數(shù)學課程思政教學研討：在概念教學中落實育人價值

數(shù)學課程思政教學研討：在概念教學中落實育人價值誠如李老師所言，“概念是最基本的思維形式，數(shù)學概念是數(shù)學基礎知識和數(shù)學基本命題的重要組成部分?！憋@然，如果沒有對概念的深刻理解，就無法形成數(shù)學的判斷和推理，也掌握不了數(shù)學的法則和定律，更談不上對數(shù)學思維的培養(yǎng)。不過，這里需要注意的是，李老師關注的是“數(shù)學概念”的教學，但當李老師把數(shù)學概念分成四種概念類型（形成性概念、同化型概念、符號化概念、約定式概念）時，這里被某某類型進行修飾的“概念”其實已經(jīng)成為教育教學層面的“概念”。再說的簡單一些，李老師四種概念類型的劃分是“個人化”的，是基于對不同數(shù)學概念特點的認知及對教學經(jīng)驗的總結的，它們區(qū)別于數(shù)概念、數(shù)量概念、幾何圖形概念、度量概念這些數(shù)學概念。所以，提出四種概念類型的李老師就做了概念形成中不可或缺的事：分類、命名。概念本身即抽象的結果，李老師提出四種概念類型，抽象的其實是“對數(shù)學概念的教學經(jīng)驗”，其目的，是讓教師更好地把握住不同數(shù)學概念的教學，讓學生理解不同數(shù)學概念的內(nèi)涵。以上兩段“破題”的話有一點“繞”，需要您靜心體會。還需要特別指出的一點是：由事物抽象出概念內(nèi)涵是一個過程，但將概念內(nèi)涵命名為概念名稱則又是一個過程。這兩個過程在最初的概念形成中是聯(lián)系的、有目的的，但概念名稱一旦形成再回頭去教概念時，很容易犯“教學法顛倒”（弗賴登塔爾語）的錯誤，即誤認為學生能說出概念名稱就是理解了概念內(nèi)涵。而現(xiàn)實中對數(shù)學概念的教學可不止“誤認為學生能說出概念名稱就是理解了概念內(nèi)涵”——這僅僅是比較明顯、多見的教學問題。比如在“分數(shù)的初步認識”中一定要讓學生說出“平均”兩個字，甚至有教師由此誤以為“平均”就是各部分長得一樣，而其實“平均”意味著“各部分的地位一樣”。而其他“摳字眼”的教學，讓學生“鸚鵡學舌”般說出概念標準定義的教學，不勝枚舉。是的，誠如李老師及其團隊的實踐所昭示的，不同的數(shù)學概念有不同的教學側重，不同的教學流程，但我們一定要注意，不管是哪一種類型的概念的教學，都應該有一些共同的底線！比如，在心理學層面，要為學生提供能和他的生活經(jīng)驗、學習經(jīng)驗對接的案例或情境（經(jīng)驗性原則），要以初級概念的扎實建構來作為高級概念的基礎（循序漸進原則）；比如，教學層面，要讓學生經(jīng)歷“材料感知-比較歸納-分類與抽象-命名”的概念形成的過程，真正感悟概念的內(nèi)涵；比如育人層面，要創(chuàng)設良好的課堂氛圍，讓學生有機會多元表征自己的獨立思考，并在與伙伴的交流、分享中，學會傾聽，學會悅納，立德樹人！李老師的四種概念類型的分類，其實是一個教學工具，而不是一種嚴格的科學概念。透過李老師提供的工具以及后續(xù)會陸續(xù)刊登的李老師團隊的實踐案例，作為一線教師的我們應該看到的是概念學習背后的“人”，即學生學習概念的過程有沒有充分展開，他們的想法（包括錯誤的“迷思”）、潛能有沒有得發(fā)展與深化及反思的機會。在概念教學中，落實育人價值，既是我們責無旁貸的工作職責，也是我們完全可以實現(xiàn)的教學理想。概念是最基本的思維形式，數(shù)學概念是數(shù)學基礎知識和數(shù)學基本命題的重要組成部分。沒有對概念的深刻理解，就形不成數(shù)學的判斷和推理，也掌握不了數(shù)學的法則和定律，更談不上對數(shù)學思維的培養(yǎng)。古希臘著名學者阿基米德曾經(jīng)說過，如果給我一個支點，我就可以撬起整個地球。在數(shù)學的世界里，概念就是那個撬動地球的支點。這個“支點”的重要性充分地體現(xiàn)在教材內(nèi)容編排的體量上，尤其在小學階段，可以毫不夸張地說，數(shù)學課不是在讓學生建構一個新的數(shù)學概念，就是在讓他們利用原有的數(shù)學概念解決一個個新的數(shù)學問題。那么什么是概念呢？認知心理學上說，所謂的概念就是人腦對客觀事物本質屬性的思維反映。如果對概念的這個定義做進一步追問的話，就會衍生出兩個關鍵性問題，第一，什么是客觀事物的“本質屬性”？第二，要知道“人腦是如何反映客觀事物本質屬性的”？第一個問題比較簡單，通過一個具體的案例可以作出說明。比如“三角形”，它是小學生在第二學段從抽象的視角認識的重要幾何概念之一，在未作出數(shù)學抽象之前，學生所看到的三角形都是依附在三腳架、紅領巾、指示牌等客觀事物上。