數(shù)理方程課程簡介期末復(fù)習(xí)課件

數(shù)理方程課程簡介期末復(fù)習(xí)數(shù)理方程課程簡介期末復(fù)習(xí)數(shù)理方程課程簡介期末復(fù)習(xí)什么是數(shù)學(xué)物理方法如何建立數(shù)理方程求解定解問題特殊函數(shù)本次題型有：填空、判斷、選擇、計算什么是數(shù)學(xué)物理方法如何建立數(shù)理方程求解定解問題特殊函數(shù)本次題型有：填空、判斷、選擇、計算對實際問題（物理及一般問題），分析考察量的變化規(guī)律，建立相應(yīng)的微分方程寫出考察量所滿足的相關(guān)條件根據(jù)微分方程和相關(guān)條件，求出考察量的解討論解的適用條件精確描述線性增長階段例子:人口增長問題

(Malthus模型)什么是數(shù)學(xué)物理方法？用數(shù)學(xué)物理方法處理實際問題:第一步它是最重要的一步也是最困難的一步：數(shù)學(xué)物理方程的建立數(shù)學(xué)物理方法的核心：統(tǒng)計法：對所考察的問題進(jìn)行統(tǒng)計學(xué)研究，分析考察量的變化規(guī)律，寫出它所滿足的微分方程。這種方法具有非常廣泛的用途，包括生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)等。微元法：在系統(tǒng)中分出一個微元，分析它與附近部分的相互作用，寫出作用規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（比如牛頓第二定律表達(dá)式），它就是系統(tǒng)的微分方程。規(guī)律法：直接利用物理學(xué)規(guī)律寫出考察量所遵循的數(shù)學(xué)物理方程，比如利用電磁波的麥克斯韋方程，寫出電位、電場強度、磁場強度等物理量的微分方程。建立數(shù)理方程的方法基本方程（泛定方程）的建立

物理模型（現(xiàn)象、過程）

數(shù)學(xué)形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培養(yǎng)分析、歸納、綜合、演繹、抽象、猜測、試探、估算的科學(xué)方法。步驟：(1）確定研究對象（物理量），建立合適的坐標(biāo)系；（2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰部分間的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化簡整理，得到偏微分方程。

不含初始條件不含邊界條件物理狀態(tài)描述:設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動：雖然經(jīng)典，但極具啟發(fā)性。一.均勻弦的橫振動方程的建立X1、建立坐標(biāo)系，選定微元2、微元s的動力學(xué)方程（牛頓第二運動定律）uosM1N1M2N2xx+dxT1T2X1、建立坐標(biāo)系，選定微元uo2、微元s的動力學(xué)方程（牛頓第二運動定律）M1sN1M2N2xx+dxT1T2(1)(2)水平方向：豎直方向：(忽略重力)弦s的質(zhì)量:0xxu水平方向：豎直方向：3、忽略與近似對于微振動:T1＝T2，說明張力不隨地點而變，它在整根弦中取同一數(shù)值。(弦振動方程)

是的變化量，可以用微分近似代替，即(一維波動方程)強迫振動方程注:齊次方程:只含有對

u

的各種運算非齊次方程：含有對

u

運算之外的項f(x,

t),被稱為驅(qū)動項,或非零自由項

x

高溫低溫?zé)崃鳠崃餮豿方向傳遞,任意x處的溫度為u,溫度梯度為，q表示在單位時間內(nèi)流經(jīng)單位面積的熱量，k是熱傳導(dǎo)系數(shù)，負(fù)號表示熱流方向與溫度梯度方向相反。單位面積q00u熱傳導(dǎo)的傅里葉定律:溫度梯度：低溫高溫?zé)崃鲃樱焊邷氐蜏?/p>

微元長度,橫截積面,體密度:0xxQ1

Q2

在t

時間內(nèi)從

x截面流入的熱量在

時間內(nèi)從截面流出的熱量比熱定義體積元吸收的凈熱量表現(xiàn)為溫度的升高均勻細(xì)桿：熱傳導(dǎo)方程其中,而熱傳導(dǎo)方程:能量守恒要求:三維熱傳導(dǎo)方程:有源熱傳導(dǎo)方程:梯度：散度：旋度：矢量運算基礎(chǔ)：如果函數(shù)u(x,y,z)和矢量E(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則：微分算符：也稱哈密爾頓算子，讀“代爾（del）”拉普拉斯算符(子)：作用于函數(shù)u給出作用于函數(shù)E給出

