山西省忻州市原平東社中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

山西省忻州市原平東社中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若（A）12

（B）18

（C）24

（D）42參考答案：答案：C解析：S2，S4-S2，S6-S4成等差數(shù)列，即2，8，S6-10成等差數(shù)列，S6=24，選C2.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C3.已知球面的三個(gè)大圓所在平面兩兩垂直，則以三個(gè)大圓的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的八面體的體積與球體積之比為（

）A．1:

B．1:2

C．2:

D．4:3參考答案：A4.某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個(gè)小組，在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89，則n﹣m的值（）A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】莖葉圖．【分析】利用莖葉圖、平均數(shù)、中位數(shù)的性質(zhì)，列出方程組，求出m，n，由此能求出結(jié)果．【解答】解：由題意得：，解得m=3，n=9，∴n﹣m=9﹣3=6．故選：B．5.設(shè)變量滿足約束條件的取值范圍為參考答案：B6.已知命題：“”是“”的充要條件；：，，則A．￢∨為真命題 B．∧￢為假命題 C．∧為真命題 D．∨為真命題參考答案：D7.設(shè)全集,，則

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A. B. C. D.10參考答案：A【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體為一組合體，是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體與三棱錐的組合體，根據(jù)體積公式分別計(jì)算即可.【詳解】幾何體為正方體與三棱錐的組合體，由正視圖、俯視圖可得該幾何體的體積為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖，正方體與三棱錐的體積公式，屬于中檔題.9.若向量與不共線，，且，則向量與的夾角為（

）A.0 B. C. D.參考答案：D因?yàn)?，所以，所以，即向量夾角為，選D.10.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，可得=2，結(jié)合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出雙曲線的方程．【解答】解：∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0），∴c=5，∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴雙曲線的方程為﹣=1．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列正確命題的序號(hào)是__________。(1)若m∥,n∥,則m∥n；

(2)若則；(3)若，且，則；(4)若，，則。參考答案：(3)、(4)；12.實(shí)數(shù)x、y滿足，則z=x2+y2+2x﹣2y的最小值為．參考答案：0考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義進(jìn)行求解即可．解答：解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，則z=x2+y2+2x﹣2y=z=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，設(shè)m=（x+1）2+（y﹣1）2，則m的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)倒是定點(diǎn)D（﹣1，1）的距離的平方，由圖象知D到直線y=x的距離最小，此時(shí)d=，則m=d2=2，故z的最小值為z=2﹣2=0，故答案為：0．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及點(diǎn)到直線的距離的求解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．13.設(shè)向量滿足，，且與的方向相反，則的坐標(biāo)為

．參考答案：14.飛機(jī)的航線和山頂C在同一個(gè)鉛錘平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度保持在海拔（km），飛行員先在點(diǎn)A處看到山頂?shù)母┙菫?，繼續(xù)飛行（km）后在點(diǎn)B處看到山頂?shù)母┙菫?試用、、、表示山頂?shù)暮０胃叨葹?/p>

（km）．參考答案：（或）15.數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略16.已知數(shù)列滿足下面說(shuō)法正確的是①當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，數(shù)列不一定有最大項(xiàng)；

③當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；④當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng).A.①②

B.②④

C.③④

D.②③參考答案：C17.曲線y=x2與所圍成的圖形的面積是．參考答案：【考點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用；定積分．【分析】聯(lián)立兩個(gè)解析式得到兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后對(duì)函數(shù)解析式求定積分即可得到曲線y=x2與所圍成的圖形的面積．【解答】解：聯(lián)立的：因?yàn)閤≥0，所以解得x=0或x=1所以曲線y=x2與所圍成的圖形的面積S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=故答案為【點(diǎn)評(píng)】讓學(xué)生理解定積分在求面積中的應(yīng)用，會(huì)求一個(gè)函數(shù)的定積分．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）如圖,已知與圓相切于點(diǎn),直徑,連接交于點(diǎn)．（Ⅰ）求證:；（Ⅱ）求證:.參考答案：（I）解法一：19.已知，是的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ），，，當(dāng)時(shí)，恒成立，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，，即，由，得；由，得，所以當(dāng)時(shí)，有極小值.（Ⅱ）令，則，注意到，令，則，且，得；，得，∴，即恒成立，故，當(dāng)時(shí)，，，于是當(dāng)時(shí)，，即成立.當(dāng)時(shí)，由（）可得（）.，故當(dāng)時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，，不成立.綜上，的取值范圍為．20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分10分）設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù)和的解析式；（2）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）定義，且

①當(dāng)時(shí)，求的解析式；已知下面正確的命題：當(dāng)時(shí)，都有恒成立.②對(duì)于給定的正整數(shù)，若方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，確定的取值范圍；

若將這些根從小到大排列組成數(shù)列，求數(shù)列所有項(xiàng)的和.參考答案：解：（1）函數(shù)函數(shù)

……4分（2），……6分當(dāng)時(shí)，則有恒成立.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有恒成立.綜上可知當(dāng)或時(shí)，恒成立；………8分（3）①當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)，都有故有…13分②由①可知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)命題的結(jié)論可得，當(dāng)時(shí)，有，故有.因此同理歸納得到，當(dāng)時(shí)，……15分對(duì)于給定的正整數(shù)，時(shí)，解方程得，，要使方程在上恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對(duì)于任意，必須恒成立，解得,若將這些根從小到大排列組成數(shù)列，由此可得

.……17分故數(shù)列所有項(xiàng)的和為：.……18分

略21.（本小題滿分12分）如圖9-13，P是拋物線C：y=x2上—點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q．(I)若直線l與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；(Ⅱ)若直線l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍．參考答案：(1)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M(x0，y0)，依題意x1≠0，yl>0，y2>0．由y=x2，①得y'=x.∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1,∵x1=0不合題意，∴x1≠0．∴直線l的斜率k1=,直線l的方程為y-x21=(x-x1)．②方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+-x21-2=0．由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0．③則方法一：∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，∴的取值范圍是(2，+∞)．方法二：∴當(dāng)b>0時(shí)，=|b|+2>2；當(dāng)b<0時(shí),=-b又由方程③有兩個(gè)相異實(shí)根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0．于是k2+2b>0，即k2>-2b．所以∵當(dāng)b>0時(shí)，可取一切正數(shù)，的取值范圍是(2+∞)．方法三：由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=kTP,即則x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)．于是b=可取一切不等于l的正數(shù)，的取值范圍是(2，+∞)．22.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知圓過(guò)定點(diǎn)，圓心在軌跡上運(yùn)動(dòng)，且圓與軸交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，求的最大值。參考答案：（1