數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)（2013年新編）第十三章 軸對(duì)稱 章節(jié)達(dá)標(biāo)檢測(cè)

第十三章軸對(duì)稱一、單選題：1．下列銀行標(biāo)志中，既不是中心對(duì)稱圖形也不是軸對(duì)稱圖形的是（）A．B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形【解析】【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)不合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．故C選項(xiàng)不合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．2．如圖，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，則∠B度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)【解析】【解答】∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，∴∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C′＝60°；∴∠B＝180°?30°-60°＝90°.故答案為：C.【分析】由已知條件，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的內(nèi)角和等于180°可求答案.3．如圖，將△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)都乘以-1，并保持縱坐標(biāo)不交，則所得圖形與原圖形的關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．將原圖形沿x軸的負(fù)方向平移了1個(gè)單位D．將原圖形沿y軸的負(fù)方向平移了1個(gè)單位【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征【解析】【解答】將△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)乘以-1，縱坐標(biāo)不變，得橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，得所得圖形與原圖形的關(guān)系是關(guān)于y軸對(duì)稱，故答案為：B.【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，可得答案.4．已知點(diǎn)P(a，)與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）A．Q(a，) B．Q(，)C．Q(a，) D．Q(，)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征【解析】【解答】解：∵點(diǎn)P(a，b-2)與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a，-b+2)，故答案為：A．【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．5．有下列命題：①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；③有個(gè)外角等于120°的等腰三角形是等邊三角形；④等邊三角形的高線、中線、角平分線都相等；其中正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：①等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高重合，所以①錯(cuò)誤；

②等腰三角形兩腰上的高相等，所以②正確；

③有個(gè)外角等于120°的等腰三角形是等邊三角形，所以③正確；

④等邊三角形的高線、中線、角平分線都相等，所以④正確.

以上命題正確的是②，③，④.

