第五章-固體電子論基礎(chǔ)解析課件

第五章固體電子論基礎(chǔ)金屬自由電子的運(yùn)動(dòng)方程金屬自由電子的能量狀態(tài)金屬的態(tài)密度費(fèi)米分布和費(fèi)米能小結(jié)§5.1金屬自由電子論1索末菲金屬自由電子論忽略晶格周期場(chǎng)對(duì)價(jià)電子的影響和價(jià)電子之間的相互作用：勢(shì)能V=0

（近似處理，對(duì)于金屬鍵材料部分正確）。價(jià)電子由于受原子實(shí)的束縛較弱，而成為能在晶體內(nèi)部自由運(yùn)動(dòng)的自由電子：金屬鍵。根據(jù)泡利不相容原理和費(fèi)米分布，將N個(gè)電子填充到量子化的能級(jí)中，獲得N個(gè)電子的基態(tài)。固體物理：周期性、波、量子。1運(yùn)動(dòng)方程波恩－卡曼周期循環(huán)條件每一組量子數(shù)(nx、ny、nz)確定電子的一個(gè)波矢，從而確定了電子的能量和動(dòng)量。波矢空間即動(dòng)量空間。2能量狀態(tài)2能量狀態(tài)以kx、ky、kz為坐標(biāo)軸建立起來(lái)的空間稱為波矢空間(也稱空間)，每一個(gè)電子本征態(tài)可以用該空間的一個(gè)點(diǎn)(稱狀態(tài)點(diǎn))表示。

每個(gè)點(diǎn)所占的k空間體積為

電子等自旋數(shù)為半數(shù)的粒子為費(fèi)米子。費(fèi)米子遵循費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)（泡利不相容原理）：兩個(gè)費(fèi)米子在同一個(gè)系統(tǒng)中永遠(yuǎn)無(wú)法占據(jù)同一量子態(tài)。自旋為整數(shù)的粒子被稱為玻色子。玻子遵守玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，泡利不相容原理對(duì)它們無(wú)效。玻子可以占據(jù)相同的量子態(tài)。3態(tài)密度能量值在E~E+?E之間的電子本征態(tài)數(shù)目?Z

態(tài)密度函數(shù)N(E)

（考慮自旋）

4費(fèi)米分布和費(fèi)米能電子系統(tǒng)服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布，即在熱平衡時(shí)，電子占據(jù)能量為E的狀態(tài)的概率為：

f(E)是費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)，EF是費(fèi)米能。系統(tǒng)中電子的總數(shù)N就可表示為：

1）T=0K，這時(shí)的費(fèi)米能記為

當(dāng)時(shí)，f(E)=1，即所有能量低于的狀態(tài)都填滿了電子。

當(dāng)時(shí)，f(E)=0，即所有能量高于的狀態(tài)都是空的。就是絕對(duì)零度時(shí)，電子填充的最高能級(jí)。即使在絕對(duì)零度，電子的平均動(dòng)能也不為零。

