譜估計(jì)模型法

譜估計(jì)模型法第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月由于模型譜估計(jì)不需要加窗，因而可以消除窗函數(shù)的畸變影響，得到比傳統(tǒng)譜估計(jì)更高的頻率分辨率，尤其是對(duì)短記錄數(shù)據(jù)。4.12.1有理系統(tǒng)函數(shù)模型為白噪聲，為u(n)的平均功率，于是從而功率譜估計(jì)就轉(zhuǎn)化為估計(jì)，設(shè)的函數(shù)形式已知，只是其中的若干參數(shù)未知，則估計(jì)就轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計(jì)。分辨率和譜保真度改善的程度取決于模型擬合的程度。

第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)線性系統(tǒng)具有如下形式的系統(tǒng)函數(shù)：其中，稱為系統(tǒng)的AR(自回歸)分支。其中，稱為系統(tǒng)的MA(滑動(dòng)平均)分支。ARMA模型的多重性：指不同的模型具有相同的功率譜，也稱為功率譜等價(jià)或相關(guān)函數(shù)等價(jià)。為了保證模型唯一性，要求濾波器是因果的，并且可逆。只有最小相位系統(tǒng)才能保證其逆系統(tǒng)是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此一般考慮平穩(wěn)過程是因果的和最小相位的。即A(z)=0和B(z)=0的根全部在單位圓內(nèi)。

第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月z在單位圓上取值，可得令a0=b0=1，模型稱為自回歸－滑動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為ARMA(p,q)模型。即令輸入為u(n)，輸出為x(n)，系統(tǒng)可由如下差分方程描述：如果除a0=1之外，其它ak=0，即有稱為MA(q)過程（全零點(diǎn)模型），其功率譜為：第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月如果除b0=1之外，其它bk=0，即有：稱為AR(p)過程（全極點(diǎn)模型），其功率譜為：4.12.2三種模型之間的關(guān)系A(chǔ)R模型和MA模型是ARMA模型的兩個(gè)特例。MA和ARMA模型參數(shù)估計(jì)方法要比單純的AR模型參數(shù)估計(jì)困難，并常借助于AR模型參數(shù)估計(jì)方法。

第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月由于可用的數(shù)據(jù)有限，不論采用何種參數(shù)估計(jì)法，待估計(jì)的參數(shù)愈多，估計(jì)的精度就愈差。

模型間轉(zhuǎn)化的理論基礎(chǔ)是Kolmogorov定理，即任何ARMA(p,q)過程或MA(q)過程都能用無限階的AR(∞)過程表示；同樣，任何ARMA(p,q)過程或AR(p)過程也可用一個(gè)MA(∞)過程表示。這說明即使對(duì)于待研究過程選用了不太合適的模型，只要它的階數(shù)足夠高，就可作為過程的很好近似。第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA(p,q)及MA(q)與AR(∞)模型間的等效關(guān)系：1ARMA(p,q)模型可等效成AR(∞)模型

其中，，令輸入為白噪聲過程u(n)

，輸出為x(n)

，則故x(n)為AR(∞)過程。例題（自己看）第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2MA(q)模型可等效成MA(∞)模型

MA模型

求逆Z變換，得故可等效成AR(∞)模型。

同樣可將ARMA(p,q)模型或AR(p)模型表示成MA(∞)模型。

4.12.3模型的選定模型選定的原則：第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月1節(jié)儉(Parsimony)原理。指模型應(yīng)包括盡可能少的參數(shù)，并根據(jù)實(shí)際情況加以調(diào)節(jié)，因?yàn)樵谙喈?dāng)多的模型中，用最少的模型參數(shù)可能并不是有效的。2選定模型要考慮模型能表示譜峰、譜谷等方面的能力。對(duì)具有尖峰的譜，需要具有極點(diǎn)的模型（AR或ARMA模型），如果用MA模型去估計(jì)其功率譜密度，結(jié)果將很差。ARMA模型適合于功率譜中既有尖峰又有凹谷的過程。MA模型則適合于真實(shí)譜中僅含有陡窄凹谷的過程。