這些客觀事物名稱不同、形狀不同、大小不同、顏色不同、擺放角度也不同……，但刨去這些個性差異，它們都有兩個共性特征：“由三條線段圍成”和“封閉的”，如果把“由三條線段圍成的封閉圖形”畫在平面上的話，就成了幾何學上的概念“三角形”。在這個案例中可以非常清楚地看到“由三條線段圍成的封閉圖形”就是“三角形”這個概念的本質屬性。至于“三角形”依附著的客觀事物的名稱、形狀、大小、顏色、角度等都是“三角形”這個概念的非本質屬性。數(shù)學上所說的理解概念就是指對概念本質屬性的認識。第二個問題相對比較復雜，是要剖析人腦對客觀事物的本質屬性究竟是如何反映的？要闡述清楚這個問題，首先就要對概念進行分類。因為數(shù)學中的很多概念屬性是不一樣的，學生對不同屬性的數(shù)學概念本質特征的感知方式也是不一樣的。在長期的實踐研究過程中，筆者工作室羅列出了小學數(shù)學中作為新授內(nèi)容的所有概念，按照概念的本質屬性在人腦中形成思維反映方式的不同把它們劃分成四種類型。每種類型的名稱，內(nèi)涵特征，對象例舉等詳見下表。心理學上說，人腦對不同類型概念本質屬性的思維反映方式是不一樣的，由此，教師在實施教學時也應該做到“因類試教”，對不同類型數(shù)學概念采用不同的教學策略。一、形成性概念：注重對客觀事物共性特征的準確歸納所謂的形成性概念是指在生活中能夠找到原型，需要對豐富的生活原型的共性特征進行歸納才能提煉本質屬性的概念。小學階段的形成性概念大都集中在圖形與幾何領域，比如角、三角形、梯形、平行四邊形、圓形等都屬于這一類概念。需要特別說明的是，形成性概念大都集中在圖形與幾何領域，但是圖形與幾何領域的概念未必都是形成性的，尤其從小學高年級開始，很多的幾何概念逐步轉向于“同化型”。形成性概念的學習一般要經(jīng)歷“生活具象→數(shù)學抽象→生活具象”的過程，這個過程可以濃縮成下圖1來表示。圖1以“角的初步認識”教學片段為例，談形成性概念的學習過程。（一）提供生活具象，聚焦概念特征1.了解認知基礎教師直接出示課題“認識角”，通過對話了解學生心目中的“角”。師：生活中你在哪些地方見到過“角”，可以說一說或指一指。生1：動物園里很多動物是有角的，牛、羊、鹿頭上都有角。生2：人民幣上也有角，比如1角和5角。生3：我發(fā)現(xiàn)老師講臺上的那把大三角尺上有三個角。生4：我們教室里的凳子、桌子、黑板上都有角。生5：家里的電視機、空調(diào)、禮品盒、魔方等好多物體上都有角。生6：……師：是啊，生活中到處有“角”，你們剛才說的這些“角”，它們有什么不一樣嗎？生1：第一位同學找到“角”長在動物的頭上，第二位同學找到的“角”印在人民幣上，第三位同學找到的“角”長在學具上。生2：后面的幾位同學和第三位同學一樣，找到的“角”都長在我們身邊的物體上。2.關注研究對象師：今天這節(jié)課我們要研究的“角”既不長在動物頭上，也不印在人民幣上，而是要專門研究長在物體上的那一類“角”。這樣的角在現(xiàn)實生活中應該還有很多，你還能找到一些嗎？同學們把目光聚焦到身邊的物體，在物體上找了很多的角。師：老師也從生活中找來了三樣常見的物體，剪刀、鐘面和三角尺。如下圖2，在它們上面有角嗎？圖2生：有。師：你能把這些角描畫出來嗎？學生用水彩筆描畫出了依附在實物上的角。如下圖3。圖片圖33.討論對象特征師：這就是你們描畫出的角，這些角有什么一樣和不一樣的地方嗎？生1：它們的顏色是不一樣的，剪刀上的角是黑色的，鐘面上的角是紅色的，三角尺上的角是藍色的。生2：他們的大小也不同。師：你能比出角的大?。可?：三角尺上的角是直角，剪刀上的角比直角小，鐘面上的角比直角大。師：厲害了，你不僅知道了“直角”，還知道有些角比直角大，有些角比直角小。誰還想再來說一說？生3：它們的粗細也是不一樣的，我發(fā)現(xiàn)鐘面上的角畫得特別粗，另外兩個角畫得細一些。生4：三個角的邊長也不一樣，剪刀上和鐘面上的角兩條邊都是一樣長的，三角尺上的角兩條邊一條長，一條短。生5：三個角開口的方向也不一樣，剪刀上的角開口朝右，鐘面上的角朝上，三角尺上的角開口朝下。師：你觀察的真仔細，三個角開口的方向不同，也可以說是擺放的角度不同（教師邊說，邊用活動角的模型演示）。師：你們找到了那么多不一樣的地方，那么它們有一樣的地方嗎？生6：我發(fā)現(xiàn)它們也有一樣的地方，就是每個角都有兩條邊。師：是的，每個角都有兩條邊，但是有兩條邊的圖形就一定是角嗎？老師也畫了三組圖形，如右圖4，請你判斷它們是不是角？圖4生7：它們都不是角。生8：剪刀手柄的兩條邊，其中有一條不是直的。直尺和三角尺雖然畫出的圖形都是兩條直直的邊，但是兩條邊都沒有相交。師：我聽懂你的意思了，角的兩條邊必須要直，不能曲，而且還需要有交點。生9：我不同意生8的說法，三角尺畫出的兩條邊，如果再繼續(xù)往右邊畫下去，它們一定會相交，這個時候就會出現(xiàn)角。很多學生附和生9的發(fā)言，教師按照生9的意思延長直線，直到它們相交為止。