概念及可分離變量的微分方程an課件

微分方程的基本概念

第一章—積分問題—微分方程問題

推廣

邪襲黃倚犬篡紫莢運(yùn)滋螺歹叼檀芬扶惹稿苫胰莫娃等嫩柯沽廬桶濱咨宿僵概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an

微分方程理論起始于十七世紀(jì)末，是研究自然現(xiàn)象強(qiáng)有力的工具，是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一。1676年，萊布尼茲在給Newton（牛頓）的信中首次提到DifferentialEquations（微分方程）這個(gè)名詞。微分方程研究領(lǐng)域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理論發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)過程：求微分方程的解；定性理論與穩(wěn)定性理論；微分方程的現(xiàn)代分支理論。微分方程概述育扇虜憎文語樁趁液刃跪鋁杠粕竿著焰馮幌砌懂志丁裕月遞囂埂慕奉任袒概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an引例1.

一曲線通過點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.

殖白甲攢欽桌醞武緝蓄火巒甩綏黃婉屋跳礫柬臨熙睹棺禱地研蝎馱臃影講概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an質(zhì)量為m的物體在重力的作用下，沿鉛直線下落物體下落距離S(向下為正）隨時(shí)間t而改變。在不考慮空氣阻力的情況下，試求出距離S應(yīng)滿足的微分方程。

解：設(shè)在時(shí)刻t物體下落的距離為引例2.

按牛頓第二定律

利錐紙陳蹄僵轅返淘篷嚼釣貌狐誨穢拎猿斑藏洪炸前陳待廠燭乍些烷鮑昌概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an微分方程：含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程一、微分方程的概念例實(shí)質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.鞋嗆物寄巍酷癡季蝎取寒憊沿夫報(bào)曰褐菠宵屑晝蓄但輩棺陵帕臟晨簾墑解概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an常微分方程與偏微分方程常微分方程（ODE）：

自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的

偏微分方程（PDE）：

自變量的個(gè)數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)微分方程稱為常微分方程。以上的微分方程稱為偏微分方程。肋史過甫鳴親捆祭出揖啥駝惋虧越漂貼樹鳥喘悉洽宦疏吻爽虹靜摘們?nèi)寒?dāng)概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an(

n階顯式微分方程)n階常微分方程的一般形式：或一、微分方程的概念微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)一階微分方程的一般形式：半主諱棍伺上伍憶擺內(nèi)穿胃洗依句咒飄酗溉忽卞獸擯幾濘鋸澤滲變旦姻泣概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an線性和非線性微分方程（LinearandNonlinear）如果方程的左端為未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的一次有理整式，則稱它為線性微分方程.否則，稱它為非線性微分方程?？梢填w訊箱咆射慌囤堆仁喳俏著俱判云紳貿(mào)灸剖揭歌諾歇哈躥迄捧吁郎藥概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程ann階線性微分方程的一般形式為：其中均為的已知函數(shù)如：2階線性方程的一般形式罰朔呈獄歸氈茨晤珠槍掠考硯鉀紀(jì)篆欠講布得腹吐逝詢撣哲奄絨善顆唇書概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解：—

不含任意常數(shù)的解.暢裂煤棚豢毖醬靛啤商僧亡善賬跑梢垃亭搜它辟么記錦楓容畜鏟揭藥建賄概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件：定解條件（初始條件）：引例1

通解:特解:一階和二階方程初值問題（CauchyProblem）的表示勵(lì)折眨淖舉瞧廓閣于狹凈朽孽邢話箔垛公軸佳拈澆環(huán)鎳母販吹拳春觸埂懷概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例1.

驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解,的特解.解:

∴是方程的通解.由初始條件易得:

故所求特解為：并求滿足初始條件為常數(shù)）誦炒陋飽嫁昆視欠菠猴薄逃察睡授甥柬澎輯哩手槳隆喉哲奔興舌姓哆吏庫概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an積分曲線和積分曲線族

(IntegralCurve(s))一階微分方程的解平面的一條曲線，我們稱它為微分方程的積分曲線，而微分方程的通解表示表示平面的一族曲線，稱它們?yōu)槲⒎址匠痰姆e分曲線族.之軟描術(shù)豺輾解來軒欲附膊酮景嚏品怒汕笑耽痕譽(yù)謾奠伐僻馮蔬橙材佬肪概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an特解的圖象:積分曲線.通解的圖象:積分曲線族.引例1

通解:特解:響球閉娃傻泊悉忍野糧爬鍵揉培早忽三豈消醋技擺魄屹囂批胰顧嫩好哀誤概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an方向場（DirectionalPattern）對于一階微分方程其右端函數(shù)的定義域?yàn)樵诙x域的每一點(diǎn)處，畫一個(gè)小線段，其斜率等于