第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月4.12.4滑動(dòng)平均譜估計(jì)及階數(shù)確定1滑動(dòng)平均譜估計(jì)由于MA(q)過程的功率譜：令m=l-k，l=k＋m，可得又MA過程的自相關(guān)函數(shù)是：第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月因此功率譜

恒等于BT譜估計(jì)，但意義不同

MA(q)過程的相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，即當(dāng)m>q時(shí)，相關(guān)函數(shù)為零。這一特性對(duì)判斷模型的性質(zhì)十分重要。

第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2滑動(dòng)平均模型階數(shù)的確定Durbin提出可將MA(q)過程轉(zhuǎn)換為AR過程，然后用

Yule-Walker方程去估計(jì)MA參數(shù)。Chow提出利用無偏自相關(guān)估計(jì)，并在若干項(xiàng)后檢驗(yàn)此估計(jì)量是否迅速逼近于零。因?yàn)楫?dāng)延遲m>q，Rx(m)=0。

逐次延遲確定的假設(shè)檢驗(yàn)：若延遲為q的Rx(q)相對(duì)于延遲小于q的自相關(guān)函數(shù)，變化是充分接近零的，則MA過程的階認(rèn)為是q。

第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月4.12.5自回歸滑動(dòng)平均譜估計(jì)及階數(shù)確定1自回歸滑動(dòng)平均譜估計(jì)

aARMA譜分析法一

ARMA模型功率譜：設(shè)，，系數(shù)滿足：Ck=C-k

于是有由于，得到第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA譜分析法一特點(diǎn)：不需要白噪聲方差以及MA參數(shù)bi，但需要MA階數(shù)q和AR階數(shù)p，只要將自回歸參數(shù)ai求出，即可得到ARMA信號(hào)模型的功率譜估計(jì)。

第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月求ARMA(p,q)模型AR部分參量ai的方法：由于兩邊乘x*(n-m)

，并取數(shù)學(xué)期望，得其中設(shè)ARMA模型為因果穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)為

h(n)，則有

第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月由于所以取m=q+1,…,q+p，得擴(kuò)展的Yule-Walker方程

方程組僅與AR參數(shù)有關(guān)，與MA參數(shù)無關(guān)。

Rx(m)從滯后量q開始，不是從零開始

第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月由于之前令，即又有

則可通過求出ai，求出ck，進(jìn)而求出bj，得到MA參數(shù)

bARMA譜分析法二將ARMA功率譜分解：其中，于是第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月將功率譜作另一分解：其中，，于是兩種分解的關(guān)系：

兩邊同乘，可得

因此求出AR參數(shù)估值與自相關(guān)函數(shù)估值，給定AR

階數(shù)p，參數(shù)nk即可求出。第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA功率譜：

此方法不需要用到白噪聲的方差，MA的階數(shù)q和MA

參數(shù)bi。具有計(jì)算較簡(jiǎn)單，頻率分辨率高等優(yōu)點(diǎn)。cARMA譜分析法三思想：用高階AR模型逼近ARMA(p,q)模型。令A(yù)RMA模型的系統(tǒng)函數(shù)為：

(1)先用AR參數(shù)估計(jì)方法獲得（M≥p+q）第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)求ak,bk,ck三個(gè)系數(shù)間的關(guān)系由于，有

(3)求取n=p+l,p+2,…,p+q，得q個(gè)方程寫成矩陣形式：第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4)求

第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月得到ARMA(p,q)模型功率譜估計(jì)：

AR模型的階次p+q需要很高，才有較好的逼近。d非負(fù)ARMA信號(hào)模型的功率譜估計(jì)ARMA模型譜分析方法一、二所得到的功率譜估值可能是負(fù)的，需要研究保證其功率譜估計(jì)非負(fù)的方法

第22頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月由于ARMA譜分析法一有：

其中可見要保證功率譜估計(jì)非負(fù)，ck的估值必須是半正定序列。估計(jì)誤差時(shí)間序列為