2）T≠0K，但kBT<<EF

在T≠0K時(shí)，一部分能量低于的電子獲得kBT數(shù)量級(jí)的熱能，從而躍遷到能量高于的狀態(tài)中。

溫度升高，費(fèi)米面略有降低。對(duì)于自由電子而言，等能面為球面，能量為費(fèi)米能的球面稱為費(fèi)米面。由于泡利不相容原理的限制，T≠0時(shí)，電子熱激發(fā)僅發(fā)生在費(fèi)米面附近，平均每個(gè)熱激發(fā)的電子獲得的能量約kBT。在室溫附近，自由電子氣的比熱，要遠(yuǎn)小于聲子氣的比熱。在低溫下，聲子氣比熱按T3下降，當(dāng)T≈10K時(shí)，會(huì)小于電子比熱。5小結(jié)自由電子氣模型是關(guān)于金屬的最簡(jiǎn)單的模型，金屬特別是簡(jiǎn)單金屬的許多物理性質(zhì)通過它都能得很好的理解，但仍存在一些局限性：如自由電子氣模型無(wú)法理解低溫下固體比熱主要來(lái)自電子的事實(shí)；無(wú)法預(yù)見直流電導(dǎo)與溫度的關(guān)系；不能解釋為什么固體有絕緣體、半導(dǎo)體和導(dǎo)體的區(qū)別；傳導(dǎo)電子的數(shù)目由什么因素決定；為什么同一種元素，比如碳，取石墨結(jié)構(gòu)時(shí)是導(dǎo)體，而取金剛石結(jié)構(gòu)時(shí)為絕緣體等等。自由電子模型的種種困難，大部分是由于忽略電子與離子實(shí)之間、忽略電子—電子之間相互作用的近似造成的。因此，對(duì)自由電子模型進(jìn)行修正時(shí)，在保留獨(dú)立電子近似的基礎(chǔ)上應(yīng)考慮原子實(shí)產(chǎn)生的隨空間坐標(biāo)r變化的勢(shì)場(chǎng)V(r)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響。這是固體能帶理論的基礎(chǔ)?！?固體能帶論基礎(chǔ)一晶體的哈密頓算符晶體是由大量電子及原子核組成的多粒子系統(tǒng)，但晶體的許多電子過程僅與外層電子有關(guān)，因此，可以將晶體看作由外層的價(jià)電子及離子實(shí)(由內(nèi)層電子與核構(gòu)成)組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)中粒子的狀態(tài)由薛定諤方程的解來(lái)描述。

晶體的哈密頓算符包括了如下各種能量算符：電子的動(dòng)能：離子的動(dòng)能電子─電子互作用能離子─離子互作用能電子─離子互作用能如果晶體由N個(gè)原子組成，每個(gè)原子都有Z個(gè)電子，那么，薛定諤方程式)中就包含3(Z+1)N個(gè)變量。二絕熱近似（波恩－奧本海默近似）

把原子核與電子的運(yùn)動(dòng)分開考慮，基于電子和離子實(shí)在質(zhì)量上的差別，假定在離子實(shí)運(yùn)動(dòng)的每一瞬間，電子的運(yùn)動(dòng)都快到足以調(diào)整其狀態(tài)到離子實(shí)瞬時(shí)分布情況下的本征態(tài)。這樣當(dāng)我們只關(guān)注電子體系的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為離子實(shí)固定在其瞬間位置上，離子的瞬間位置只是其中的一個(gè)參量：一般溫度下，離子實(shí)總是圍繞其平衡位置做微小振動(dòng)，即晶格振動(dòng)。零級(jí)近似下，忽略晶格振動(dòng)，只討論離子在平衡位置時(shí)NZ個(gè)電子體系的問題。離子實(shí)的運(yùn)動(dòng)不影響電子的運(yùn)動(dòng)，即電子絕熱于核的運(yùn)動(dòng)。多粒子體系多電子體系絕熱近似三單電子近似（哈利特－?？私疲╇娮酉到y(tǒng)的哈密頓算符若如果電子──電子之間的互作用為零則：第i個(gè)電子的薛定諤方程僅與這個(gè)電子的坐標(biāo)有關(guān)那么如何使一個(gè)有互作用的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無(wú)互作用系統(tǒng)呢？通過引入自洽的電子場(chǎng)就可達(dá)到目的，它是這樣引進(jìn)的：電子系統(tǒng)中的第i個(gè)電子是在所有離子及其它電子所產(chǎn)生的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的，如果在每一瞬間都可以用來(lái)表示第i個(gè)電子在其它電子產(chǎn)生的場(chǎng)中所具有的勢(shì)能，而且僅與第i個(gè)電子的坐標(biāo)有關(guān)，即。如果對(duì)于每個(gè)電子，我們都可構(gòu)造一個(gè)這樣的場(chǎng)，電子間的互作用勢(shì)能就可以用來(lái)表示，即自洽場(chǎng)第i個(gè)電子的勢(shì)能，不僅與其它的每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，而且與第i個(gè)電子自身的運(yùn)動(dòng)有關(guān)。因?yàn)榈趇個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)將影響其它電子的運(yùn)動(dòng)，因而又將影響電子自身的勢(shì)能。因此，一般將這個(gè)場(chǎng)稱作自洽場(chǎng)。多電子體系單電子體系單電子近似四周期場(chǎng)近似單電子的勢(shì)能：由于晶格的周期性結(jié)構(gòu)，我們可以合理地假設(shè)所有電子及離子產(chǎn)生的場(chǎng)都具有晶格的周期性：?jiǎn)坞娮釉趶?fù)雜勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)單電子在周期性勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期場(chǎng)近似小結(jié)