故答案為：C.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷出①錯(cuò)誤；根據(jù)等積法判斷出②正確；根據(jù)等邊三角形的判定方法判斷出③正確；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出④正確.6．如圖，在正方形網(wǎng)格中，已將圖中的四個(gè)小正方形涂上陰影，若再?gòu)膱D中選一個(gè)涂上陰影，使得整個(gè)陰影部分組成的圖形是軸對(duì)稱圖形，那么不符合條件的小正方形是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案【解析】【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義可知：分別在下圖1，2，3處涂上陰影都可得到一個(gè)軸對(duì)稱圖形，故不符合條件的選A.【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐一判斷即可.7．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則∠AFC的度數(shù)（）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=（180°-120°）÷2=30°，∵EF垂直平分AB，∴BF=AF，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠AFC=∠BAF+∠B=60°.故答案為：C.【分析】由等腰三角形的兩底角相等和三角形內(nèi)角和等于180可求得∠B的度數(shù)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”可得BF=AF，由等邊對(duì)等角可得∠BAF=∠B，最后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和得∠AFC=∠BAF+∠B可求解.8．如圖，△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作DA⊥AC交BC于點(diǎn)D．若∠B=2∠BAD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．30° D．36°【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】設(shè)∠BAD的度數(shù)為x,∵DA⊥AC∴∠BAC=90°+x，∵AB=AC，∴∠B==45°-x∵∠B=2∠BAD，∴45°-x=2x解得x=18°，故答案為：A.【分析】設(shè)∠BAD的度數(shù)為x,根據(jù)題意和圖形用含x的式子表示∠B的度數(shù)，再根據(jù)∠B=2∠BAD列出方程即可求解.9．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為是邊上的中線，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題【解析】【解答】如圖，連接CF交AD于E，∵BF=4，AB=8，∴F是AB的中點(diǎn)，∴CF是AB上的中線，又∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱，∴BE=CE，∴EF+CE取最小值時(shí)，∵EF+CE=CF，∴CE=2EF，∴BE=2EF，∴∠EBF=30°，∴∠EBC=30°，故答案為：C．【分析】連接CF與AD交于點(diǎn)E，此時(shí)BE+EF最小，根據(jù)求得，再根據(jù)30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求得答案．10．如圖，在中，AB=AC，AD是BC邊的中線，以AC為邊作等邊△ACE，BE與AD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F在BE上，且PF=PA，連接AF下列四個(gè)結(jié)論：①AD⊥BC；②∠ABE=∠AEB；③∠APE=60°；④△AEF≌△ABP，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】∵AB=AC，AD是BC邊中線，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，故①正確，∵△ACE是等邊三角形，∴AC=AE，∠CAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，故②正確，∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∴∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即2(∠BAD+∠ABE)+60°=180°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故③正確，∵AP=PF，∠APE=60°，∴△APF是等邊三角形，∴∠APF=∠AFP=60°，∴∠APB=∠AFE=120°，在△AEF和△ABP中，，∴△AEF≌△ABP，故④正確，綜上所述：正確的結(jié)論有①②③④，共4個(gè)，故答案為：D.【分析】由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，可對(duì)①進(jìn)行判斷；由AB=AC，△ACE是等邊三角形可得AB=AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABE=∠AEB，可對(duì)②進(jìn)行判斷；由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即可求出∠BAD+∠ABE=60°，根據(jù)外角性質(zhì)可得∠APE=∠BAD+∠ABE=60°，可對(duì)③進(jìn)行判斷；由AP=PF，∠APE=60°可得△APF是等邊三角形，可得∠APB=∠AFE=120°，利用AAS即可證明△AEF≌△ABP，可對(duì)④進(jìn)行判斷；綜上即可得答案.二、填空題：11．給出下列4種圖形：①線段，②等腰三角形，③平行四邊形，④圓.其中，不一定是軸對(duì)稱圖形的是（填寫序號(hào)）.【答案】③【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形【解析】【解答】解：①線段，②等腰三角形，③平行四邊形，④圓.其中，不一定是軸對(duì)稱圖形的是③.故答案為：③.【分析】軸對(duì)稱圖形：一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；據(jù)此判斷即可.12．一個(gè)汽車牌照在水中的倒影為，則該汽車牌照號(hào)碼為.【答案】FM5379【知識(shí)點(diǎn)】鏡面對(duì)稱【解析】【解答】解：FM5379∴該汽車牌照號(hào)碼為FM5379.故答案是：FM5379.【分析】根據(jù)題意可得汽車的拍照和水中的倒影關(guān)于水面對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)作出相應(yīng)的圖形，即可作答.13．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，且CD=AD，AB=BD，則∠B的度數(shù)為．【答案】36°【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC，∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，故答案為：36°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C＝∠DAC，∠BDA＝∠BAD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BDA＝∠BAD＝2∠C，在△ABD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得5∠B＝180°，即可求得∠B的度數(shù).14．若點(diǎn)A（m+2，3）與點(diǎn)B（﹣4，n+5）關(guān)于y軸對(duì)稱，則m+n=【答案】0【知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征【解析】【解答】解：∵點(diǎn)A（m+2，3）與點(diǎn)B（﹣4，n+5）關(guān)于y軸對(duì)稱，∴m+2=4，3=n+5，解得：m=2，n=﹣2，∴m+n=0，故答案為：0．【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”列出方程求解即可．15．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長(zhǎng)為．【答案】9【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故答案為：9．【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得結(jié)論．16．如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點(diǎn)，交邊AC于E點(diǎn)，若△ABC與△EBC的周長(zhǎng)分別是40cm，24cm，則AB=cm．【答案】16【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∵ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC，EBC的周長(zhǎng)=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，

∴ABC的周長(zhǎng)-EBC的周長(zhǎng)=AB，

∴AB=40-24=16cm.

故答案為：16.

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì).首先根據(jù)DE是AB的垂直平分線，得出AE=BE；然后觀察ABC的周長(zhǎng)和EBC的周長(zhǎng)兩者的表達(dá)式，可得ABC的周長(zhǎng)-EBC的周長(zhǎng)=AB，進(jìn)而求解即可.17．如圖，等腰三角形ABC底邊BC的長(zhǎng)為4cm，面積是12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AG于點(diǎn)F，若D為BC邊上的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長(zhǎng)最短為cm.【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題【解析】【解答】解：連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，

解之：AD=6

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，

∴AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，

∴△BDM的周長(zhǎng)最短=(BM+MD)+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8，

