曲線與曲面課件

主講人：趙宏慶第7章曲線與曲面1第7章曲線與曲面7.1曲線與曲面入門7.2三次樣條曲線曲面7.3Bézier曲線和曲面7.4B樣條曲線和曲面7.5非均勻有理B樣條曲線曲面7.6用OpenGL生成曲線和曲面2第7章曲線與曲面曲線曲面的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)源于20世紀(jì)60年代的飛機(jī)和汽車工業(yè)。1963年美國(guó)波音公司的Ferguson提出用于飛機(jī)設(shè)計(jì)的參數(shù)三次方程；1962年法國(guó)雷諾汽車公司的Bézier于提出以逼近為根底的曲線曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)UNISURF;此前deCasteljau大約于1959年在法國(guó)另一家汽車公司雪鐵龍的CAD系統(tǒng)中有同樣的設(shè)計(jì)，但因?yàn)楸Ｃ艿脑蚨鴽]有公布；1964年Coons提出了一類布爾和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分別給出B樣條的標(biāo)準(zhǔn)算法；3第7章曲線與曲面1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均勻B樣條曲線曲面，美國(guó)錫拉丘茲大學(xué)的Versprille研究了有理B樣條曲線曲面;20世紀(jì)80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人對(duì)有理B樣條曲線曲面進(jìn)行了深入的研究，并形成非均勻有理B樣條(Non-UniformRationalB-Spline，簡(jiǎn)稱NURBS)；1991年國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)組織(ISO)正式公布了產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)STEP，NURBS是工業(yè)產(chǎn)品幾何定義唯一的一種自由型曲線曲面。4第7章曲線與曲面整個(gè)曲線曲面設(shè)計(jì)方法的開展史說明了曲線曲面設(shè)計(jì)方法的要求:(要求掌握)〔1〕防止高次多項(xiàng)式函數(shù)可能引起的過多拐點(diǎn),曲線曲面設(shè)計(jì)宜采用低次多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行組合;組合曲線曲面在公共連接處滿足一定的連續(xù)性；〔2〕繪圖過程具有明確的幾何意義,且操作方便；〔3〕具有幾何不變性；〔4〕具有局部修改性,修改其中一點(diǎn),不影響全局,只有很小范圍內(nèi)的形狀受到影響。5曲線的表示形式7.1曲線曲面根底平面曲線的直角坐標(biāo)表示形式為：或其參數(shù)方程則為：平面上一點(diǎn)的位置可用自原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量表示：上式稱為曲線的矢量方程，其坐標(biāo)分量表示式是曲線的參數(shù)方程。矢量方程為：三維空間曲線的參數(shù)方程為：61曲線的表示形式7.1曲線曲面根底r(t2)r(t1)OYXZ圖7-1空間曲線三維空間曲線可理解為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，位置矢量r隨時(shí)間t變化的關(guān)系就是一條空間曲線。7密切平面法平面從切面tnρbP圖7-2曲線特性分析用s表示曲線的弧長(zhǎng)，以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線方程稱為自然參數(shù)方程。以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線，其切矢為單位矢量，記為t(s)。切矢t(s)對(duì)弧長(zhǎng)s求導(dǎo)，所得導(dǎo)矢dt(s)/ds與切矢相垂直，稱為曲率矢量，如圖7-2，其單位矢量稱為曲線的單位主法矢，記為n(s)，其模長(zhǎng)稱為曲線的曲率，記為k(s)。曲率的倒數(shù)稱為曲線的曲率半徑，記為與t和n相互垂直的單位矢量稱為副法矢，記為b(s)。由t和n張成的平面稱為密切平面；由n和b張成的平面稱為法平面；由t和b張成的平面稱為從切面。82曲面的表示形式

一般曲面可表示為：或其參數(shù)表達(dá)式為：曲面的矢量方程為：參數(shù)u、v的變化區(qū)間常取為單位正方形，即u,v∈[0,1]。x，y，z都是u和v二元可微函數(shù)。當(dāng)(u，v)在區(qū)間[0，1]之間變化時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y，z)就在空間形成一張曲面。映射空間域uv參數(shù)域9rvnruZvv3v2v1v0OuYXr(u,v)圖7-3空間曲面r對(duì)u和v的一階偏導(dǎo)數(shù)為：一階偏導(dǎo)數(shù)ru(u，v)和rv(u，v)繼續(xù)對(duì)u，v求偏導(dǎo)數(shù)，得到四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)ruu、ruv、rvu、rvv：10直紋面旋轉(zhuǎn)面“線動(dòng)成面〞雙線性插值曲面11Coons曲面是曲面片的四條邊界曲線，由兩張直紋曲面的和減去一張雙線性插值曲面得到的：這種布爾和形式的曲面是Coons于1967年研究的，拼合時(shí)，整張曲面C0連續(xù)，即位置連續(xù)。要到達(dá)C1連續(xù)，必須考慮跨界切矢的插值。Coons曲面〔麻省理工學(xué)院〕12雙線性插值曲面，采用了“先定義線，然后線動(dòng)成面〞的思想。張量積曲面也是采用“線動(dòng)成面〞的思想，是CAGD中應(yīng)用最廣泛的一類曲面生成方法參數(shù)u的分割：及其上的及調(diào)配函數(shù)參數(shù)v的分割：及其上的及調(diào)配函數(shù)定義在uv平面的矩形區(qū)域上的這張曲面稱為張量積曲面。張量積曲面的特點(diǎn)是將曲面問題化解為簡(jiǎn)單的曲線問題來處理，適用于拓?fù)渖铣示匦蔚那嫘螤睢Ｓ成淇臻g域參數(shù)域vu