能帶理論把晶體系統(tǒng)的多粒子問題簡(jiǎn)化為在周期場(chǎng)中的單電子問題。晶體電子的狀態(tài)就可以用單電子在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)來(lái)描述，電子的能量及波函數(shù)從下述方程確定：能帶論與自由電子論的不同就在于勢(shì)場(chǎng)多粒子體系多電子體系絕熱近似單電子體系單電子近似單電子在周期性勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期場(chǎng)近似能帶理論是研究固體中電子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一種近似理論，能帶理論在闡明電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、固體的導(dǎo)電機(jī)制、合金的某些性質(zhì)和金屬的結(jié)合能等方面取得了重大成就。問題1量子自由電子的波函數(shù)與等能面分別有什么特點(diǎn)？請(qǐng)解釋費(fèi)米能及費(fèi)米面？2一般溫度下，電子比熱容對(duì)固體比熱的貢獻(xiàn)很小，可以忽略，為什么？3請(qǐng)說明能帶理論的三個(gè)近似條件的核心內(nèi)容及意義。五布洛赫定理1定理表述：對(duì)于周期性勢(shì)場(chǎng)，其中Rn

取布拉菲格子中所有的格矢，單電子薛定諤方程的本征函數(shù)是按布拉菲周期性調(diào)幅的平面波：且：對(duì)所有格矢Rn成立即：對(duì)上述薛定諤方程的每一本征解，都存在一波矢k，使

2定理的證明引入平移算符，作用的在任意函數(shù)f(r)上，使矢量平移RN，即：

證明的思路：1）哈密頓量具有平移對(duì)稱性；2）哈密頓量與平移操作算符互為對(duì)易算符，對(duì)的本征函數(shù)的討論可代之以對(duì)的本征函數(shù)的討論；3）證明4）證明3波矢k的取值及物理意義與晶格振動(dòng)問題類似，波矢k的取值由波恩－卡曼周期性循環(huán)條件確定：運(yùn)用布洛赫定理：許可的布洛赫波的波矢k可看成是在倒格子中，以為基矢的布拉菲格子的格矢。4布洛赫波具有諸如形式的波函數(shù)稱為布洛赫波。這些波是由平面波與具有晶格周期性的周期函數(shù)相乘得到的。布洛赫波是調(diào)幅平面波。因子表明晶體電子有如自由電子般可在整個(gè)晶體內(nèi)運(yùn)動(dòng)而不被局限于個(gè)別原子周圍；而使平面波受到調(diào)制，使其從一個(gè)原胞到下一個(gè)原胞作周期性振蕩，電子的幾率密度也呈現(xiàn)出周期性。小結(jié)1布洛赫定理是晶格具有平移對(duì)稱性的必然結(jié)果，是具有普遍意義的結(jié)論──只要晶體存在周期性，則晶體中無(wú)論哪種類型的波都必然是布洛赫波的形式。2當(dāng)勢(shì)場(chǎng)為恒定時(shí)，布洛赫波中的周期函數(shù)就退化為一個(gè)常數(shù)，布洛赫波也就退化為一個(gè)平面波。因此，可以認(rèn)為，平面波是一種特殊的布洛赫波。3不同k的標(biāo)志了不同的電子狀態(tài)。這樣，k就起到了量子數(shù)的作用。即如何確定呢？近自由電子近似緊束縛近似§3近自由電子近似（弱周期勢(shì)近似）近自由電子近似是一種以簡(jiǎn)化模型勢(shì)來(lái)代替真實(shí)的晶格勢(shì)的近似方法。該模型可顯示對(duì)自由電子氣體模型引入周期勢(shì)后帶來(lái)的變化，適于處理價(jià)電子為s電子、p電子的金屬，如Na、Al、K等簡(jiǎn)單金屬。一模型