故答案為：8【分析】連接AD。利用等腰三角形的性質(zhì)，利用△ABC的面積=12求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)對(duì)稱軸的應(yīng)用，距離最短，可知AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，然后就可求出△BDM的周長(zhǎng)的最小值。18．如圖，△ABC中，AB=11，AC=5，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線CD相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則BE的長(zhǎng)為．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】如圖，連接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分線，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11，AC=5，∴BE=（11-5）=3．故答案為：3．【分析】連接CD，BD，由∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)，易得CD=BD，DF=DE，繼而可得AF=AE，易證得Rt△CDF≌Rt△BDE，則可得BE=CF，繼而求得答案．三、作圖題：19．作圖：已知∠AOB，試在∠AOB內(nèi)確定一點(diǎn)P，使P到OA、OB的距離相等，并且到M、N兩點(diǎn)的距離也相等?！敬鸢浮拷猓喝鐖D所示，畫法如下：①作∠AOB的角平線OC；②連結(jié)MN，畫線段MN的垂直平分線，與OC交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為符合題意的點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)題意得出，點(diǎn)P是∠AOB的平分線與線段MN的中垂線的交點(diǎn)，進(jìn)而得出即可.四、解答題20．已知點(diǎn)A（a－1，5）和點(diǎn)B（2，b－1）關(guān)于x軸對(duì)稱，求的值.【答案】解：由點(diǎn)A(a?1,5)和點(diǎn)B(2,b?1)關(guān)于x軸對(duì)稱，得a?1=2，b?1=?5，解得a=3，b=?4，則【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，就可求出a，b的值，再將a，b的值代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算可求解。21．如圖，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，

①直接寫出△ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo)：A（，），B（，），C（，）；②畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；③直接寫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A2B2C2的頂點(diǎn)A2（，）B2（，）(其中A2與A對(duì)應(yīng)，B2與B對(duì)應(yīng)，不必畫圖．)【答案】解：①△ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo)：A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）；故答案為：﹣3、2；﹣4、﹣3；﹣1、﹣1；②如圖，△A1B1C1即為所求，③如圖，△A2B2C2即為所求，A2坐標(biāo)為（﹣3，﹣2）、B2坐標(biāo)為（﹣4，3）．故答案為：﹣3、﹣2；﹣4、3．【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；作圖﹣軸對(duì)稱【解析】【分析】①根據(jù)三角形在坐標(biāo)中的位置可得；②分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接可得；③分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接可得．22．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn).求證：DE=DF【答案】解：如圖，∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三線合一），∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）．【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠BAD=∠CAD，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明即可．23．如圖，在中，，，過B作于D，求的度數(shù)．【答案】解：，，．，，，．【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)AB=AC得出這是等腰三角形，然后兩個(gè)底角相等，計(jì)算底角度數(shù)，根據(jù)BD是垂線可以計(jì)算角ABD的度數(shù)，然后用底角度數(shù)減去他就是要求的角的度數(shù)24．如圖，在中，，為邊上的點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作,且、相交于點(diǎn).（1）求證：（2）求證：【答案】（1）證明：∵AB＝AE，D為線段BE的中點(diǎn)，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BA（2）證明：∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B=∠FAE在△ABC和△EAF中∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝E【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，易證AD⊥BC，再利用同角的余角相等可證得結(jié)論。

（2）利用平行線的性質(zhì)，可知∠FAE＝∠AEB，再利用等腰三角形的性質(zhì)，可證得∠B＝∠AEB，就可推出∠B=∠FAE，然后利用ASA證明△ABC≌△EAF，利用全等三角形的性質(zhì)，可證得結(jié)論。25．如圖（1）如圖①所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC邊的中線，DE⊥AB，垂足為E，求證：AB＝4AE．（2）如圖②所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且AE＝CD，AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，若BP＝2，求PQ的長(zhǎng)．【答案】（1）證明：如圖①中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，而∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，AB＝2AD，∴AB＝4AE（2）解：∵AB＝AC，AE＝CD，∠BAE＝∠C＝60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°．在Rt△BPQ中，∵∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∵PB＝2，∴PQ＝PB＝1【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，AD⊥BC。分析得∠B=∠C=30°。根據(jù)互余兩角的性質(zhì)得∠ADE＝30°。分析即可證明