（二）嘗試數(shù)學抽象，提煉概念本質1.學生嘗試數(shù)學抽象師：通過剛才的學習和討論，誰來說說，長在物體上的角到底有什么共同特點？生：它們都有兩條直直的邊和一個公共的交點。2.教師提煉概念本質師：是的，角就是由一個頂點和兩條直直的邊組成的。（三）回歸生活具象，進行概念類化1.回歸生活具象，再找角師：做個生活的有心人，你還能找到哪些由一個頂點和兩條直邊組成的圖形呢？請你用手指一指頂點，再沿著兩條直邊摸一摸。學生從現(xiàn)實的物體或平面圖形中找到了很多數(shù)學中的角，并指出了每個角的頂點和兩條邊。2.進行概念類化，認識角師：剛才我們找到的這些角形狀、顏色、大小、擺放角度，邊的長短和粗細等都是不一樣的，但它們共同的特征是什么呢？生：它們都是由一個頂點和兩條直邊組成的。師：在數(shù)學上，我們就把由一個頂點和兩條直邊組成的圖形都叫做角在“角的初步認識”這個課例中，可以非常清楚地看到形成性概念學習的一般過程，即“從生活具象出發(fā)，聚焦對象特征—經(jīng)歷數(shù)學抽象，明晰本質屬性—回歸生活具象，進行概念類化”。在形成性概念學習的各個階段，我們需要特別關注以下幾個問題：1.給學生提供豐富而典型的生活具象形成性概念都是能夠在生活中找到原型的，對其本質屬性的抽象也是基于對生活具象的共同特征歸納的基礎上獲得的。學生歸納概念本質屬性的過程是否順利，結果是否正確，這在很大程度上與生活具象的豐富性和典型性是密不可分的。課堂上，教師只有提供足夠豐富且典型的生活具象，學生才能在個性鮮明的非本質屬性的干擾下聚焦到相對隱性的本質屬性。在“角的初步認識”這節(jié)課中，學生找到了諸如“桌角、凳角、窗角、魔方上的尖角”等許多的生活具象，在足夠豐富的生活具象的基礎上，教師又選擇性地出示了學生描畫在剪刀、鐘面和三角尺上的三個角。這份學習材料非常典型，因為它幾乎包含了關于“角”的所有非本質屬性，如形狀、顏色、大小、擺放角度，邊的長短和粗細等。有了豐富而典型的生活具象，學生才能在比較和思辨中慢慢明白，對象的某些特征很鮮明，但它是個性化的，非本質的，只有所有對象都具備的共性特征才有可能是本質的，盡管這樣的特征有時相對隱性。2.讓學生盡可能地經(jīng)歷概念抽象的全過程概念有兩個基本的要素，內(nèi)涵和外延，內(nèi)涵和外延完全匹配是理解概念的基本要求。當豐富的生活具象呈現(xiàn)在學生眼前，學生想要透過紛繁鮮明的非本質屬性，精準地抽象出生活具象的本質屬性并不是一件容易的事。一旦抽象出來的內(nèi)涵過多，那么概念所對應的外延就會縮小，如果抽象出來的內(nèi)涵過少，那么概念所對應的外延就會擴大，所以抽象的精準度是形成性概念教學的難點之一。在“角的初步認識”這節(jié)課中，教師通過“操作-思辨-歸納”，讓學生充分經(jīng)歷了概念的形成過程，達成了精準抽象的目標。首先是操作，在呈現(xiàn)了豐富的具象之后，教師讓學生在剪刀、鐘面和三角尺上對觀察到的“角”進行描畫，描畫的過程就是讓概念本質屬性外顯的過程。然后是思辨，通過對描畫出來的幾個角的觀察和比較，學生在交流中逐漸明晰，這些角很有個性，它們的形狀、顏色、大小、擺放角度，邊的長短和粗細都不一樣，但是它們也有共性，都有兩條直邊和一個頂點。最后是歸納，把個性鮮明的對象的共同特征提煉出來，由此，就讓學生經(jīng)歷的概念抽象的全過程。3.讓學生在表現(xiàn)性任務的驅動中實現(xiàn)概念類化這是形成性概念學習中非常重要的一個環(huán)節(jié)，但是在以往教學中，這個環(huán)節(jié)很容易被教師忽視。我們以為，雖然學生經(jīng)歷了從生活具象中抽象出本質屬性的過程，但是從本質屬性出發(fā)回歸到生活具象，把生活中具有同樣本質屬性的其余物體也劃歸到這個概念之中，同樣是形成性概念學習中一個很重要的環(huán)節(jié)。因為概念類化的過程事實上承載著檢驗概念學習成果的重要目標，這也是教學的“硬任務”。在“角的初步認識”這節(jié)課中，學生經(jīng)過前面兩個環(huán)節(jié)的學習，已經(jīng)抽象出了角的本質屬性。如何應用概念解決問題呢？教師在課堂上設置了一個表現(xiàn)性任務，讓學生去找一找由一個頂點和兩條直邊組成的圖形，并用手指一指頂點，沿著兩條直邊摸一摸。在這樣的任務驅動下，學生嘗試用數(shù)學的眼光去觀察現(xiàn)實世界，從現(xiàn)實世界中抽象出了更多的數(shù)學意義上的角，明白了在現(xiàn)實生活中具有同樣本質屬性的圖形都叫做角，從而實現(xiàn)了概念的類化。二、同化型概念：注重舊概念對新概念建構過程的影響所謂同化型概念是指發(fā)生在數(shù)學內(nèi)部,難以在生活中找到原型，是為了進一步研究數(shù)學的需要而產(chǎn)生的概念。