近自由電子近似模型——

金屬中電子受到原子實(shí)周期性勢(shì)場(chǎng)的作用——假設(shè)電子的勢(shì)能比動(dòng)能小得多，而且，勢(shì)能隨位置的變化較小，勢(shì)場(chǎng)的起伏較小零級(jí)近似

——?jiǎng)輬?chǎng)平均值周期性勢(shì)場(chǎng)的起伏量作為微擾來(lái)處理平均勢(shì)能

隨位置而周期變化,作為微擾處理

傅氏展開系數(shù)

二計(jì)算討論長(zhǎng)度的一維晶體，N為晶體內(nèi)原胞總數(shù)選取能量的零點(diǎn)使V0=01零級(jí)近似解零級(jí)近似的能量本征值及本征波函數(shù)滿足自由電子的波動(dòng)方程2一級(jí)近似解弱周期勢(shì)對(duì)能量的影響，必須計(jì)算到能量的二級(jí)近似才能顯示出來(lái)。3二級(jí)近似若對(duì)于波函數(shù)只考慮到一級(jí)近似，則：一維晶體電子的波函數(shù)由兩部分構(gòu)成，一部分是波矢為k的平面波（零級(jí)近似），另一部分則是該平面波受到周期場(chǎng)作用后產(chǎn)生的波矢為的散射波，這是考慮了一級(jí)修正后的結(jié)果，顯示了波函數(shù)從自由電子的平面波向布洛赫波的過渡。若對(duì)于能量考慮到二級(jí)近似：則對(duì)于一般k值，，周期勢(shì)很弱，周期勢(shì)場(chǎng)的效應(yīng)可以忽略，若，二級(jí)修正發(fā)散，需改用簡(jiǎn)并微擾法。利用非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論處理問題得到的結(jié)論：波矢遠(yuǎn)離布里淵邊界時(shí)，周期勢(shì)對(duì)電子的能量影響很微弱，可以忽略，與自由電子的能量形式基本一致，等能面依然保持為球面。電子的波函數(shù)具有布洛赫波的形式，周期勢(shì)對(duì)電子的散射波的振幅較小，對(duì)平面波的影響不大。但當(dāng)波矢位于布里淵邊界或其附近時(shí)，二級(jí)能量修正發(fā)散，同時(shí)電子的散射波的振幅也變成了無(wú)限大，這時(shí)一般的微擾論已不再適用，需要采用簡(jiǎn)并微擾論來(lái)討論。三能隙和布拉格反射（簡(jiǎn)并微擾理論處理）1.利用簡(jiǎn)并微擾理論計(jì)算零級(jí)波函數(shù)是A、B有非零解，則2.若電子的能量E近似等于，E~K的關(guān)系可近似地用拋物線來(lái)表示。3.若，即k十分靠近倒格矢的垂直平分面

K在倒格矢的垂直平分面上當(dāng)電子波矢出現(xiàn)在倒格矢的垂直平分面，即布里淵區(qū)邊界時(shí)，滿足布拉格反射條件，弱周期勢(shì)有明顯作用，導(dǎo)致能隙出現(xiàn)。因而準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)分裂成能帶。四.三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似五布里淵區(qū)和能帶