張量積曲面13切矢方向與模：方向相同，模不同，G1連續(xù)；方向相同，模相同，C1連續(xù)；連續(xù)性都我Ck曲線r1(u)的末端和曲線r2(v)的首端相連，其不同階次連續(xù)性的要求如下：位置連續(xù)(C0)：曲線段r1(u)的末端與曲線段r2(v)的首端到達(dá)位置連續(xù)的條件為：r1(1)＝r2(0)斜率連續(xù)(C1):曲線段r1(u)的末端與曲線段r2(v)的首端到達(dá)斜率連續(xù)的條件為：假設(shè)k=1，說明曲線段r1(u1)的末端切矢與曲線段r2(u2)的首端切矢方向相同、模長(zhǎng)相等，稱為C1連續(xù)。假設(shè)k≠1，那么說明兩段曲線在公共連接點(diǎn)處切矢方向相同，但模長(zhǎng)不相等，這種情況是幾何連續(xù)的，稱為G1連續(xù)，也稱視覺連續(xù)。曲線曲面的光滑連接(要求掌握)14曲率連續(xù)(C2):

兩曲線段曲率連續(xù)應(yīng)滿足：(1)位置連續(xù)；(2)斜率連續(xù)；(3)曲率相等且主法線方向一致。對(duì)于曲面片，假設(shè)兩個(gè)曲面片在公共連接線上處處滿足上述各類連續(xù)性條件，那么兩個(gè)曲面片之間有同樣的結(jié)論。幾何意義是：曲線段r2(u)首端的二階導(dǎo)矢應(yīng)處在由曲線段r1(v)末端的二階導(dǎo)矢和一階導(dǎo)矢所張成的平面內(nèi)。G2連續(xù)滿足條件:C2連續(xù)滿足條件:曲線曲面的光滑連接15曲線設(shè)計(jì)根底插值曲線和擬合曲線〔InterpolatecurveandFitcurve〕原始數(shù)據(jù)點(diǎn)精確原始數(shù)據(jù)點(diǎn)不精確XYX’Y’由一組基函數(shù)及相聯(lián)系的系數(shù)矢量來表示：采用不同的基函數(shù)，曲線的數(shù)學(xué)表示方法就不同?；瘮?shù)一旦確定，系數(shù)矢量就完全定義了曲線。計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中的曲線的一般表示形式標(biāo)準(zhǔn)基表示具有幾何不變性。即同樣的點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中生成的曲線相同。拋物線方程不具有幾何不變性。若稱為規(guī)范基。16n次多項(xiàng)式的全體構(gòu)成n次多項(xiàng)式空間，在其中任選一組線性無關(guān)的多項(xiàng)式都可以作為基。冪基ui，i=0，1，…，n是最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式基，相應(yīng)的參數(shù)多項(xiàng)式曲線方程為：對(duì)于給定的n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,2,…,n，欲構(gòu)造其插值曲線或逼近曲線，必先得到對(duì)應(yīng)于各數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi的參數(shù)值ui，ui是一個(gè)嚴(yán)格遞增的序列△U：u0<u1<…<un

參數(shù)多項(xiàng)式曲線17采用不同的參數(shù)化，得到的曲線也不同。常用的參數(shù)化方法：(1)

均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化)(2)

積累弦長(zhǎng)參數(shù)化(3)

向心參數(shù)化(4)

修正弦長(zhǎng)參數(shù)化對(duì)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)行參數(shù)化，將參數(shù)值ui代入上述方程，使之滿足插值條件：，i=0,1,…,n得一組線性方程組：

參數(shù)多項(xiàng)式曲線18解線性方程組，可得唯一解。冪基多項(xiàng)式曲線方程中的系數(shù)矢量幾何意義不明確，構(gòu)造曲線時(shí)，需解線性方程組，n較大時(shí)，不可取。其它多項(xiàng)式插值曲線如Lagrange、Newton、Hermite等較之冪基多項(xiàng)式曲線在計(jì)算性能等方面有較大改進(jìn)，但總體上多項(xiàng)式曲線存在兩個(gè)問題：l