小學階段的同化型概念大都集中在數(shù)與代數(shù)領域，比如奇數(shù)、偶數(shù)、質數(shù)、合數(shù)、因數(shù)、倍數(shù)等都屬于這一類概念。當然這只是說了一種普遍情況，事實上，數(shù)與代數(shù)領域的概念并非都是同化型的，同化型概念也并非只隸屬于數(shù)與代數(shù)領域。同化型概念的學習一般要經(jīng)歷“創(chuàng)設情境，提出驅動性任務—解決問題，經(jīng)歷新概念的建構過程—勾連舊概念，同化新概念”的過程，這個過程可以濃縮成下圖5來表示。圖5以單元整合課“約分和通分”的教學片段為例，談同化型概念的學習過程。（一）復習舊知師：我們已經(jīng)學習了“分數(shù)的基本性質”，誰能通過舉例的方法說一說什么是分數(shù)的基本性質？生：分數(shù)的基本性質是指分數(shù)的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。比如2/3的分子和分母同時乘5，這個數(shù)就是10/15，2/3＝10/15；反過來，10/15的分子和分母同時除以5，這個數(shù)就是2/3，同樣道理10/15＝2/3，（二）探索新知1.學習“約分”教師出示情境：豆類食品含有較高的蛋白質和脂肪，經(jīng)常食用有益于人體健康，30克黃豆中蛋白質含量是12克。請你用一個分數(shù)表示出蛋白質含量占黃豆總量的幾分之幾？生1：我用12/30表示。師：誰還能用不一樣的分數(shù)表示？生2：我用6/15表示。師：12/30和6/15都能表示出蛋白質含量占黃豆總量的幾分之幾嗎？生3：可以的。12/30表示把每一克的質量都看成1份，黃豆總量30克就是30份，蛋白質含量12克就是12份，所以蛋白質含量就占黃豆總量的12/30。如果把兩克照片看成1份的話，那么30克就是15份，12克就是6份，所以蛋白質含量就占黃豆總量的6/15。師：原來我們在解決問題的過程中，既可以把一克看成1份，也可以把兩克看成1份，這樣就能寫出不一樣的分數(shù)了。按照這樣的思路，還能用哪些分數(shù)來表示蛋白質含量占黃豆總量的幾分之幾呢？生4：如果把3克看成1份的話，蛋白質含量就占黃豆總量的4/10。生5：如果把6克看成1份的話，蛋白質含量就占黃豆總量的2/5。教師在黑板上從左往右依次寫出12/30、6/15、4/10、2/5。師：這些分數(shù)都可以表示蛋白質含量占黃豆總量的幾分之幾，那么它們之間有什么關系嗎？生8：它們都是相等的。師：你有辦法證明嗎？生8：利用商不變的性質就能說明它們相等。12/30的分子和分母同時除以2是6/15，同時除以3是4/10。同時除以6就是2/5。教師根據(jù)學生的回答完善板書。如下圖6。圖6生9：生8說的意思，通過畫圖是很清楚的。如下圖7。圖7師：通過剛才的研究，我們證實了12/30、6/15、4/10和2/5是相等的，在數(shù)學上，我們把一個分數(shù)化成和它相等，但是分子和分母都比較小的分數(shù)叫做“約分”。師：如果讓你從這些分數(shù)中選擇一個來表示最后的結果，你們最喜歡選誰，說說理由？生1：我想選12/30，因為把一克看成1份是最簡單的。生2：我想選2/5，因為12和30的公因數(shù)有4個，其中6是最大公因數(shù)，所以12/30的分子和分母同時除以6，得到的這個分數(shù)就是與它相等，但是分子和分母又是最小的那一個。師：我明白你的意思了，也就說2/5是12/30約分之后分子和分母最小的那個分數(shù)，這是唯一的。為了找到這個唯一的分數(shù)，一般情況下，我們默認約分就是要讓分子和分母同時除以它們的最大公因數(shù)，這樣大家得到的結果就統(tǒng)一了。2.學習“通分”教師改造情境：豆類食品含有較高的蛋白質和脂肪，經(jīng)常食用有益于人體健康，30克黃豆中蛋白質含量是12克，同樣質量的蠶豆中蛋白質含量大約是1/4，哪一種豆的蛋白質含量比較高？生1：這道題目簡單，我們在三年級的時候就學過了，把30克蠶豆平均分成4份，蛋白質含量占其中的1份，那么用“30÷4×1=7.5”就可以求出蠶豆中蛋白質的含量。因為7.5＜12，所以黃豆中蛋白質含量比較高。師：生1是通過計算蠶豆中蛋白質的具體質量來解決問題的。還有不一樣的方法嗎？生2：我認為還可以直接比較2/5和1/4的大小。師：為什么？生2：因為黃豆和蠶豆的總質量都是30克，所以只要比較分數(shù)的大小就可以了。生3：我也認為是黃豆中蛋白質含量比較高。我的方法是2/5＝2÷5＝0.4，1/4＝1÷4＝0.25，因為0.4＞0.5，所以2/5＞1/4。生4：我是通過畫圖來解決問題的。