E泊松方程:拉普拉斯方程:(非齊次:有源場)(齊次:無源場)電場強度與電位的關(guān)系定義為:電位方程u泛定方程定解條件定解問題數(shù)學(xué)物理方程：完整表述泛定方程只含一階微商，只有一個初始條件：泛定方程含二階微商，需要兩個初始條件:

泛定方程不含時間變量，不涉及初始條件（例如拉普拉斯方程）

數(shù)理方程：初始條件

第一類邊界條件：直接給出考察量在邊界S上的值：

第二類邊界條件：給出考察量的導(dǎo)數(shù)在邊界上的值：

第三類邊界條件：給出考察量及其導(dǎo)數(shù)的線性組合：

（均為已知函數(shù)）數(shù)理方程：邊界條件

分別稱為第一類，第二類，第三類齊次邊界條件

分別稱為第一類，第二類，第三類非齊次邊界條件

數(shù)理方程：邊界條件（自由端/絕熱）（彈性支撐）一個泛定方程與相應(yīng)的定解條件構(gòu)成“定解問題”。例如弦振動的一個定解問題（兩端固定，初始位移是任意的，初始速度為零）可以表示為數(shù)理方程：定解問題例1：(0x

L)(0<x<L,t>0)(t>0)幾個名詞簡介:定解問題分為三類：定解問題作為一個理論模型，是否能準(zhǔn)確無誤地描述實際過程，需要對結(jié)果進(jìn)一步檢驗，即考察解的“適定性”：1.存在性：定解問題的解是否存在2.唯一性：實際問題的解往往是唯一的，但數(shù)學(xué)解可能不唯一，需要舍去沒有實際意義的數(shù)學(xué)解3.穩(wěn)定性：定解條件或驅(qū)動項的微小變化是否導(dǎo)致解的性質(zhì)的改變

如果一個定解問題的解是存在的，唯一的，穩(wěn)定的，則稱這個定解問題是適定的。數(shù)理方程：定解問題的適定性本書所涉及的定解問題，都是古典的，適定的。線性方程的算符L稱為線性算符。其基本特點：線性算符：微分算符，積分算符…非線性算符：…線性算符:疊加原理:對于一個線性微分方程:

如果均是它的解,即則的線性組合也是該方程的解。證明：疊加原理為求解定解問題提供了有力的工具疊加原理掌握推導(dǎo)數(shù)理方程的一般步驟；會用“微元法”導(dǎo)出弦振動方程、熱傳導(dǎo)方程、泊松方程等；掌握三種類型的邊界條件；能根據(jù)實際情況寫出定解問題正確理解偏微分方程定解問題、定解條件（初始條件、邊界條件）、定解問題適定性等基本概念。第一章要求

基本方法：

1.分離變量法

2.行波法

3.積分變換法

拉普拉斯變換傅里葉變換定解問題的求解理解分離變量法的基本思想、本質(zhì)以及適用范圍；熟練掌握用分離變量法求解定解問題的步驟，并運用分離變量法求解方程和邊界條件都是齊次的定解問題；學(xué)會用本征函數(shù)法求解方程為非其次、邊界條件為齊次的定解問題；掌握非齊次邊界條件的齊次化方法；掌握極坐標(biāo)系中圓型域上拉普拉斯方程邊值問題的求解；了解Strum-Liourier理論的一些結(jié)論。

第二章要求什么是分離變量法?運用分離變量法所應(yīng)該具備的條件?如何應(yīng)用分離變量法解定解問題?有界弦的自由振動:弦長度為L,兩端固定,任意初始位移,任意初始速度。定解問題為:泛定方程邊界條件初始條件(1)(2)(3)設(shè)方程（1）有分離變量解：代入方程（1）：兩邊對x求導(dǎo)數(shù)：設(shè)這一常數(shù)為-，則（4）（5）（6）至此可以看出,利用分離變量法的條件是:泛定方程必須是齊次的。否則（5）變成方程,不能寫出變量分離的形式（6）。分離變量：將邊界條件（2）代入形式解（4）：由于,否則(平庸解,無實際意義),故這樣空間函數(shù)構(gòu)成下列常微分方程的邊值問題:至此可以看出,利用分離變量法的條件是:邊界條件必須是齊次的。否則，不能寫出關(guān)于空間函數(shù)

X(x)單獨的邊界條件（7），不能構(gòu)成定解問題（8）。（8）（7）

：方程(9)的通解為2.:方程(9)的通解為(9)(10)（平庸解:X(x)=0）由(10)得

為了滿足邊界條件(10),(11)必須給出(11)下面求解邊值問題：設(shè)這是一個關(guān)于A,B的線性齊次方程組，它有非零解的必要充分條件是系數(shù)行列式為零：

