第14章-機(jī)械振動02剖析課件

14.4

簡諧振動的能量系統(tǒng)機(jī)械能守恒

以水平彈簧振子為例1簡諧振動能量圖4T2T43T能量2簡諧振動勢能曲線3簡諧振動的判據(jù)1.動力學(xué)判據(jù)受正比而反向的回復(fù)力作用即2.能量判據(jù)振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒積分3.運(yùn)動學(xué)判據(jù)相對平衡位置的位移隨時(shí)間按正余弦規(guī)律變化4例豎直彈簧振子mg自然平衡任意0x由以上三式可得即與水平彈簧振子相同，只改變平衡位置f5例：圖中U形管直徑為d，管內(nèi)水銀質(zhì)量為m，密度為ρ，現(xiàn)使水銀面作無阻尼自由振動，求振動周期。以液面相同時(shí)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，任意位置為x時(shí)的重力之差為回復(fù)力：dOxx2xF故系統(tǒng)作簡諧振動。角頻率平方周期6兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動合成后仍為簡諧振動xO14.5同方向簡諧振動的合成拍一、兩個(gè)同方向、同頻率簡諧振動的合成(同相)(反相)合振動加強(qiáng)合振動減弱(一般)7*多個(gè)同方向同頻率簡諧振動的合成兩式相除POxBQ8當(dāng)準(zhǔn)諧振動（振幅相同、初相為零）合成振幅頻率都較大但兩者相差很小的兩個(gè)同方向簡諧振動，合成時(shí)所產(chǎn)生的這種合振幅時(shí)而加強(qiáng)，時(shí)而減弱的現(xiàn)象拍:二、兩個(gè)同方向、不同頻率簡諧振動的合成拍90.05s0.1s0.15s0.2sttt02A拍的周期10拍的周期合成振幅連續(xù)兩次加強(qiáng)（或減弱）之間的時(shí)間間隔拍頻：單位時(shí)間內(nèi)合振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻當(dāng)兩振動的振幅不等時(shí)，也有拍現(xiàn)象11手風(fēng)琴的中音簧：

鍵盤式手風(fēng)琴（Accordion)的兩排中音簧的頻率大概相差6到8個(gè)赫茲，其作用就是產(chǎn)生“拍”頻。而俄羅斯的“巴揚(yáng)”---紐扣式手風(fēng)琴則是單簧片的，因此沒有拍頻造成的顫音效果。利用拍頻測速從運(yùn)動物體反射回來的波的頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過測量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運(yùn)動速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對衛(wèi)星、各種交通工具的雷達(dá)測速裝置中。拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象。12質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動一、兩個(gè)相互垂直、同頻率的簡諧振動的合成14.6兩個(gè)相互垂直的簡諧振動的合成李薩如圖形13討論直線運(yùn)動正橢圓變成圓當(dāng)則(2)(1)2A12A22A14二、兩相互垂直、不同頻率的簡諧振動的合成

李薩如圖形

15例.兩個(gè)同方向諧振動的振動方程分別為x1=0.05cos(10t+3/4)及x2=0.06cos(10t+/4)，求合振動方程。xOA1A2A16練習(xí)：一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了三個(gè)簡諧振動，它們的振動方程分別為x1=Acos(t+/3),x2=Acos(t+5/3),

x3=Acos(t+),求其合運(yùn)動方程。x=x1+x2+x3=0xoAAA17二、阻尼振動一、無阻尼振動例：水平彈簧諧振子固有角頻率阻尼系數(shù)14.7阻尼振動粘性阻力特征方程將試探解代入上式令二階常系數(shù)齊次微分方程18特征方程特征根試探解阻尼度---表征阻尼大小的常量a）當(dāng)時(shí),式中阻尼系數(shù)tx阻尼振蕩（欠阻尼）方程的解為和的線性組合

19三種阻尼的比較b）過阻尼（阻尼較大）c）臨界阻尼當(dāng)解為或無周期，非振動。當(dāng)在振幅衰減到原來的時(shí)間,和過阻尼情形相比，臨界阻尼情形下，物體回到平衡位置所需時(shí)間最短

特征根20定態(tài)解暫態(tài)解周期性驅(qū)動力式中14.8受迫振動共振式中過程復(fù)雜

定態(tài)解

21得定態(tài)解振幅:相位:與初始條件無關(guān)由共振頻率共振頻率大阻尼小阻尼阻尼位移共振令22

共振現(xiàn)象的危害23例.水平彈簧振子，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)k=24N/m，重物質(zhì)量m=6kg，重物靜止在平衡位置。設(shè)以一水平恒力F=10N向左作用于物體(不計(jì)摩擦),使之由平衡位置向左運(yùn)動了0.05m，此時(shí)撤去力F。當(dāng)重物運(yùn)動到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，求物體的運(yùn)動方程。解：設(shè)物體的運(yùn)動方程為

x=Acos(t+)恒外力所做的功等于彈簧獲得的機(jī)械能，當(dāng)物體運(yùn)動到最左端時(shí)，這些能量全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能mkFx–A–sO角頻率物體運(yùn)動到–A