（邊演示作品，邊講解思考過程，如圖8所示）我和同桌兩人合作，先畫出了兩個一樣大的正方形，分別用陰影部分涂出了它的2/5和1/4，但是這兩個分數(shù)的單位是不同的，然后就把2/5的分子和分母同時乘2、乘3、乘4，把1/4的分子和分母也同時乘2、乘3、乘4、乘5，結果發(fā)現(xiàn)，當2/5的分子和分母同時乘4，轉化成8/20，1/4的分子和分母同時乘5，轉化成5/20的時候，它們的單位就相同了，都是1/20，我們直接數(shù)分數(shù)單位的個數(shù)就能知道2/5＞1/4。圖8教師根據(jù)學生的講解思路，指導同桌兩人邊說邊完善圖示。師：解決這個問題，同學們用了很多種方法，讓我們重點關注生4的方法，像這樣把異分母分數(shù)2/5和1/4化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)8/20和5/20，這個過程就叫做“通分”。3.同化“概念”師：今天我們學習了約分和通分兩個數(shù)學概念，這兩個概念有什么相同點和不同點嗎？師生共同總結：約分和通分都在找與已知分數(shù)相等的分數(shù)，所以它們都應用到了分數(shù)的基本性質。但是約分是分子和分母同時除以一個相同的數(shù)（0除外），而通分則是分子和分母同時乘一個相同的數(shù)（0除外）。（三）鞏固應用（略）從“約分和通分”這個課例中可以清楚地看到同化型概念學習的一般過程，即“創(chuàng)設情境，提出驅動性任務—解決問題，經(jīng)歷新概念的建構過程—勾連舊概念，同化新概念”。在這三個學習階段中，我們特別需要做好以下兩點。1.創(chuàng)設優(yōu)質的驅動性任務，讓學生在解決問題的過程中深度學習，經(jīng)歷概念發(fā)生和發(fā)展的過程。同化型的概念很重要的一個特征是需要借助舊概念來理解和接納新概念，理解和接納的主體自然是學生，所以教師應當讓學生這個主體經(jīng)歷有效的學習過程，只有這樣他們才有可能自主完成對新概念的建構。在“約分和通分”這節(jié)單元整合的概念課中，教師首先給學生創(chuàng)設了兩個驅動性任務，即“蛋白質含量占黃豆總量的幾分之幾”以及“黃豆和蠶豆，哪一種豆的蛋白質含量比較高”。在第一個任務驅動下，學生經(jīng)歷了“約分”的產(chǎn)生過程。在第二個任務驅動下，學生經(jīng)歷了“通分”的產(chǎn)生過程。從驅動性任務的提出到完整經(jīng)歷概念的發(fā)生過程，最關鍵的一個因素是要讓學生經(jīng)歷有效的學習過程。所謂的有效的學習過程就是設法讓學生浸潤在解決問題的過程中深度學習。要讓深度學習在課堂上真實發(fā)生，優(yōu)質的驅動性任務是先決條件。在“約分和通分”這節(jié)課中，教師創(chuàng)設的兩個驅動性任務質量都很高。首先它們都能呈現(xiàn)解決問題方法的多樣化。第一問題，如果學生把不同的克數(shù)看成1份，那么就能用不同的分數(shù)表示蛋白質含量占黃豆總量的幾分之幾。第二個問題，關于30克的2/5和1/4誰更多一些，既可以求出分率所對應的具體量進行比較，也可以把分數(shù)改寫成小數(shù)進行比較，還可以把它們轉化成同分母分數(shù)進行比較。不同的方法彰顯不同的思維，讓不同的學生都有選擇性學習的機會。其次是在方法的解讀中都能促使學生主動勾連舊概念。第一個問題，學生在比較“表示蛋白質含量占黃豆總量的幾分之幾”的4個分數(shù)的大小時，第二個問題，學生在結合直觀圖闡述2/5和1/4的大小關系時，他們都能很自然地引出“分數(shù)的基本性質”進行解答，而“分數(shù)的基本性質”就是學生在理解和接納“約分和通分”兩個新概念時最為重要的舊概念。依上所述，我們不難發(fā)現(xiàn)，只有創(chuàng)設優(yōu)質的驅動性任務才有可能讓學生沉浸在解決問題的過程中，這個過程是深度的學習，也是真實的學習，經(jīng)歷這個過程才可能讓學生體驗到概念是如何發(fā)生和發(fā)展的。2.抓住核心資源展開探究，讓學生觀察到新舊概念的對接過程，體會到同化型概念的本質特征。學生在任務驅動下，嘗試解決問題，在問題解決過程中會產(chǎn)生很多的課堂生成資源，有些資源對于建構概念是起決定性作用，即一般所說的核心資源。對于核心資源教師要有充分的預見性，如果教師能夠在課堂上抓住核心資源，引導學生充分展開探究，那么就有可能讓學生觀察到新舊概念的對接過程，這對于體會同化型概念的本質特征是具有重要意義的。在“約分”這個概念的教學環(huán)節(jié)，學生圍繞“蛋白質含量占黃豆總量的幾分之幾”這個問題，設想出了四種解決問題的方法，由此也得到了四個不同的分數(shù)12/30、6/15、4/10和2/5。這四個分數(shù)就是一份核心資源，在證明它們等值的過程中，自然就會引出“分數(shù)的基本性質”，再加上直觀圖示的表征，學生很清楚地看到了“約分”和“分數(shù)基本性質”兩個新舊概念之間的對接過程。