——在k空間把原點(diǎn)和所有倒格矢中點(diǎn)的垂直平分面畫出，k空間分割為許多區(qū)域簡(jiǎn)單立方晶格k空間的二維示意圖——每個(gè)區(qū)域內(nèi)E~k是連續(xù)變化的，而在這些區(qū)域的邊界上能量E(k)發(fā)生突變，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)1.布里淵區(qū)——每一個(gè)布里淵區(qū)的體積相同，為倒格子原胞的體積——每個(gè)能帶的量子態(tài)數(shù)目：2N（計(jì)入自旋）——三維晶格中，不同方向上能量斷開的取值不同，使得不同的能帶發(fā)生重疊2.能帶——在同一個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)，電子能級(jí)準(zhǔn)連續(xù)變化，只是在邊界處才發(fā)生突變。因此，同一布里淵區(qū)內(nèi)的電子能級(jí)就形成一個(gè)能帶，不同的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)不同的能帶?！€的表示方法：擴(kuò)展能區(qū)圖，簡(jiǎn)約能區(qū)圖，周期能區(qū)圖——第一布里淵區(qū)在k方向上能量最高點(diǎn)A，k’方向上能量最高點(diǎn)C二維正方格子——C點(diǎn)的能量比第二布里淵區(qū)B點(diǎn)高——第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)

能帶的重疊擴(kuò)展能區(qū)圖

由于空間中的任意波矢總可通過改變一個(gè)倒格矢而落在第一布里淵區(qū)內(nèi)，相應(yīng)的能帶也隨之移入第一布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)中的同一個(gè)波矢就會(huì)對(duì)應(yīng)一系列能帶中的能級(jí)。簡(jiǎn)約能區(qū)圖：除需要標(biāo)出波矢外，還需標(biāo)明是屬于哪一個(gè)能帶的，一般用n表示能帶的序號(hào)。周期能區(qū)圖

§4緊束縛近似一模型認(rèn)為離子的勢(shì)場(chǎng)很強(qiáng)，當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)到位于格點(diǎn)處的離子實(shí)附近時(shí)，主要受到該處離子勢(shì)場(chǎng)的作用，其它離子對(duì)電子的影響很小，可以看作是微擾。這樣，在附近的晶體電子就如同在孤立原子中的電子一樣，被該處的離子實(shí)束縛著。由于隧道效應(yīng)或相鄰原子間電子波函數(shù)的交迭，電子有一定的幾率從一個(gè)離子實(shí)附近運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)離子實(shí)附近，從而在整個(gè)晶體內(nèi)運(yùn)動(dòng)。緊束縛近似對(duì)于原子間距較大的晶體或內(nèi)層電子是非常適宜的，如對(duì)于絕緣體及過渡金屬的3d能帶，緊束縛模型是一個(gè)很好的模型。電子在格點(diǎn)的原子在r處的勢(shì)場(chǎng)晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)，是所有原子的勢(shì)場(chǎng)之和其它格點(diǎn)原子的微擾二計(jì)算1.

LCAO理論(LinearCombinationofAtomicOrbitals)：原子軌道線性組合法。

將晶體中電子的波函數(shù)近似看成原子軌道波函數(shù)的線性組合，得到原子能級(jí)和晶體中電子能帶之間的關(guān)系。研究簡(jiǎn)單晶格，原胞中只有一個(gè)原子，不考慮原子之間的相互作用。電子在格矢為處原子附近運(yùn)動(dòng)2.孤立原子中的電子電子處于孤立原子的勢(shì)場(chǎng)中，電子的束縛態(tài)波函數(shù)為,能量為，它們滿足孤立原子的薛定諤方程N(yùn)個(gè)類似于上式的方程，N個(gè)類似于的波函數(shù)，分別局域于不同的格點(diǎn)上，但這些態(tài)所對(duì)應(yīng)的能量卻是相同的，即能量是N重簡(jiǎn)并的。