位置時(shí)計(jì)時(shí)，初相為=

所以物體的運(yùn)動方程為x=0.204cos(2

t+

)(m)例.兩個(gè)同方向振動的諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動。第一個(gè)振子的振動表達(dá)式為x1=Acos(t+)，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)振子從振動的正方向回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)振子恰在正方向位移的端點(diǎn)。(1)求第二個(gè)振子的振動表達(dá)式和二者的相差；(2)若t=0時(shí)，x1=–A/2，并向x

負(fù)方向運(yùn)動，畫出二者的x-t

曲線及向量圖。解：(1)由已知條件畫出向量圖，可見第二個(gè)振子比第一個(gè)振子相位落后/2，故=2

–1=–/2，第二個(gè)振子的振動函數(shù)為

x2=Acos(t++)=Acos(t+–/2)

A1A2xOA1A2xO(2)由t=0時(shí)，x1=A/2且v<0，可知=2/3，所以

x1=Acos(t+2/3)，x2=Acos(t+/6)

xA-AOtx1x2例.一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的諧振動，其振動規(guī)律為x1=0.4cos(3t+/3)，x2=0.3cos(3t-

/6)(SI)。求：(1)合振動的振動函數(shù)；(2)另有一同方向同頻率的諧振動x3=0.5cos(3t+3)(SI)

當(dāng)3

等于多少時(shí)，x1,x2,x3的合振幅最大？最??？解：(1)解析法振動函數(shù)另法：向量圖法(2)當(dāng)f3=f

=0.12

時(shí)，

xaf-p/6p/3O當(dāng)f3=f

-=-0.88

時(shí)，

例一輕彈簧在60N的拉力作用下可伸長30cm。現(xiàn)將一物體懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小物體，它們的總質(zhì)量為4kg。待其靜止后再向下拉10cm,然后釋放。問（1）此小物體是停在振動物體上面還是離開它？（2）如果使小物體離開，則振幅A需滿足何條件？二者在何位置開始分離？mx解：設(shè)小物體隨振動物體的加速度為a,

按牛頓第二定律有當(dāng)小物體開始脫離振動物體。由題意可知系統(tǒng)最大加速度此值小于g,故小物體不會離開。30（2）如果小物體能脫離振動物體，開始分離的位置由N=0求得即在平衡位置上方19.6cm初開始分離。mx31諧振分析和頻譜

在自然界和工程技術(shù)中，我們所遇到的振動大多不是簡諧振動，而是復(fù)雜的振動，處理這類問題，往往把復(fù)雜振動看成由一系列不同頻率的簡諧振動組合而成，也就是把復(fù)雜振動分解為一系列不同頻率的簡諧振動，這樣分解在數(shù)學(xué)上的依據(jù)是傅立葉級數(shù)和傅立葉積分的理論，因此這種方法稱為傅立葉分析。（自學(xué)）32

先看一個(gè)倍頻諧振動的例子。下圖，兩種虛線代表兩份振動，頻率之比為3:1，實(shí)線代表它們的合振動，圖（a),(b),(c)分別表示三種不同的初相位所對應(yīng)的合振動。三種不同情況，和振動各有不同形式，它們不再是簡諧振動，但仍然是周期運(yùn)動，而且合振動的頻率與分振動中的最低頻率（基頻）相等.33

如果分振動不止兩個(gè)，而且它們的振動頻率是基頻的整數(shù)倍（倍頻）則它們的合振動仍然是周期運(yùn)動，其頻率等于基頻。按規(guī)律：

如果增加合成的項(xiàng)數(shù)，就可以得到方波形的振動：34

既然一系列倍頻簡諧振動的合成是頻率等于基頻的周期運(yùn)動，那么，與之相反，任意周期性振動都可以分解為一系列簡諧振動，各個(gè)分振動的頻率都是原振動頻率的整數(shù)倍，其中與原振動頻率一致的分振動稱為基頻振動，其它的分振動則依照各自的頻率相對于基頻的倍數(shù)而相應(yīng)的稱為二次、三次、……諧頻振動。這種把一個(gè)復(fù)雜的周期振動分解為一系列簡諧振動之和的方法，稱為諧振分析。35

為了顯示實(shí)際振動中所包含的各個(gè)簡諧振動的振動情況（振幅、相位），常用圖線把它表示出來。若用橫坐標(biāo)表示各諧頻振動的頻率，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的振幅，就得到諧頻振動的振幅分布圖，稱為振動的