次數(shù)增高時(shí)，出現(xiàn)多余的拐點(diǎn)；l

整體計(jì)算，一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的微小改動(dòng)，可能引起曲線整體大的波動(dòng)。19由于高次多項(xiàng)式曲線存在缺陷，單一低次多項(xiàng)式曲線又難以描述復(fù)雜形狀的曲線。所以采用低次多項(xiàng)式按分段的方式在一定連續(xù)條件下拼接復(fù)雜的組合曲線是唯一的選擇。低次多項(xiàng)式組合曲線以三次多項(xiàng)式為例：如何選擇基函數(shù)使系數(shù)具有幾何意義，且操作方便，易于修改是曲線曲面設(shè)計(jì)方法的開展方向。20y1(x)=a1+b1x+c1x2+d1x3y2(x)=a2+b2x+c2x2+d2x3y3(x)=a3+b3x+c3x2+d3x3“線動(dòng)成面〞21三次樣條函數(shù)〔Spline〕Schoenberg于1946年提出,國(guó)外60年代廣泛研究,國(guó)內(nèi)70年代開始。R(x)—梁的曲率半徑M(x)—作用在梁上的彎矩E—材料的彈性模量I—梁橫截面的慣性矩在梁彎曲不大的情況下，y′<<1,簡(jiǎn)化為：y′′(x)~M(x)y(x)是x的三次多項(xiàng)式，這就是插值三次樣條函數(shù)的物理背景。

樣條曲線的物理背景樣條(spline)是富有彈性的細(xì)木條或有機(jī)玻璃條。早期船舶、汽車、飛機(jī)放樣時(shí)用壓鐵壓在樣條上的一系列型值點(diǎn)上，調(diào)整壓鐵到達(dá)設(shè)計(jì)要求后繪制其曲線，稱為樣條曲線y(x)。7.2三次樣條曲線曲面22物理樣條的性質(zhì)

樣條是物質(zhì)連續(xù)的，相當(dāng)于函數(shù)C0連續(xù)；樣條在壓鐵兩側(cè)斜率相同，相當(dāng)于函數(shù)C1連續(xù)；樣條在壓鐵兩側(cè)曲率相同，相當(dāng)于函數(shù)C2連續(xù)；23三次樣條函數(shù)的數(shù)學(xué)描述在區(qū)間[a,b]上給定一個(gè)分割：a=x1<x2<???<xn=b,那么稱在區(qū)間[a,b]上滿足以下條件的函數(shù)S(x)為三次樣條函數(shù)：〔1〕在每個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi]〔i=1,2,???,n〕上為三次多項(xiàng)式;〔2〕在整個(gè)區(qū)間[a,b]上具有直到二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，即在內(nèi)節(jié)點(diǎn)xi處，i=2,3,???,n-1,k=0,1,2〔3〕給定一組型值點(diǎn)〔xi,yi)(i=1,2,???,n〕,S(x)滿足S(xi)＝y(tǒng)i，那么稱S(x)為插值三次樣條函數(shù)；(xi-1,yi-1)(xi,yi)ti-1ti

S(x)=ai+bix+cix2+dix3

i=1,2,…,nS(xi-1)=yi-1S(xi)=yiS’(xi-1)=ti-1S’(xi)=ti24插值三次樣條函數(shù)有兩種常用的表達(dá)方式一種是用型值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)表示的m關(guān)系式；一種是用型值點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)表示的M關(guān)系式。本書重點(diǎn)介紹m關(guān)系式。25用型值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)表示插值三次樣條函數(shù)―m關(guān)系式

給定一組型值點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,???,n)，mi為(xi,yi)處的斜率。第i段樣條函數(shù)可表示為：