在“通分”這個概念的教學環(huán)節(jié)，學生圍繞“黃豆和蠶豆，哪一種豆的蛋白質含量比較高”這個問題，想到的方法之一是把2/5和1/4的分子與分母同時乘相同的倍數(shù)，直到把它們轉化成同分母分數(shù)為止。顯然這個方法就是一份核心資源，在詳述這個方法的思考過程時，必然會勾連到“分數(shù)的基本性質”，再加上直觀圖示的表征，學生也能很清楚地看到“通分”和“分數(shù)基本性質”兩個新舊概念之間的對接過程。依上所述，我們不難發(fā)現(xiàn)，教師只有抓住課堂上生成的核心資源，引導學生展開探究，才有可能讓學生觀察到新舊概念的對接過程，如果在此過程中能夠輔以直觀表征，那么效果會更好，只有讓學生充分經(jīng)歷新舊概念的對接過程，他們對同化型概念的本質特征才會有深刻的體會。三、符號化概念：注重對數(shù)學操作活動過程的多元表征所謂的符號化概念是指對一類具有數(shù)學特質的操作活動進行符號化抽象之后所形成的概念。其實小學階段的符號化概念并不多，主要有整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、負數(shù)和百分數(shù)這樣一些。雖然符號化概念的數(shù)量并不多，但分量卻很重，幾乎每一個都是各自領域中的核心概念。而且由于符號化概念是對操作活動的數(shù)學表征，具有高度抽象性，因此對它的理解也是概念教學的難點。符號化概念的學習一般要經(jīng)歷“多元表征符號→提煉表征共性→推論概念內(nèi)涵”的過程，這個過程可以濃縮成下圖9來表示。圖9以人教版“分數(shù)的再認識”教學片段為例，談符號化概念的學習過程：（一）呈現(xiàn)典型符號，進行多元表征1.呈現(xiàn)學習材料，提出學習要求師：今天我們繼續(xù)學習分數(shù)（出示1/4），你能通過畫圖的方式表示出1/4的意義嗎？2.學生獨立操作，用圖示表征1/4。（二）解讀多元表征，提煉表征共性1.學生交流，解讀表征師：每個同學都通過畫圖的方式表達了對1/4的理解，老師選擇了四份有代表性的作品（如圖10），請四位小作者上臺匯報他們的想法。生1：我認為把一個圓平均分成4份，其中的1份就可以用1/4表示。生2：我畫了四個小三角形，把它們平均分成4份，其中的1個小三角形正好就是1/4。生3：我是把八個五角星平均分成4份，其中的2個五角星也可以用1/4表示。生4：我認為1/4還可以這樣表示，畫六個正方形，把它們平均分成4份，其中的1份也是1/4。師：六個正方形的1/4是幾個正方形呢？生4：陰影部分正好是6個1/4，6個1/4合起來就是1.5個正方形。圖102.比較異同，提煉共性師：通過剛才四位同學的講解，我們確信它們都可以用1/4來表示。那么這些作品會不會有什么不一樣的地方呢？生1：這四幅作品平均分的圖形的形狀是不一樣的。從第一幅到第四幅，它們分別在對圓形、三角形、五角星和正方形進行平均分。生2：這四幅作品中，1/4所表示的陰影部分的形狀和大小也是不一樣的。生3：這四幅作品平均分的圖形的數(shù)量是不一樣。第一幅作品是把一個圖形看做整體平均分的，后面三幅作品則是把多個圖形看做整體平均分的。師：我們把目光聚焦到后三幅作品，為什么第二幅和第三幅作品，把圖形平均分成4份之后，其中1份的數(shù)量正好是整數(shù)，而第四幅作品其中1份的數(shù)量卻不是整數(shù)呢？生4：因為物體的總個數(shù)不同，如果總個數(shù)是4的倍數(shù)的，如4、8、12等，那么它們的1/4結果一定是整數(shù)，如果總個數(shù)不是4的倍數(shù)的，那么它們的1/4結果就沒法用整數(shù)表示了。師：既然我們認同它們都可以用1/4來表示陰影部分的大小，那么它們一定是有共同點的，你能說一說嗎？生5：它們都是把圖形平均分成4份，表示了其中的1份。師：對的，這與拿來平均分的圖形的形狀、大小和數(shù)量都是無關的。在數(shù)學上，我們把“看成整體”進行平均分的物體、圖形或計量單位都叫做“單位1”，所以1/4就是指，把單位“1”平均分成4份，表示其中1份的數(shù)。（三）從一個到一類，理解符號概念1.依次類推，認識更多的分數(shù)師：我們已經(jīng)知道了1/4的意義，那么你還能知道哪些分數(shù)的意義呢？可以畫一畫、寫一寫或說一說。學生自主學習，表征更多分數(shù)的意義。（略）2.由此及彼，拓展分數(shù)的意義師：你能從下面的材料中找到分數(shù)嗎？說說你找到的這個分數(shù)是什么意思？圖11生1：我在第一份材料中看到了3/5，它表示把20個同學看做單位“1”，平均分成5份，其中男生人數(shù)表示這樣的3份。生2：我在第一份材料中還看到了2/5，它表示把20個同學看做單位“1”，平均分成5份，其中女生人數(shù)表示這樣的2份。生3：我在第二份材料中看到了4/7。師：你能具體說說4/7怎么產(chǎn)生的嗎？