即上式在k=0(即=0)條件下成立，但在現(xiàn)在的<0情況下不成立，這意味著：方程組(12)只有零解(12)即(9)(10)為了滿足邊界條件(10),必須有3.>0,方程(9)的通解為該邊值問題的解是一系列分立的正弦函數(shù)由于B不能為零(否則X(x)=0)設(shè)將代入關(guān)于

T的方程:這個解稱為定解問題的“本征解”,它滿足泛定方程和齊次邊界條件其通解為這樣

解方程:但是本征解的初始值不能滿足任意初始條件(2),為了使原定解問題的解滿足任意初始條件，考慮到原泛定方程是線性的（服從疊加原理），可以取本征解的疊加構(gòu)成定解問題的一般解：一般解不但滿足泛定方程還滿足定解條件定解問題的一般解:

這樣初始條件可以表示為它們是函數(shù)的傅立葉級數(shù)，展開系數(shù)為一般解能表示任意初始條件可以再次看出,利用分離變量法的條件是:泛定方程必須是線性的。這樣才能利用疊加原理，構(gòu)成一般解，滿足任意初始條件。任意初始條件:

有界弦自由振動的定解問題的解由級數(shù)給出:

它滿足齊次邊界條件和任意初始條件:

展開系數(shù)被積分確定:弦振動定解問題的結(jié)論：1.對于泛定方程寫出形式解:

2.分離變量得到空間函數(shù)的本征值問題:3.解出后得到本征解:4.利用疊加原理得到一般解:（本征值）（本征函數(shù)）分離變量法：求解定解問題的步驟1.泛定方程是線性齊次的,

例如2.邊界條件是齊次的,例如3.初始條件可以是任意函數(shù)

分離變量法的適用條件本征方程X(x)+X(x)=0的本征值與本征函數(shù)邊界條件本征值本征函數(shù)n的取值ux=0=0，ux=L=0n=1,2,3,…n=0,1,2,3,…n=0,1,2,3,…n=0,1,2,3,…有界桿的長度為L，其兩端保持絕熱，已知桿內(nèi)初始溫度分布為(x)，求解桿內(nèi)任意時刻的溫度分布的定解問題：(1)(2)(3)熱傳導(dǎo)(第二類邊界條件)§2.2

有限長桿上的熱傳導(dǎo)設(shè)方程（1）有形式解：代入方程（1）分離變量：（4）（5）（6）分離變量：將邊界條件（3）代入形式解（4）：這樣空間函數(shù)

X(x)

構(gòu)成下列常微分方程的邊值問題:（8）（7）

：(9)的通解2.:(9)的通解(9)(10)有特解:X0(x)=A(常數(shù))由(10)得

,

為了滿足邊界條件(10),必須有(平庸解)但下面求解邊值問題：為了滿足邊界條件(10),必須有3.,方程(9)的通解為(9)(10)求解邊值問題：將代入關(guān)于

T的方程:這個解是定解問題的本征解，它滿足泛定方程和齊次邊界條件，但是不能表征任意初始條件其通解為這樣

解方程:利用傅里葉系數(shù)公式,得到C0是本征值=0相應(yīng)的特解X0(x)=A

初始條件：一般解與初始條件：(n=1,2,3,……)問題：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度概念：系統(tǒng)在任意時刻的平均穩(wěn)定定義為u(x,t)對空間的積分除以系統(tǒng)的長度LLLxx絕熱曲線下面積相等(總熱量保持恒定)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：1.直觀分析系統(tǒng)最終趨于熱平衡溫度:

這一過程是絕熱的(總熱量保持恒定)：初始溫度的平均值系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：2.動力學(xué)分析熱傳導(dǎo)的動力學(xué)行為:熱傳導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)行為:系統(tǒng)在條件下的穩(wěn)態(tài)溫度:系統(tǒng)是絕熱的(總熱量保持恒定):()熱傳導(dǎo)方程的穩(wěn)態(tài)解（適用于任何情況）初始溫度的平均值系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：3.穩(wěn)態(tài)分析將u(x,t)代入，可求出平均溫度U(t)=C0通解：利用定解條件確定系數(shù)圓域上的拉普拉斯方程

1.在物理上代表同一個點，具有相同的溫度:

這個條件稱為“周期性邊界條件”