該段曲線的首端通過(xi－1,yi－1)，斜率為mi－1，末端通過(xi,yi)，斜率為mi，樣條連續(xù)條件可表達(dá)為：

將yi(x)代入，得：yi(x)=ai+bix+cix2+dix3(xi-1,yi-1)(xi,yi)mi-1mi(x0,y0)(xn,yn)mnm0圖7-4型值點(diǎn)和斜率(xi+1,yi+1)mi+1yi+1(x)=ai+1+bi+1x+ci+1x2+di+1x326將所求系數(shù)代入樣條函數(shù)表達(dá)式，得：27式中xi-1≤x≤xi(i=1,2,…,n)上述公式為插值三次樣條函數(shù)的根本公式。只要求解出型值點(diǎn)處的斜率mi(i=0,1,2,…,n),就可以應(yīng)用上述公式計(jì)算插值三次樣條函數(shù)的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。以(xi-1+hi)代替xi，代入yi(x)的表達(dá)式，并按(x-xi-1)的冪次整理成如下矩陣表達(dá)式：28插值三次樣條函數(shù)的矩陣表達(dá)式：式中xi-1≤x≤xi(i=1,2,…,n)假設(shè)令hi=1，t=x-xi-1,0≤t≤1,那么得到均勻參數(shù)插值三次樣條。1963年美國(guó)波音公司的Ferguson用于飛機(jī)設(shè)計(jì)的參數(shù)三次方程即是均勻參數(shù)插值三次樣條曲線:即為：三次Hermite樣條曲線，其中P(t)表示位置矢量，P′(t)表示切矢

由上述樣條函數(shù)公式可以看出，構(gòu)造插值三次樣條時(shí)除已經(jīng)給定的型值點(diǎn)外，還必須得到型值點(diǎn)處的切矢。為了計(jì)算型值點(diǎn)處的切矢mi(i=0,1,2,…,n)，可以利用前、后二曲線段在型值點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件：

29三次樣條函數(shù)的m連續(xù)性方程代入樣條函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，整理得：三次樣條函數(shù)的m連續(xù)性方程

(xi-1,yi-1)(xi,yi)(xi+1,yi+1)計(jì)入首末點(diǎn)的切矢，共有n+1個(gè)未知量mi(i=0,1,2,…,n)，但只有n-1個(gè)方程，需要補(bǔ)充兩個(gè)方程才能求解。30三次樣條函數(shù)的m連續(xù)性方程〔2〕在首末端指定二階導(dǎo)數(shù)：在兩端指定二階導(dǎo)數(shù)和，補(bǔ)充方程為補(bǔ)充兩個(gè)方程:指定整條曲線的首末點(diǎn)的端點(diǎn)條件，〔1〕在首末端指定一階導(dǎo)數(shù)：在兩端指定一階導(dǎo)數(shù)和，補(bǔ)充方程為整理得31三次樣條函數(shù)的m連續(xù)性方程

當(dāng)曲線兩端比較平坦時(shí)，可以取二階導(dǎo)數(shù)和為0，即自由端點(diǎn)條件，此時(shí)前式可簡(jiǎn)化為：32三次樣條函數(shù)的m連續(xù)性方程〔3〕綜合兩類端點(diǎn)條件的補(bǔ)充方程：為了綜合考慮上述兩類端點(diǎn)的條件，可利用如下的表達(dá)式：33三次樣條函數(shù)的m連續(xù)性方程上式的系數(shù)矩陣為三對(duì)角帶狀矩陣，可用追趕法求解。綜合式〔7-13〕和式〔7-18〕，得如下方程組：34三次樣條函數(shù)的m連續(xù)性方程插值三次樣條函數(shù)的計(jì)算步驟：獲得型值點(diǎn)；指定端點(diǎn)條件；計(jì)算μiλiCi；追趕法求解切矢；用式〔7-19〕逐段逐點(diǎn)計(jì)算插值三次樣條曲線、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。35三次樣條曲線

〔1〕給定一組型值點(diǎn)Pi(xi,yi,zi)，i=0，1，…，n，構(gòu)造三個(gè)關(guān)于參數(shù)u的插值三次樣條函數(shù)：〔2〕計(jì)算各數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi的參數(shù)值ui，參數(shù)u有多種選擇，采用累加弧長(zhǎng)是最直觀的。但由于在得到曲線之前，無法計(jì)算弧長(zhǎng)。實(shí)際應(yīng)用中多采用累加弦長(zhǎng)作為參數(shù)構(gòu)造樣條曲線，并稱其為累加弦長(zhǎng)參數(shù)樣條曲線，簡(jiǎn)稱參數(shù)樣條曲線。ui的計(jì)算公式如下：所得ui是一個(gè)嚴(yán)格遞增的序列：u0<u1<…<un36三次樣條曲線

〔3〕依據(jù)參數(shù)及型值點(diǎn)的數(shù)據(jù)表,分別構(gòu)造插值樣條函數(shù)x=x(u),y=y(u),z=z(u)，得到分段三次多項(xiàng)式函數(shù)組合的參數(shù)樣條曲線。uu0u1u2…unxx0x1x2…xnyy0y1y2…ynzz0z1z2…zn37實(shí)際應(yīng)用中很難給出數(shù)據(jù)點(diǎn)處的切矢。采用不同的方法計(jì)算切矢，生成的曲線不相同。這說明這種方法還不是純幾何的方法，根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，不能唯一地確定曲線。繪圖過程中幾何意義不夠明顯。切矢計(jì)算是整體求解，改變一點(diǎn)，所有切矢計(jì)算結(jié)果都發(fā)生變化，不局部局部修改性。對(duì)于均勻參數(shù)三次樣條曲線，當(dāng)相鄰弦長(zhǎng)相差懸殊時(shí)，弦長(zhǎng)短的曲線段因兩端切矢模長(zhǎng)與弦長(zhǎng)相比過大而出現(xiàn)尖點(diǎn)或紐結(jié)。當(dāng)型值點(diǎn)分布不勻稱時(shí)，不適宜構(gòu)造參數(shù)樣條曲面。三次樣條函數(shù)的特點(diǎn)