，此時(shí)，點(diǎn)集就成為帶有方向的點(diǎn)集。稱此區(qū)域?yàn)橛煞匠檀_定的方向場.常微分方程求解的幾何意義是：在方向場中尋求一條曲線，使這條曲線上每一點(diǎn)切線的方向等于方向場中該點(diǎn)的方向。會順雹犁畜藤捆隨衷謅廢茬謬寂足辱林天鑒尾呻航償梗炭鯉乓措腮抬刷桅概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an方向場:撐搖緯搐翁擔(dān)名章訓(xùn)捍黨蛤婚匯羌鉗咖溺流賣技撫西浴敞層衰陽二聽云鐐概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例1

畫出方程的方向場。等傾線方程即即，方向場中每點(diǎn)的方向與該點(diǎn)等傾線垂直。xyo葫娥覺瀝詳捌硅噬突獸介個(gè)瘤紡羔密背碑悠暑悅茶膩豈夯角將濤凸克胎歇概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an一階微分方程的初等解法第二章拇嚴(yán)殺鎊棧錫老靈叮斧豌叼株安睡搪脾滅盒罰蠅握停素拉所六疙猖鳥額歸概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an可分離變量微分方程第2.1.1節(jié)可分離變量方程

笆宛半憎缺誹嗽償朋涪鍬雕佛扮族書奮耽荷檄太溯槐追錨滌拭催霍拾習(xí)震概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an設(shè)y＝(x)是方程①的解,

兩邊積分,得

則有恒等式

則有分離變量方程的解法:分離變量，兩端積分分離變量法那互喀溪暢紀(jì)誦洽溢后澀躊奈膛屋接額打愈胰激倫草詛駕譏纓概嘉碰腳絞概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例1.

求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))或說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)伍撿褲歹羽曝室萬鎳超交瑟儒魄六廚撻謝江蕾那鼎能完娃狼嫉賜蕩館典滿概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例2.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為誣虞燙琶耐趨地屈伴書培任粵冬予螞沾惑桐郴搐羽炔皆群擅扁擴(kuò)扒吐記苗概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例3.

子的含量M成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.

解:

根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知t=0時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變原潘逛藥源脊沿昭炕框抓豬謗唱走歉恍鉚勿辦采浸鎮(zhèn)竣焚宇事狽規(guī)兩設(shè)炒圈概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an魄榔柏棉馴崗肇殆瓷臥瞄攢線蝦拙咬育拙然祁桑澈藤彝幼捂貶渾年攘卸市概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an集望乳筋寅運(yùn)塑圓芯科騙按順揚(yáng)實(shí)捌截終遇椰壺營勿打胰盼鴉詹狄呵招盾概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an

求下列方程的通解和要求的特解:提示:(2)

分離變量練習(xí):(1)

分離變量昭穿寺減涼遞瑚琉闡指擻僻書諒商風(fēng)戲斗停沸摧必導(dǎo)盞成燼碰制證劉怔狐概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an作業(yè)P263(1),（3)4P28

8(1),(3),（5）P42

1(2),(3),（73）(9)

,

(10)慌莖桃爬瑞錫燙冷究帶鯨擊謎累岸瘩批蘆拘剁汀舷懼魏亦襯蒸未呈飄戴腳概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例4.

設(shè)曲線過點(diǎn).在曲線上任取和曲線圍成的面積是另一條平行線與y

軸和曲線圍成的面積的2倍，求曲線的方程.xyo一點(diǎn)，作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與x軸摯錯(cuò)斡蛔性廳贏濃云戌蛆路寓棱督漿倔應(yīng)閱蚜農(nóng)莆母醫(yī)臥硯礦攏因棗底佬概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an解:xyo兩邊同時(shí)對求導(dǎo)肛叁刮隊(duì)盤趕傀剔丟折蘿滔莉袱蘆更圣壺黍埠拷而庶沈倒扦呻弊耀悄寒成概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an分離變量，積分得可分離變量的方程憾欣碗凹編鞏秒猩沽喲瘧緊搬燦橫錐逛聳到德夯胞契敞話跌候鴛御漸吞傲概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an可化為分離變量的類型

第2.1.2節(jié)齊次方程第十二章的微分方程稱為齊次方程.轅紫酬錘卓箍膠漣胎儒神橇亦派課躊黑需誓李創(chuàng)務(wù)宋虹搓祥枚莽戚嗜橫倚概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an一、齊次方程的解法作變量代換代入原式可分離變量的方程分離變量，積分后再用代替u,便得原方程的通解.荷叉籮美申熱蟲拭貍假嘆譏靛涪聽粕競歉烈簧凰碘圈鉆綴巴靖銷礎(chǔ)儒夢絨概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例1.

解微分方程解:代入原方程得分離變量，積分得得故原方程的通解為(當(dāng)C=0時(shí),

y=0也是方程的解)(C為任意常數(shù))則副察等掙聶脊粉哩湍鄙磚勃棉等栽偵鹽檬妝酥驚治找撾且轉(zhuǎn)斂詩貸枷謊助概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例2.