2.物理上，圓內(nèi)各點的溫度應(yīng)該是有界的，特別是圓盤中心的溫度應(yīng)該是有限的：

這個條件稱為“自然邊界條件”尋找物理上的邊界條件：變成常微分方程的定解問題（角向方程）（徑向方程）選擇空間函數(shù)的本征函數(shù)集，寫出泛定方程的形式解：將形式解代入泛定方程（非齊次項也按該本征函數(shù)集展開），直接得到時間函數(shù)的常微分方程（可能需要采用拉普拉斯變換求解初值問題）3.本征函數(shù)法能用來求解齊次和非齊次泛定方程的定解問題利用本征函數(shù)法求解非齊次泛定方程的定解問題邊界條件本征函數(shù)集本征函數(shù)集（，）

非齊次邊界條件的處理——邊界條件的齊次化設(shè)定解問題:為了將邊界條件轉(zhuǎn)成齊次，為此令：使的邊界為齊次適當(dāng)選取，即由（2.55）與（2.57）可知，要使（2.58）式成立，只要選取W，使其滿足適當(dāng)選取由右列邊界條件確定由：理所當(dāng)然，函數(shù)必定滿足邊界條件。因此，只要作代換就能使新的未知函數(shù)，滿足齊次的邊界條件.那么，究竟選取哪一個？為了使以后的計算簡便，選取W為x的一次式，即取直線然后來解決關(guān)于新的函數(shù)V(x,t)——（齊次）的定解問題.可由上一節(jié)非齊次方程的解法，去求這個將非齊次邊界的矛盾轉(zhuǎn)嫁到泛定方程和初始條件中的定解問題。其中得到關(guān)于V的定解問題代入綜合問題：非齊次方程、非齊次邊界條件、任意初始條件如果自由項和邊界條件不含時間（或只是一個變量的函數(shù)），選取適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，使新函數(shù)的方程和邊界條件同時齊次化——（一箭雙雕）如果不滿足上述條件，選取適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)使新函數(shù)邊界條件齊次化。3.邊界條件齊次化之后，可以直接利用本征函數(shù)法，一次性求解新函數(shù)。3.如果邊界條件和泛定方程同時齊次化之后，可以用分離變量法求解。綜合定解問題的處理求u(x,t)或u(x,y)掌握達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)并會使用之；學(xué)會用特征變換法求解一維齊次波動方程柯西問題；掌握拉普拉斯變換和傅立葉變換的基本方法，會選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q求定解問題；了解三維波動方程的求解

第三章要求（通解）（特解）行波法：無界波動方程原方程：特征方程：特征線：特征變換：簡化方程：結(jié)論：只要找到特征方程就可以將原方程化簡結(jié)論>0

（雙曲型）如一維波動方程=0

（拋物線型）如一維熱傳導(dǎo)方程<0

（橢圓型）如二維拉氏方程

二階線性偏微分方程:通式和分類xyz球坐標(biāo)下的三維波動方程球?qū)ΨQ：無關(guān)，則波動方程可化簡為以

ru

為函數(shù)的一維波動方程一、球?qū)ΨQ情況目的：求任意

t時刻在任意點的波函數(shù)步驟：1.以M點為中心，以r為半徑作一個球面2.求出波函數(shù)在球面上的平均值：

表示球面上的動點xyz3.在情況下求極限：

給出最后結(jié)果Mr二、一般情況：泊松球面平均法能夠證明（）滿足一維波動方程其通解為：三維波動方程初值問題的泊松公式①空間任意一點M，在任意時刻t>0的狀態(tài)，完全由以該點為心、at

為半徑的球面上初始狀態(tài)決定。

②當(dāng)初始擾動限制在空間某局部范圍時，擾動有清晰的“前鋒”與“陣尾”，即惠更斯原理成立。

三維齊次波動方程柯西問題泊松公式的物理意義：二維齊次波動方程柯西問題泊松公式的物理意義：①二維空間任意一點M，在任意時刻t>0的狀態(tài)，完全由以該點為心、at

為半徑的圓盤域上初始狀態(tài)決定。

②局部初始擾動對二維空間任意一點的擾動有持續(xù)后效，波的傳播有清晰的“前鋒”而無后鋒，此現(xiàn)象稱為波的擴散，即惠更斯原理不再成立。

適用:一般常微分方程及偏微分方程

時間

t：拉氏變換空間

x：

拉氏變換

空間

x：

傅氏變換

注意：使用拉氏和傅氏雙重變換積分變換法（原函數(shù)）（象函數(shù)）

常用的拉普拉斯變換拉普拉斯變換性質(zhì)小結(jié)：線性性質(zhì)微分性質(zhì)積分性質(zhì)位移性質(zhì)延遲性質(zhì)卷積定理定義：（原函數(shù)小寫）（象函數(shù)大寫）定義：反變換存在的條件：傅立葉變換絕對可