，點為邊的中點，點為上的一個動點，連接并延長，交的延長線于點，以為底邊在下方作等腰，且．

(1)如圖①，若點恰好落在上，連接，．求證：；(2)如圖②，點H落在矩形內，連接，若，，求四邊形面積的最大值．變式9．（2023·福建泉州·統考二模）在平面直角坐標系中，拋物線經過原點，對稱軸為直線．已知點，點C是y軸負半軸上一點，直線l經過P、C兩點，且與拋物線交于A、B兩點（點A在線段上）．(1)求拋物線的解析式；(2)若，求點A的坐標；(3)記，判斷m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．變式10．（2023·廣東廣州·廣州四十七中校考三模）已知直線經過點和點．(1)求直線的解析式；(2)若點是直線上的一點，以點為頂點的拋物線經過點，且開口向上．①試求的取值范圍；②設拋物線與直線的另一個交點為，當點向左平移一個單位長度后所得到的點也在圖象上，且，試求在的圖象的最高點的坐標．變式11．（2023·湖南長沙·校考二模）若三個非零實數中有一個數的平方等于另外兩個數的積，則稱三個實數三構成“雅境三元數”．(1)實數可以構成“雅境三元數”嗎？請說明理由；(2)若M1(，)，M2(，)，M3(，)三點均在函數（為常數且）的圖象上且這三點的縱坐標，，構成“雅境三元數”，求實數的值；(3)設非負實數是“雅境三元數”且滿足，其中是關于的一元二次方程的兩個根，若過點A的二次函數同時滿足以下兩個條件：①；②當時，函數的最小值等于．求二次函數解析式．【過關測試】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·統考三模）某商品經過連續(xù)兩次漲價，售價由原來的每件元漲到每件元，則平均每次漲價的百分率為（

）A． B． C． D．36%2．（2023·福建福州·?？既＃┮阎魏瘮担ㄆ渲惺亲宰兞浚┑膱D象經過不同兩點，，且該二次函數的圖象與軸有唯一公共點，則的值為（）A． B．2 C．3 D．43．（2023·湖北武漢·校聯考模擬預測）已知是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．4．（2023·北京海淀·北京市師達中學?？寄M預測）已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數的值是（

）A． B．0 C．1 D．45．（2023·湖北武漢·校聯考模擬預測）已知為正整數，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·黑龍江哈爾濱·統考三模）關于的一元二次方程無實數解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2023·黑龍江哈爾濱·統考三模）將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后所得拋物線解析式為（

）A． B． C． D．8．（2023·天津濱海新·統考二模）二次函數大致圖象如圖所示，其中頂點為，下列結論①；②；③若方程有兩根為和，且，則，其中正確的個數是（

）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個9．（2023·安徽蚌埠·統考三模）已知某拋物線開口向下，經過點，，，且．若點，，在該拋物線上，則（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江紹興·校聯考三模）二次函數的圖象經過點,，在范圍內有最大值為4，最小值為，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023·湖北武漢·武漢市第一初級中學?？寄M預測）已知關于的函數，有下列結論：①函數的圖象是軸對稱圖形；②當時，隨增大而減??；③點，是函數的圖象上不同的兩點，則；④函數的最小值為．其中正確的結論是______．（填寫序號）12．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學校?？既＃┮辉畏匠痰膬蓚€實數根是，，且，則________．13．（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）若關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍為______．14．（2023·湖北恩施·統考二模）已知關于x的一元二次方程的兩個實數根為，且，則__________．15．（2023·福建福州·福建省福州延安中學?？既＃┤鐖D，在正方形中，點，點，則二次函數與正方形有交點時，的最大值是______．

16．（2023·湖南邵陽·統考二模）已知如圖，平面直角坐標系中，一條直線與拋物線相交于、兩點，求當時的x的取值范圍是______．

17．（2023·江蘇南通·統考三模）已知，點、、、分別在正方形的邊、、、上，，、相交于點，，已知正方形的邊長為16，長為20，則面積的最大值為______．

三、解答題18．（2023·河南新鄉(xiāng)·統考三模）教育部印發(fā)《義務教育課程方案》和課程標準（2022年版），將勞動從原來的綜合實踐活動課程中獨立出來．某中學為了讓學生體驗農耕勞動，如圖（1）在正方形綠化帶內修建一個矩形耕種園，其中點在上，點在上，已知正方形綠化帶的面積為，，是墻壁，，無墻壁．已知矩形耕種園的面積為正方形花園面積的，該耕種園借助綠化帶的墻壁，只設置圍欄，即可．小明用所學的數學知識進行了如下探究．

(1)建立數學模型由題意知，此耕種園的面積為，設米，則米．設所需圍欄的長度為米，則關于的函數解析式為______．(2)畫出函數圖象①列表：581016202520其中，______．②請根據上表數據，在如圖（2）所示的平面直角坐標系中描點，并畫出關于的函數圖象，其中，自變量的取值范圍是______．(3)觀察函數圖象，解決問題①當所用圍欄最短時，的長為______米．②若學校打算用20.5米的圍欄建設耕種園（圍欄正好用完），則_