型值點(diǎn)分布勻稱情形

型值點(diǎn)分布不勻稱情形38Bézier曲線是法國(guó)雷諾汽車公司的工程師Bézier于1962年提出。1972年在UNISURF系統(tǒng)中正式投入使用。Bézier曲線采用一組特殊的基函數(shù)，使得基函數(shù)的系數(shù)具有明確的幾何意義。其曲線方程：

0≤t≤1其中從a0到an首尾相連的折線稱為Bézier控制多邊形。i=0,1,…,n7.3Bézier曲線和曲面a0a1a2a3ai為相對(duì)位置矢量(注：Bézier本人也不能解釋該公式的來源)39當(dāng)n=3時(shí):7.3Bézier曲線和曲面f0(t)f1(t)f2(t)f3(t)11040英國(guó)的Forest于1972年將上述Bézier曲線中的控制多邊形頂點(diǎn)改為絕對(duì)位置矢量的Bernstein基表示形式：0≤t≤1i=0,1,…,n當(dāng)n=3時(shí):

B0,3(t)B2,3(t)B1,3(t)B3,3(t)d0d1d2d3di為絕對(duì)位置矢量41三次Bézier曲線的矩陣表示形式為：42單一Bézier曲線不能滿足描述復(fù)雜形狀的要求，必須采用組合Bézier曲線。參數(shù)連續(xù)是對(duì)曲線光順性的過分要求，在組合曲線的連接點(diǎn)處，參數(shù)連續(xù)不僅要求切矢具有共同的切矢方向，而且要求切矢模長(zhǎng)相等。幾何連續(xù)只要求在連接點(diǎn)處切矢方向相同，切矢模長(zhǎng)可以不相等，由此產(chǎn)生了不同控制手段的多種曲線，如Gamma()樣條曲線、Beta()樣條曲線等，給曲線設(shè)計(jì)提供了極大的靈活性。假設(shè)要組合Bézier曲線在連接點(diǎn)處具有一定的連續(xù)性，構(gòu)成曲線的位置點(diǎn)矢量之間存在約束條件，可用Bézier曲線方程的一階、二階導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)。d0d1d2d3組合Bézier曲線示意圖Bézier曲線的特點(diǎn)43Bézier曲線的優(yōu)點(diǎn)是具有明確的幾何意義，給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的控制多邊形確定曲線的形狀，在設(shè)計(jì)過程中具有很強(qiáng)的可操作性。對(duì)于局部參數(shù)的Bézier曲線，當(dāng)弦長(zhǎng)差異較大時(shí)，弦長(zhǎng)較長(zhǎng)的那段曲線過分平坦，弦長(zhǎng)較短的那段曲線那么臌得厲害。d0d1d2d3組合Bézier曲線示意圖Bézier曲線的特點(diǎn)44給定空間16個(gè)位置點(diǎn)rij，可以確定一張三次Bezier曲面片。Bézier曲面片uvrij首先生成四條v向的三次Bezier曲線：45根據(jù)“線動(dòng)成面〞的思想，按設(shè)定間隔取，在四條v線上取點(diǎn)，沿u向生成三次Bezier曲線：Bézier曲面片uvV*46Bézier曲面片uv將u,v向曲線方程合并得：47Bézier曲面片的矩陣表達(dá)式rijuv48用Bézier曲面片組合曲面時(shí),曲面拼合處位置連續(xù),要求:r1(1,v)=r2(0,v)[1111]AM1AT=[1000]AM2AT

即:,上圖即為兩張C0連續(xù)的Bézier曲面片.