生3：我們用鉛筆去度量一個托盤的邊長，結果發(fā)現(xiàn)它的長度比兩支鉛筆多一些，但是又不到三支鉛筆的長度。這時，我們就把一支鉛筆的長度看成單位“1”，平均分成7份后，托盤多余部分的長度正好占其中的4份，所以就出現(xiàn)了4/7。生4：我在第三份材料中看到了兩個分數(shù)，第一個分數(shù)5/8，表示把小丑手上的8個氣球看做單位“1”，右手上5個氣球就表示其中的5/8。第二個分數(shù)3/8，就表示左手上的氣球占其中的3/8。師：你還能從第三份材料中看到不一樣的分數(shù)嗎？生5：我想也可以吧，假如我們把小丑右手邊的5個氣球單做單位“1”，平均分成5份，每份是1/5，左手邊的3個氣球就相當于有這樣的3個1/5，所以就可以用來3/5表示左邊的氣球是右邊的幾分之幾。生6：那么倒過來，假如我們把小丑左手邊的3個氣球單做單位“1”，平均分成3份，每份是1/3，右手邊的5個氣球就相當于有這樣的5個1/3，所以就可以用5/3來表示右邊的氣球是左邊的幾分之幾。生：我知道，像5/3這樣的分數(shù)角假分數(shù)……3.總結提煉，歸納分數(shù)的意義師：通過剛才的學習，同學們應該對分數(shù)的意義有了更加深刻的理解，那么誰來說一說到底什么是分數(shù)呢？師生共同歸納：分數(shù)就是指把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)。從“分數(shù)的再認識”這個課例中可以清楚地看到“符號化概念”學習的一般過程，即“多元表征符號—提煉表征共性—推論概念內(nèi)涵”三個階段。在這樣三個學習階段中，我們需要特別關注以下兩點：1.要給學生足夠的時間和空間去表征一個典型的符號化概念符號化概念是對具有數(shù)學特質的操作活動抽象的結果，一類操作活動對應著一類抽象的符號化概念，一次操作活動則對應著一個具體的符號化概念。比如，人們進行如下的操作活動“先把一個或多個物體看成一個整體，然后把整體平均分成若干份，最后取了這樣的一份或幾份”，我們對這一類具有數(shù)學特質的操作活動進行表征的話，那么它所對應的就是“分數(shù)”這一類抽象的符號化概念。但是如果我們遵循著這一類操作活動的基本特征，進行一次具體的操作，比如，“先把一堆蘋果看成一個整體，然后把它們平均分成四份，最后取了這樣的一份”，那么這一次操作活動所對應的就是1/4這樣一個具體的符號化概念。根據(jù)小學生的年齡特征和認知規(guī)律，他們對符號化概念的認識一定是要經(jīng)歷從個別到一般，從具體到抽象的過程。因此在新授環(huán)節(jié)，教師必須要選擇一個典型，作為一類符號化概念的代表，讓學生有足夠的時間和空間去表征這個概念，表征的過程其實就是從“抽象符號”還原成“具體活動”的過程，讓學生在抽象和具象，符號和活動之間自由回還。在“分數(shù)的再認識”這節(jié)課中，教師首先選擇了1/4這樣一個典型的符號化概念，然后讓學生用直觀的方式表征對這個具體分數(shù)符號的理解，學生用圖示表征的過程其實是在還原1/4產(chǎn)生的數(shù)學活動過程。倘若離開具體活動的支撐，在小學生眼里也僅僅只是個符號而已，沒有任何意義，只有讓數(shù)學符號與操作活動相對接，學生才能真正理解它的意義。2.要給學生從點到面的拓思機會去感受一類符號化概念的內(nèi)涵一次具體的操作活動能只對應一個具體的符號化概念，比如，我們已經(jīng)通過圖示表征理解了1/4的意義，但是從理解“1/4”這個具體的符號化概念上升到理解“分數(shù)”這一類抽象的符號化概念并不是一蹴而就的。課堂上教師需要給學生創(chuàng)設拓展思維的空間，讓學生認識到與一類抽象的符號化概念相關聯(lián)的所有數(shù)學操作活動都是有共性的，這個共性才是符號化概念的本質和內(nèi)涵。在“分數(shù)的再認識”這節(jié)課中，教師首先引導學生通過圖式表征理解了1/4這樣一個具體的符號化概念，然后進行了兩次教學遞進，給學生創(chuàng)造了拓展思維的空間。第一次教學遞進是對學生的追問：我們已經(jīng)知道了1/4的意義，那么你還能知道哪些分數(shù)的意義呢？學生通過“寫數(shù)、畫數(shù)、說數(shù)”的方法展示了對不同分數(shù)意義的理解。雖然從思維層次上說，這是對1/4學習過程的模仿，但是這樣的模仿有時也是必須的，因為只有經(jīng)歷多個具體的符號化概念的表征過程，學生才有可能體會和歸納出“分數(shù)”這類抽象的符號化概念的本質屬性。第二次教學遞進是教師提供了三份學習材料，讓學生在材料中找分數(shù)，并說出分數(shù)所表示的意義。