3.晶體中的電子滿足：緊束縛模型中，體系未受微擾時(shí)，滿足方程：將其作為零級(jí)近似。微擾算符：微擾后電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：用N個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)（原子軌道波函數(shù)：）的線性組合構(gòu)成晶體中電子共有化運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)：以左乘方程，并對(duì)整個(gè)空間積分，得

(不同格點(diǎn)類似波函數(shù)滿足正交關(guān)系)

令則：解得：1）——可以證明上述晶體中電子的波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)形式——矢量k為簡(jiǎn)約波矢，它的取值限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)（第一布里淵區(qū)）?？紤]到周期性邊界條件，k的取值有N個(gè)。2）——對(duì)于原子的一個(gè)束縛態(tài)能級(jí)，晶體中電子的E(k)有N個(gè)取值——每一個(gè)波矢k相對(duì)應(yīng)的一個(gè)能量本征態(tài)——E(k)形成一準(zhǔn)連續(xù)的能帶?！咏Y(jié)合成晶體后，電子狀態(tài)具有的能量形成一系列能帶。緊束縛近似下晶體電子的能量表達(dá)式波矢可取N個(gè)準(zhǔn)連續(xù)值，所以，對(duì)應(yīng)于同一個(gè)孤立原子中的電子能級(jí)，晶體電子的能量可取N個(gè)準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)，形成能帶。這是由于孤立原子相互接近并結(jié)合成為晶體時(shí)，原子間的相互作用使電子的能級(jí)分裂成為能帶。

3)E(k)的簡(jiǎn)化處理三實(shí)例1.計(jì)算簡(jiǎn)單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶簡(jiǎn)單立方的六個(gè)近鄰格點(diǎn)帶寬取決于J1

，而

的大小又取決于近鄰原子波函數(shù)之間的相互重疊，交疊越多，J1愈大，能帶就愈寬，反之，能帶就窄。這個(gè)結(jié)論是具有普遍意義的。根據(jù)E(k)可以計(jì)算得到在下面幾個(gè)點(diǎn)的能量能帶底部能帶頂部2.由P態(tài)、及形成的能帶四能級(jí)與能帶之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.一個(gè)原子能級(jí)對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶，不同的原子能級(jí)對(duì)應(yīng)不同的能帶。當(dāng)原子形成固體后，形成了一系列的能帶?！芰枯^低的能級(jí)對(duì)應(yīng)內(nèi)層電子，其軌道較小，原子之間內(nèi)層電子的波函數(shù)相互重疊較少_____對(duì)應(yīng)的能帶較窄?！芰枯^高的能級(jí)對(duì)應(yīng)外層電子，其軌道較大，原子之間外層電子的波函數(shù)相互重疊較多_____對(duì)應(yīng)的能帶較寬?！诤?jiǎn)單情況下，原子能級(jí)和能帶之間有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如ns帶、np帶、nd帶等等；但由于p態(tài)是三重簡(jiǎn)并的，對(duì)應(yīng)的能帶發(fā)生相互交疊，d態(tài)等一些態(tài)也有類似的能帶交疊。2.原子能級(jí)與能帶之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定總存在在簡(jiǎn)單情況下，原子能級(jí)和能帶之間有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但這種關(guān)系不一定總存在。因?yàn)椋谛纬删w的過程中，不同的原子態(tài)之間有可能相互混合，使所形成的能帶含有不同原子態(tài)的成分。這樣，原子能級(jí)與能帶就沒有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系了。如半導(dǎo)體鍺、硅中的共價(jià)鍵是由s態(tài)及三個(gè)p態(tài)雜化而成的雜化軌道sp3