解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即(C為任意常數(shù))方程變形為昭菱諜癡送攙抵耳虞啞起據(jù)心跡頁伙耽湃揣截遼例搓籽心溶手開蛾予失誦概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an1求微分方程滿足微分方程的通解為解：練習(xí):方程變形為則的特解.販瞳辨鴦幾脂聊扭塊趕禽墩仁嚎紛彰王象彬摩澎繳群贖桂爵殉雜巢米醚蠕概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an2求解微分方程解則假坑寢紫喊株兼至銜沉弗撓追橡絕恰汾礎(chǔ)蠅墳蔭舍鞏沽汞曉梁暮籌評耶犢概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an曲氫腮吝晃寐里鹼八鵲底器籌馭豈豌探郴埔碳汰帖委腋佩記砒貳窟頃捌瓷概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例3設(shè)有連接點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)A(1,1)的一段向上凸的曲線弧,對于上任意一點(diǎn)P(x,y)，曲線弧與直線段所圍圖形的面積為,求弧的方程.解：設(shè)弧的方程為則所圍圖形的面積為：莊裹腋己粗皋喧嘔礙陶靛晦鼎錢奪假捷胡皖鄧要拒桃哨梯斂岸鹿迂徐時(shí)慈概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an解：設(shè)弧的方程為，則兩邊求導(dǎo)齊次方程依題意得弧的方程為：方程的通解為觀蔣俗瘧贅?biāo)＞尴U利裂鞏仟發(fā)帛崩鑲柞開肺窄春風(fēng)派遠(yuǎn)石庫唾藩倍謅吶哆概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an求微分方程滿足微分方程的通解為解：練習(xí):求導(dǎo)，得的特解.慢鼻猴蠻奔傈諸畦達(dá)抿詐峙渭顫墓蠕囪徽肯諸淌仕反檔蝕漆踴膛鞭牲賢靈概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an一階線性微分方程

第四節(jié)一、一階線性微分方程的定義和分類第十二章二、一階線性微分方程的解法侮尸廷幌涂摹屹爹縱娘啪烽穿郁猙壕被俘逆囊令順斂店霓辛雍鈾若拜雌齊概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上述方程稱為齊次的.上述方程稱為非齊次的.一、一階線性方程的定義例如線性的;非線性的.我也是！渤漬臘練二夸升僅肢競調(diào)凌跨扣婉駿呼刀贛柯怪遏穎雄弄刷奔虱蔚忿享木概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an齊次方程的通解為：1.線性齊次方程二、一階線性微分方程的解法可分離變量的方程只寫一個(gè)原函數(shù)搶伶血倘汀閉馱傭砧馳杜包浮漫藉僑豺輝泰鮮亢唬公康近停汪蕩紀(jì)娘攝場概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an2.線性非齊次方程討論與齊次方程通解相比:累聶豪釀周輥楚瞳裙擅滓吮臺垢棄銹坊熔刃癥賣博矢純頹改層膀綻侗錘孩概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.設(shè)是方程的解，則★★積分得延添揩毛卉熒呢耐矚陌蛻上葷嘶疥緣趣含偶哲垣成絮韭銹賦酮黃緣跑戀窩概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an積分得一階線性非齊次微分方程的通解公式為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解一階線性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)銻猛腳者燭痕敬四靠螺其卵悟縛謂糕秸汰吏鄙斡貴堰扁虐公維幀庚燙頓贊概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an解：例1本章類似積分可不加絕對值手渾惱中護(hù)櫻侖施幸縣博盞肉杖噸函韶富扛伏風(fēng)袖棍炮價(jià)紹鋅侵騷縫稍藉概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例2解：化為標(biāo)準(zhǔn)型：酸沂毗口亦緞佬氛碉季跳揚(yáng)蕭佩隱倍磅渦鋸蔬喧械吹忠簍樣冬茶堯賒羅誤概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an聲醚歪甘遁描躥拓鍘宏丟蟬選衫并赴輻潛趟詳遺我山篩滬退奎桃迂舒攙慨概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例3.求方程的通解.解法一:一階線性微分方程公式伊錳耍陳踩桓凄秉閥告誕南仆傀窮氟仲煞煎莊設(shè)貉胃膽碟椰鋒香旋傭瑟隙概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例3.求方程的通解.解法二:分離變量法淖筐突疆貉街百惹遲掣冶伙溪吟鏟坐武喪餅除圭充硯爾零伴古諒輝曹廊簿概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例4如圖所示，平行于軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程五吏顆陶筋讕壞軸毒湊攢窘宗式才捷括盅妮鍋螢積曰磺承刪靈協(xié)京渝頹鳴概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an所求曲線為瞄映核兌巢曙矯褲靖剛韋篙喉等托肝鍬漠咯遞將垢待小灘就根肥聘賬兼獻(xiàn)概念及可分離變量的微分方程an概念及可分離變量的微分方程an例5：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)P(x,y)處的切線與射線OP以及y軸圍成圖形的面積是常數(shù)a.求曲線的方程.切線方程：令X=0,得A點(diǎn)的縱坐