C0連續(xù)的Bézier組合曲面(位置連續(xù))曲面片1曲面片249假設(shè)要得到跨界一階導(dǎo)矢的連續(xù)性,對(duì)于0≤v≤1,曲面片1在u=1的切平面和曲面片2在u=0處的切平面重合,曲面的法矢在跨界處連續(xù),即:其中λ(ν)是考慮法矢模長(zhǎng)的不連續(xù).C1連續(xù)的Bézier組合曲面(導(dǎo)矢連續(xù))曲面片1曲面片250組合曲面所有等v線的梯度連續(xù)用矩陣表示為:說明跨界的四對(duì)棱邊必須共線。取λ(ν)=λ，因?yàn)榈玫紺1連續(xù)的Bézier組合曲面(導(dǎo)矢連續(xù))曲面片1曲面片2〔書上有誤〕51要求跨界切矢的比值不變是非?？量痰南拗?，為了更自由地進(jìn)行曲面的拼合，可采用如下的較寬松的條件：C1連續(xù)的Bézier組合曲面(導(dǎo)矢連續(xù))曲面片1曲面片252B樣條曲線是Schocenberg于1946年提出的，1972年deBoor和Cox分別給出B樣條的標(biāo)準(zhǔn)算法。作為CAGD的一種形狀描述的數(shù)學(xué)方法是Gordon和Riesenfeld于1974年在研究Bézier曲線的根底上給出的[4]B樣條曲線方程為：其中di，i＝0，1，….，n為控制頂點(diǎn)K次標(biāo)準(zhǔn)B樣條基函數(shù)Ni,K(u)〔i＝0，1，…，n〕定義如下：ui〔i=0，1，…，n〕是對(duì)應(yīng)于給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)。7.4B樣條曲線和曲面53當(dāng)K＝3，且采用均勻參數(shù)化時(shí)，得到三次均勻B樣條曲線：

0≤t＝≤1，i＝0,1,…,n-3在分段連接點(diǎn)處B樣條曲線的值和導(dǎo)矢量為：均勻B樣條曲線54均勻B樣條曲線55均勻B樣條曲線56對(duì)于三次均勻B樣條曲線，計(jì)算對(duì)應(yīng)于參數(shù)[ui,ui+1]這段曲線上的一點(diǎn)，要用到Ni-3,3(u)、Ni-2,3(u)、Ni-1,3(u)、Ni,3(u)四個(gè)基函數(shù)，涉及ui-3到ui+4共8個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值。57B樣條曲線的基函數(shù)是局部支撐的，修改一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，在修改處影響最大，對(duì)其兩側(cè)的影響快速衰減，其影響范圍只有前后各K段曲線，對(duì)曲線的其它局部沒有影響。這是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)所需要的局部修改性。均勻B樣條曲線未考慮曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布對(duì)參數(shù)化的影響，當(dāng)曲線弦長(zhǎng)差異較大時(shí)，弦長(zhǎng)較長(zhǎng)的曲線段比較平坦，而弦長(zhǎng)較短的曲線段那么臌漲，甚至于因過“沖〞而產(chǎn)生“紐結(jié)〞。58均勻B樣條曲面給定16個(gè)頂點(diǎn)dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)構(gòu)成的特征網(wǎng)格，可以定義一張曲面片。用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4)構(gòu)建四條V向曲線C1、C2、C3和C4(圖中虛線);d24uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d2259均勻B樣條曲面參數(shù)v在[0,1]之間取值vk