，所形成的能帶既有s態(tài)成分，亦有p態(tài)成分?！?晶體電子的速度、準(zhǔn)動(dòng)量及有效質(zhì)量本節(jié)研究晶體電子在外場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。而外場(chǎng)總是比晶體勢(shì)場(chǎng)小很多一晶體電子的速度（平均速度）晶體電子速度算符的本征態(tài)（本征函數(shù)）不是，態(tài)的電子雖然有確定的能量，但沒有確定的速度。不過，速度取某一定值的概率是完全確定的，即平均速度是一定的。求解結(jié)論二準(zhǔn)動(dòng)量在外力作用下，電子的能量將隨時(shí)間變化。由于外場(chǎng)比周期場(chǎng)弱很多，所以存在外場(chǎng)時(shí)，電子狀態(tài)仍可用來(lái)描述，只是波矢是時(shí)間的函數(shù)，即，

對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行確定。設(shè)外力為，在dt時(shí)間內(nèi)對(duì)電子所作的功為電子能量將變化

1.求解能量是的函數(shù)，所以的變化必然引起的變化，即2.結(jié)論與經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律相似，且具有動(dòng)量的量綱，故將稱為晶體電子的準(zhǔn)動(dòng)量。若外力恒定的，則電子在k空間作勻速運(yùn)動(dòng)──即電子的波矢以恒定的速度隨時(shí)間變化。若外力，則，表明電子的狀態(tài)不隨時(shí)間變化。及都不變，即電子保持原來(lái)的狀態(tài)。當(dāng)存在晶格振動(dòng)、外來(lái)原子及晶格缺陷時(shí)，周期場(chǎng)受到破壞，這相當(dāng)于作用在電子上的不均勻外來(lái)力不為零的情況。這時(shí)，電子的狀態(tài)由變到，相應(yīng)的能量、速度都會(huì)改變，即電子受到散射。由此可見，電子并不受密集的、規(guī)則排列的離子實(shí)的散射(碰撞)，而是受聲子、雜質(zhì)或缺陷的散射。三加速度及有效質(zhì)量1加速度倒有效質(zhì)量張量2有效質(zhì)量由于有效質(zhì)量張量的各個(gè)分量不一定相等，所以電子的加速度和外力方向可能不同。如果有效質(zhì)量張量是各向同性的，則有效質(zhì)量張量退化為一個(gè)標(biāo)量：結(jié)論有效質(zhì)量張量與能帶結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。內(nèi)層電子態(tài)所形成的能帶較窄(即高度較小)，曲率較小，所以內(nèi)層電子的有效質(zhì)量較大。同理，外層電子的有效質(zhì)量較小。

一維情況能帶的曲率

在同一能帶中，由于曲線在各處的曲率不同，所以有效質(zhì)量也不同，有效質(zhì)量是的函數(shù)。能帶底是能量的極小值，，所以有效質(zhì)量是正的；能帶頂是能量的極大值，，所以有效質(zhì)量是負(fù)的。當(dāng)穿越能帶的拐點(diǎn)時(shí)，由正變?yōu)樨?fù)。作業(yè)：試求一維緊束縛近似下電子的平均速度及有效質(zhì)量

§6導(dǎo)體、絕緣體及半導(dǎo)體空穴所有晶體都包含大量電子，離子實(shí)外的電子都可以在整個(gè)晶體內(nèi)游動(dòng)。如果認(rèn)為這些電子在外電場(chǎng)作用下就會(huì)作定向運(yùn)動(dòng)而形成電流，那么，所有晶體都應(yīng)程度不同地具有導(dǎo)電能力，不會(huì)存在絕緣體。然而，絕緣體是存在的，其電阻率與金屬的電阻率有著極其巨大的差別。能帶論的建立，令人信服地解決了這個(gè)問題。本節(jié)將利用能帶論的結(jié)果，解釋為什么晶體中有些是良導(dǎo)體，有些是絕緣體，有些則是半導(dǎo)體或半金屬。