很顯然，這三份材料中所包含的分數(shù)與傳統(tǒng)觀念中分數(shù)僅表示“份數(shù)”的意義是不一樣的，在這些分數(shù)中既有“商的意義”、“度量的意義”、“算子的意義”還有“比的意義”，但是不管分數(shù)的意義朝那個領域拓展，歸根究底，它的本源還是“份數(shù)”的意義。所以通過這樣的兩次教學遞進，讓學生從“點”的認識上升到了“面”的認識，真正理解了“分數(shù)”這類抽象的符號化概念所表示的意義。四、約定式概念：注重對事物可測量屬性的深刻體驗所謂的約定式概念，望文生義，就是指內(nèi)涵被人為約定俗成的概念。小學數(shù)學中大凡“常見的量”都屬于這一類概念，比如長度單位的厘米、分米、米；時間單位的時、分、秒；質量單位的克、千克、噸等都屬于人為約定俗成的概念。約定式概念非常顯著的一個特征是它們的內(nèi)涵都反映了對客觀事物可測量屬性的描述，對小學生而言，學習約定式概念就是要體驗到每個概念所反映的客觀事物可測量屬性的大小。約定式概念的學習一般要經(jīng)歷“多種操作活動→分享量感體驗→積累數(shù)學經(jīng)驗”的過程，這個過程可以濃縮成下圖12來表示。圖12以“常用的面積單位”的教學片段為例，談約定式概念的學習過程：（一）開門見山，呈現(xiàn)概念1.復習舊知，引出新知師：昨天我們認識了“面積”，知道面積單位是測量面積大小的工具，也意識到要讓度量結果保持一致就需要統(tǒng)一面積單位。今天我們就一起來認識三個常用的面積單位，它們分別是平方厘米，平方分米和平方米。2.自學新知，提出任務師：數(shù)學上是怎么定義這三個常用面積單位的呢？請同學們可以把書本翻到第63頁，自學課本，讀一讀、劃一劃、記一記。師：我們首先來重點認識“平方厘米”。（二）活動操作，清晰表象1.重點認識“平方厘米”（1）找一找?guī)煟耗贸稣n前準備的信封，信封里有很多平面圖形，不借助任何工具，請您找一找哪個圖形正好是1平方厘米。學生拿出信封，從信封里的多個平面圖形中很快就找出了自認為是1平方厘米的那個小正方形。師：找得那么快啊，你們是怎么找出來的？生：剛才我們翻閱了書本，已經(jīng)知道了1平方厘米就表示邊長為1厘米的正方形。這樣的話，我們只要從那么多圖形中找出邊長為1厘米的正方形就可以了。（2）量一量師：你能確定找出來的這個圖形就一定是1平方厘米嗎？部分學生對自己的選擇產(chǎn)生了質疑。生：我們能用尺子量一下這個正方形邊長嗎？師：可以，拿出尺子測量一下，看看自己對1厘米的估測是否精準。從學生的測量結果來看，對1平方厘米的估測過大、偏小和完全準確的學生大約各占總人數(shù)的三分之一。師：看來很多同學的第一次估測并不精準，那么請錯誤的同學，重新拿出信封，找出標準的1平方厘米。（3）畫一畫師：剛才所有的同學都已經(jīng)準確地找到了面積正好是1平方厘米的小正方形，拿起這個小正方形，再仔細觀察，爭取把它的大小能夠印在腦海中。學生都在仔細地觀察這個小正方形，有的還在借助尺子的測量和手勢的輔助，強化記憶。師：你們確定已經(jīng)把1平方厘米的大小印刻在腦海中了嗎？生（異口同聲，很有信心）：確定。師：那好，我們先把1平方厘米和尺子都放回抽屜，拿出筆和紙，在不使用尺子的前提下，你能畫出1平方厘米的草圖嗎，看看誰畫的1平方厘米最標準？學生動手就畫，很快完成了1平方厘米的草圖。（4）比一比師：你們完成得很快，對自己的作品肯定也很有自信。但是到底畫得準不準確呢，光有自信是不行的。現(xiàn)在，你可以從抽屜中再拿出這個1平方厘米的小正方形，與草圖比對一下。學生比對完成后，課堂上一片嘈雜，學生的表情也從完全自信演變成各不相同。有的學生在歡呼雀躍，因為比對的結果幾乎一致。有的學生稍有遺憾，因為比對的結果有點出入，但是在能夠接受的范圍內(nèi)。有的學生唉聲嘆氣，因為比對的結果差距離譜。師：看來，剛才我們是盲目自信了，不少同學對1平方厘米的印象并不深刻和準確。如果差距比較大的，請你重新調(diào)整。有問題的同學們都認真地調(diào)整了1平方厘米草圖的大小。（5）估一估師：通過剛才的一些活動，相信1平方厘米的大小已經(jīng)印刻在了同學們的腦海中?，F(xiàn)在請你找一找在我們身邊哪些物體的表面大約是1平方厘米。學生找到了大拇指的指甲蓋、鍵盤上的字母鍵、骰子、電燈開關、田字格、衣服紐扣等物品，并沒有出現(xiàn)與1平方厘米相去甚遠的答案。2.自主認識“平方分米”和“平方米”師：剛才我們用了找一找、量一量、畫一畫、比一比、估一估等方法認識了1平方厘米，現(xiàn)在請你選擇其中的一種或幾種方法，以小組為單位來認識“平方分米”和“平方米”，結束之后，各小組做好匯報的準備。小組操作，分組反饋（略）（三）解決問題，積累經(jīng)驗師：通過剛才的學習，我們已經(jīng)認識了三個常用的面積單位，那么現(xiàn)實生活中的物體表面大約有多大，用哪個面積單位去度量最合適呢？請同學們先估一估，再量一量，然后比對一下估測結果和測量結果之