，對(duì)應(yīng)于vk曲線C1、C2、C3和C4上可得到V1k、V2k、V3k和V4k四個(gè)點(diǎn)，該四點(diǎn)構(gòu)成u向的一個(gè)特征多邊形，定義一條新的曲線P(u,vk)；uvC4C3C1C2V1kV3kV4kV2k當(dāng)參數(shù)vk在[0,1]之間取不同值時(shí)，P(u,vk)沿箭頭方向掃描，即得到由給定特征網(wǎng)格dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)定義的雙三次均勻B樣條曲面片P(u,v)。60d24uvV1kd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2V2kV3kV4kd41P(u,vK)d22雙三次均勻B樣條曲面P(u,v)的矩陣表示61雙三次均勻B樣條曲面P(u,v)的矩陣表示為了使生成的曲面片通過特征網(wǎng)格的4個(gè)角點(diǎn)，可采用B樣條曲線重節(jié)點(diǎn)的方法，即在v向和u向構(gòu)建曲線時(shí)，分別在特征多邊形的端點(diǎn)處作重節(jié)點(diǎn)處理，那么生成的曲線過端點(diǎn)，雙向計(jì)算后得到的曲面通過特征網(wǎng)格的4個(gè)角點(diǎn)。上述過程表達(dá)的是給定特征網(wǎng)格，定義一張曲面。實(shí)際應(yīng)用中，還需要根據(jù)給定的曲面反求特征網(wǎng)格的頂點(diǎn)，以便進(jìn)行新的設(shè)計(jì)。這局部?jī)?nèi)容將在后面相關(guān)章節(jié)介紹曲線反求控制多邊形頂點(diǎn)的根底上簡(jiǎn)要介紹。62考慮曲線弦長(zhǎng)的影響，那么曲線的基函數(shù)不再具有同樣的格式，必須根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行弦長(zhǎng)參數(shù)化，然后根據(jù)基函數(shù)的定義用如下的曲線方程計(jì)算各段曲線上的點(diǎn)：非均勻B樣條曲線考慮了弦長(zhǎng)的影響，曲線不會(huì)因?yàn)楣?jié)點(diǎn)分布不均勻而產(chǎn)生過沖和紐結(jié)。非均勻B樣條曲線比均勻B樣條曲線具有更好的光順性。7.5非均勻有理B樣條曲線曲面非均勻B樣條曲線曲面非均勻B樣條均勻B樣條63根據(jù)曲線方程，計(jì)算曲線上的點(diǎn)需要對(duì)應(yīng)參數(shù)區(qū)間上的基函數(shù)的值和控制多邊形的頂點(diǎn)?；瘮?shù)的值根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化進(jìn)行計(jì)算。控制多邊形的頂點(diǎn)依據(jù)曲線是否通過給定數(shù)據(jù)點(diǎn)確定，假設(shè)生成的曲線不通過給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，那么給定數(shù)據(jù)點(diǎn)就是控制多邊形頂點(diǎn)。假設(shè)生成的曲線通過給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，那么首先必須根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)反求控制多邊形的頂點(diǎn)，然后再代入曲線。非均勻B樣條曲線的實(shí)現(xiàn)64給定數(shù)據(jù)點(diǎn)di(i=0,1,…,n-1)就是控制多邊形的頂點(diǎn)。對(duì)于開口曲線，n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)只畫n-3段曲線，需n-2個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。而計(jì)算[Ui,Ui+1]上的一點(diǎn)，要用到除它們之外的前3個(gè)和后3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，所以在首尾各添加3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，一共需要n+4個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)值。為使曲線過給定數(shù)據(jù)的首末點(diǎn)，令U0=U1=U2=0；Un+1=Un+2=Un+3=1；全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：U0=U1=U2=0；UK，UK＋1，…，Un；Un+1=Un+2=Un+3=1；不過點(diǎn)三次非均勻B樣條曲線65用Hartley－Judd方法，即所畫曲線段對(duì)應(yīng)的控制多邊形的長(zhǎng)度與總控制多邊形的長(zhǎng)度之比確定節(jié)點(diǎn)參數(shù)。不過點(diǎn)三次非均勻B樣條曲線66對(duì)于閉合曲線，n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)畫n段曲線，需n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)曲線；首尾各添加3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，共n＋7個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。由于不過點(diǎn)閉合曲線，不通過控制多邊形的首末點(diǎn)，全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：

U0＝0<U1<U2<UK<UK＋1<…<Un＋3<Un+4<Un+5<Un+6=1各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值采用Hartley－Judd方法。計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)后，就可以計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，然后用曲線方程計(jì)算各段曲線上的點(diǎn)67對(duì)于過點(diǎn)曲線，給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n-1)是曲線上的點(diǎn)。由曲線方程知，必須先計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)，再計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，代入曲線方程，才能反算出控制多邊形的頂點(diǎn)：

n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，反求出n+2個(gè)控制頂點(diǎn)，畫n-1段曲線，需n個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)；首尾各添加3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，一共需要n+6個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)值；在曲線首端重3段曲線首段的長(zhǎng)度，在曲線的末端重3段曲線末段的長(zhǎng)度。所有節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：

U0＝0<U1<U2<UK<UK＋1<…<Un＋2<Un+3<Un+4<Un+5=1i=1,2,……,n+5,L為包含附加段在內(nèi)的總長(zhǎng)。過點(diǎn)三次非均勻B樣條曲線68根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，代入曲線方程可以計(jì)算n個(gè)的曲線上的點(diǎn)，得如下方程：

寫成矩陣形式如下：對(duì)于開口曲線，d0=P0,dn+1=Pn-1，上述方程組是“追趕法〞能夠求解的三對(duì)角方程。求出d0,d1,……,dn,dn+1共n+2個(gè)控制頂點(diǎn)，即可以畫出n-1曲線?！查]合曲線省略〕69非均勻三次B樣條曲面非均勻三次B樣條曲面的生成過程與均勻B樣條曲面相同。根據(jù)“線動(dòng)成面〞的思路，首先沿一參數(shù)方向生成曲線，然后讓另一參數(shù)在［0，1］范圍內(nèi)變化，在已生成的曲線上取點(diǎn)構(gòu)成新的控制多邊形，生成曲面上的一條線，隨著v的變化，所生成的曲線構(gòu)成一張曲面。應(yīng)用非均勻B樣條生成曲面有一定的局限性，當(dāng)同一參數(shù)方向各型值點(diǎn)的分布規(guī)律接近時(shí)，所生成的非均勻B樣條曲面結(jié)果比較滿意。70wi，i=0，1，…，n稱為權(quán)因子；Ni,K(u)是B樣條的基函數(shù)有理B樣條曲線非均勻B樣條考慮節(jié)點(diǎn)分布不勻稱的影響，但與所有已介紹的計(jì)算曲線一樣，非均勻B樣條不能精確表達(dá)二次曲線曲面.采用有理B樣條，可以統(tǒng)一表達(dá)自由曲線曲面和二次曲線曲面。有理B樣條曲線的表達(dá)式為：當(dāng)Ni,K(u)是均勻基函數(shù)時(shí)，p(u)為均勻有理B樣條曲線；當(dāng)Ni,K(u)是非均勻基函數(shù)時(shí)，p(u)為非均勻有理B樣條