導(dǎo)體的電阻率：10-6Ω?cm半導(dǎo)體的電阻率：10-2

~109Ω?cm絕緣體的電阻率：1014~1022Ω?cm根據(jù)能帶被電子填充的情況，能帶分為：滿帶不滿帶（導(dǎo)帶）空帶一滿帶電子不導(dǎo)電1無(wú)外電場(chǎng)時(shí)k態(tài)電子所載電流－k態(tài)電子所載電流由于電子態(tài)在空間的分布是均勻的、中心對(duì)稱的，所以，滿帶電子荷載的電流是兩兩相消的。這樣，晶體總的電流為零。2存在外電場(chǎng)從第一布里淵區(qū)的邊界出去了的狀態(tài)代表點(diǎn)，實(shí)際上又從另一方的邊界返回到第一布里淵區(qū)內(nèi)，使電子態(tài)的分布不發(fā)生變化，滿帶中的電子不產(chǎn)生宏觀電流。

二不滿帶電子導(dǎo)電

1無(wú)外電場(chǎng)時(shí)：能帶中只有部分狀態(tài)被電子填充，但是波矢為k的狀態(tài)和波矢為-k的狀態(tài)中電子的速度大小相等、方向相反，對(duì)電流的貢獻(xiàn)相互抵消。在熱平衡狀態(tài)下，電子占據(jù)波矢為k的狀態(tài)和占據(jù)波矢為-k的狀態(tài)的幾率相等。晶體導(dǎo)帶中的電子在無(wú)外場(chǎng)作用時(shí)，不產(chǎn)生電流。

2存在外電場(chǎng)

整個(gè)電子分布將向著電場(chǎng)反方向移動(dòng)。由于電子受到聲子或晶格不完整性的散射作用，電子的狀態(tài)代表點(diǎn)不會(huì)無(wú)限地移動(dòng)下去，而只是稍稍偏離原來(lái)的分布，各電子所載荷的電流中將只有一部分被抵銷，因而總電流不為零。由于不滿帶電子可以導(dǎo)電，因而將不滿帶稱作導(dǎo)帶。三導(dǎo)體、絕緣體及半導(dǎo)體的能帶模型——由N個(gè)原胞構(gòu)成的晶體，每一條能帶所能容納的電子數(shù)為2N，即為原胞數(shù)目的二倍?！兄挥幸粋€(gè)價(jià)電子的固體：Li（3）、Na（11）、K（19）、Cu（29）、Ag（47）它們只填充半條能帶，一般是導(dǎo)體?！绻信紨?shù)個(gè)價(jià)電子，這樣可以填滿一個(gè)能帶，形成絕緣體。但對(duì)于二價(jià)金屬：Be（4）、Mg（12）、Zn（30），它們?cè)杏?個(gè)價(jià)電子，照此應(yīng)該是絕緣體，但它們卻是導(dǎo)體。這是因?yàn)槟軒Т嬖诮坏F(xiàn)象?！虢饘伲篤族元素Bi、Sb、As具有三角晶格結(jié)構(gòu)，每個(gè)原胞含有偶數(shù)個(gè)電子，但由于能帶的交疊使它們具有了金屬的導(dǎo)電性。但由于能帶交疊較小，對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的載流子數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于普通的金屬。由此可見，若晶體的原胞含有奇數(shù)個(gè)價(jià)電子，這種晶體必為導(dǎo)體；原胞含有偶數(shù)個(gè)價(jià)電子的晶體，如果存在能帶交迭，則晶體是導(dǎo)體或半金屬，如果能帶沒有交迭，禁帶窄的晶體就是半導(dǎo)體，禁帶寬的則是絕緣體。四空穴1概念設(shè)想滿帶頂部只有一個(gè)態(tài)沒有電子，其余各態(tài)均填滿了電子。這種近滿帶電子荷載的總電流為。如果我們將一個(gè)電子放到空的態(tài)中去，近滿帶就又成為滿帶，總電流就又變成零了。一個(gè)態(tài)電子荷載的電流是。滿帶電子荷載的總電流就是：