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函數(shù)的單調(diào)性與極值教學(xué)目的:正確理解利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性的原理;駕馭利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性的方法;教學(xué)重點:利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性;教學(xué)難點:利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性教學(xué)過程:一引入:以前,我們用定義來推斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)x1<x2的前提下,比擬f(x1)<f(x2)與的大小,在函數(shù)y=f(x)比擬困難的狀況下,比擬f(x1)與f(x2)的大小并不很簡潔.假如利用導(dǎo)數(shù)來推斷函數(shù)的單調(diào)性就比擬簡潔.二新課講授1函數(shù)單調(diào)性我們已經(jīng)知道,曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù).從函數(shù)的圖像可以看到:在區(qū)間(2,)內(nèi),切線的斜率為正,函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而增大,即>0時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,)內(nèi)為增函數(shù);在區(qū)間(,2)內(nèi),切線的斜率為負,函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而減小,即0時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)為減函數(shù).定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),假如在這個區(qū)間內(nèi)>0,則函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);,假如在這個區(qū)間內(nèi)<0,則函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)。例1確定函數(shù)在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。例2確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。xx022極大值與微小值視察例2的圖可以看出,函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它旁邊全部各點的函數(shù)值都大,我們說f(0)是函數(shù)的一個極大值;函數(shù)在X=2的函數(shù)值比它旁邊全部各點的函數(shù)值都小,我們說f(0)是函數(shù)的一個微小值。一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在及其旁邊有定義,假如的值比旁邊全部各點的函數(shù)值都大,我們說f()是函數(shù)y=f(x)的一個極大值;假如的值比旁邊全部各點的函數(shù)值都小,我們說f()是函數(shù)y=f(x)的一個微小值。極大值與微小值統(tǒng)稱極值。在定義中,獲得極值的點稱為極值點,極值點是自變量的值,極值指的是函數(shù)值。請留意以下幾點:(?。O值是一個部分概念。由定義,極值只是某個點的函數(shù)值與它旁邊點的函數(shù)值比擬是最大或最小。并不意味著它在函數(shù)的完全的定義域內(nèi)最大或最小。(ⅱ)函數(shù)的極值不是唯一的。即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或微小值可以不止一個。oaX1X2X3X4baxy(ⅲ)極大值與微小oaX1X2X3X4baxy(ⅳ)函數(shù)的極值點肯定出如今區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點不能成為極值點。而使函數(shù)獲得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點。由上圖可以看出,在函數(shù)獲得極值處,假如曲線有切線的話,則切線是程度的,從而有。但反過來不肯定。如函數(shù),在處,曲線的切線是程度的,但這點的函數(shù)值既不比它旁邊的點的函數(shù)值大,也不比它旁邊的點的函數(shù)值小。假設(shè)使,則在什么狀況下是的極值點呢?oaoaX0baxyoaX0baxy 如上左圖所示,若是的極大值點,則兩側(cè)旁邊點的函數(shù)值必需小于。因此,的左側(cè)旁邊只能是增函數(shù),即。的右側(cè)旁邊只能是減函數(shù),即,同理,如上右圖所示,若是微小值點,則在的左側(cè)旁邊只能是減函數(shù),即,在的右側(cè)旁邊只能是增函數(shù),即,從而我們得出結(jié)論:若滿意,且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,則是的極值點,是極值,并且假如在兩側(cè)滿意“左正右負”,則是的極大值點,是極大值;假如在兩側(cè)滿意“左負右正”,則是的微小值點,是微小值。xoy例3求函數(shù)xoy三小結(jié)1求極值常按如下步驟:①確定函數(shù)的定義域;②求導(dǎo)數(shù);③求方程=0的根,這些根也稱為可能極值點;④檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號,確定極值點。(最好通過列表法)四穩(wěn)固練習(xí)1確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)(2)2求下列函數(shù)的極值(1)(2)(3)(4)五課堂作業(yè)1確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)(2)(3)
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