(Non-UniformRationalB-Spline

，簡(jiǎn)稱NURBS)曲線；通過合理的定義權(quán)系數(shù)，NURBS曲線能夠精確地描述二次圓錐曲線。目前已納入到產(chǎn)品形狀定義的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)之中。71二次有理B樣條曲線表達(dá)式72二次有理B樣條曲線表達(dá)式由式〔7-24〕可推導(dǎo)出：書上有誤書上有誤73非均勻有理B樣條曲線曲面有理B樣條曲線采用非均勻的基函數(shù)，那么稱為非均勻有理B樣條曲線〔non-uniformrationalb-spline，NURBS〕曲線。非均勻有理B樣條曲線的表達(dá)式為：其中，ωi〔i=0，1，…，n〕稱為權(quán)因子。NURBS曲線在有理B樣條曲線的根底上，考慮了節(jié)點(diǎn)分布不勻稱對(duì)基函數(shù)的影響，同時(shí)能夠精確地描述二次圓錐曲線。目前已納入到產(chǎn)品形狀定義的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)之中。很多軟件或程序具有生成NURBS曲線和曲面的功能。74曲線設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵在于基函數(shù)的選擇，選擇適宜的基函數(shù)能夠使系數(shù)矢量具有更明確的幾何意義，繪圖操作簡(jiǎn)單直觀。基函數(shù)和參數(shù)化方法的選擇對(duì)曲線的精度、光順性、局部修改性具有決定性的影響。整個(gè)曲線設(shè)計(jì)方法的改進(jìn)方向是在提高精度、保證光順性的同時(shí)追求靈活的操作、明確的幾何意義和良好的局部修改性。曲線設(shè)計(jì)結(jié)論：樣條函數(shù)Bézier

B樣條函數(shù)757.6用OpenGL生成曲線和曲面在OpenGL中，GLU函數(shù)庫提供了一個(gè)NURBS接口。用戶需要提供的數(shù)據(jù)包括控制點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)等數(shù)據(jù)，控制點(diǎn)描述曲線的大致形狀，節(jié)點(diǎn)控制B樣條函數(shù)的形狀。繪制一條NURBS曲線的步驟：〔1〕提供控制點(diǎn)序列和節(jié)點(diǎn)序列；〔2〕創(chuàng)立一個(gè)NURBS對(duì)象，設(shè)置NURBS對(duì)象屬性；〔3〕繪制曲線；創(chuàng)立一個(gè)NURBS對(duì)象，用如下兩條語句：GLUnurbsObj*theNurbs；theNurbs=gluNewNurbsRender()；創(chuàng)立對(duì)象后，用如下函數(shù)設(shè)置NURBS對(duì)象屬性：voidgluNurbsProperty(GLUnurbsObj*nobj，GLenumproperty，Glfloatvalue)；曲線的繪制是在gluBeginCurve()/gluEndCurve()函數(shù)對(duì)中完成。繪制曲線的函數(shù)為：voidgluNurbsCurve(GLUnurbsObj*nobj，GLintnknots，GLfloat*knot，GLintstride，GLfloat*ctlarray，GLintorder，GLenumtype)；具體參數(shù)含義在下面程序?qū)崿F(xiàn)中解釋。詳見OpenGL專著有關(guān)說明。76voidCView::DrawNurbsCurve(){ GLfloatcontrolPoints[7][3]={{-1.5f,-0.5f,0.0f},{-1.0f,1.0f,0.0f}, {-0.5f,-0.5f,0.0f},{0.0f,-2.0f,0.0f}, {0.5f,-0.5f,0.0f},{1.0f,1.0f,0.0f},{1.5f,-0.5f,0.0f} };//給定控制點(diǎn) GLfloatknots[14]={0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,1.0f,1.0f,1.0f,1.0f,1.0f,1.0f,1.0f};//節(jié)點(diǎn) glColor3f(0.0f,0.0f,1.0f); GLUnurbsObj*theNurb;//創(chuàng)立NURBS對(duì)象theNurb=gluNewNurbsRenderer(); gluNurbsProperty(theNurb,GLU_SAMPLING_