北師大版 數(shù)學(xué) 九上 第二章《一元二次方程》單元能力提升卷（含解析）

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選擇題（共30分）

1.一元二次方程可以轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，

其中一個一元一次方程是，則另一個一元一次方程是（）

A．B．C．D．

2．用配方法解方程，配方后的方程是（）

A．B．C．D．

3．一元二次方程的根的情況是（）

A．有兩個相等的實數(shù)根B．沒有實數(shù)根

C．有兩個不相等的實數(shù)根D．只有一個實數(shù)根

4.已知，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值是（）

A．4045B．4044C．2022D．1

5，在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數(shù)項q，得到方程的兩個根是﹣3，1.小明看錯了一次項系數(shù)P，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是（）

A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0

C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0

6.某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩班之間都賽一場），共需安排15場比賽，則八年級班級的個數(shù)為（）

A．5B．6C．7D．8

7.如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m2，設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則可以列出關(guān)于x的方程是（）

A．x（26﹣2x）=80B．x（24﹣2x）=80

C．（x﹣1）（26﹣2x）=80D．（x-1）（25﹣2x）=80

8．關(guān)于的方程的一個解為，則該方程的另一個解是（）

A．B．C．D．

9.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的兩個實數(shù)根分別為，且，則k的值是（）

A．－2B．2C．－1D．1

10.已知方程的兩根分別為，，則的值為（）

A．1B．-1C．2023D．-2023

【答案】B

填空題（共24分）

11.如圖，在一塊長12m，寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路各與矩形的一條平行)，剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積77m，設(shè)道路的寬為xm，則根據(jù)題意，可列方程為_______.

12.某次聚會，每兩個人握手一次，總共握手次，那么有___________人參加聚會．

13.某公司5月份的營業(yè)額為萬，7月份的營業(yè)額為萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為______．

14.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，點P在邊AC上，以2cm/s的速度從點A向點C移動，點Q在邊CB上，以1cm/s的速度從點C向點B移動．點P、Q同時出發(fā)，且當(dāng)一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，當(dāng)△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是_____秒．

15.已知是一元二次方程的兩個根，則．

16.關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數(shù)根x1，x2，且，則m=．

三．解答題（共66分）

17.（6分）.按要求解方程：

(1)直接開平方法：4（t-3）2=9（2t-3）2；

(2)配方法：2x2-7x-4=0；

(3)公式法：3x2+5（2x+1）=0；

(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；

(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0（ab≠0）；

(6)用配方法求最值：6x2-x-12．

18.（8分）如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪.要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？

19.（8分）列方程（組）解應(yīng)用題

端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：

小王：該水果的進價是每千克22元；

小李：當(dāng)銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．

根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？

20.（10分）．已知關(guān)于x的一元二次方程

(1)若1是該方程的一個根，求m的值．

(2)若一元二次方程有實數(shù)根，求m的取值范圍．

21.（10分）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝.現(xiàn)已知一元二次方程px2+2x+q＝0的兩根分別為m，n.

（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；

（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值.

22.（12分）．水果批發(fā)市場有一種高檔水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷量將減少20kg．

(1)若以每千克能盈利17元的單價出售，求每天的總毛利潤為多少元；

(2)現(xiàn)市場要保證每天總毛利潤為7500元，同時又要使顧客得到實惠，求每千克應(yīng)漲價多少元；

(3)現(xiàn)需按毛利潤的10%繳納各種稅費，人工費每日按銷售量每千克支出1.5元，水電房租費每日300元．若每天剩下的總純利潤要達到6000元，求每千克應(yīng)漲價多少元．

23.（12分）閱讀理解：

材料一：若一元二次方程（）的兩根為，，則，.

材料二：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值.

解：由題知，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料一得，，

∴.

解決問題：（1）已知實數(shù)，滿足，，且，求的值；

（2）已知實數(shù)，滿足，，且，求的值.

北師大版數(shù)學(xué)九上第二章《一元二次方程》單元能力提升卷

選擇題（共30分）

1.一元二次方程可以轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，

其中一個一元一次方程是，則另一個一元一次方程是（）

A．B．C．D．

【答案】C

解：∵，

∴或，

故選C

2．用配方法解方程，配方后的方程是（）

A．B．C．D．

【答案】A

解：

故選：A．

3．一元二次方程的根的情況是（）

A．有兩個相等的實數(shù)根B．沒有實數(shù)根

C．有兩個不相等的實數(shù)根D．只有一個實數(shù)根

【答案】B

4.已知，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值是（）

A．4045B．4044C．2022D．1

【答案】A

【知識點】完全平方公式及運用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，

∴，，

故答案為：A

5，在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數(shù)項q，得到方程的兩個根是﹣3，1.小明看錯了一次項系數(shù)P，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是（）

A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0

C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0

【答案】B

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：小紅看錯了常數(shù)項q，得到方程的兩個根是﹣3，1，

所以此時方程為：即：

小明看錯了一次項系數(shù)P，得到方程的兩個根是5，﹣4，

所以此時方程為：即：

從而正確的方程是：

故答案為：B

6.某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩班之間都賽一場），共需安排15場比賽，則八年級班級的個數(shù)為（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】B

【知識點】一元二次方程的應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)有x個班級參加比賽，

，

，

解得：（舍），

則共有6個班級參加比賽，

故答案為：B.

7.如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m2，設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則可以列出關(guān)于x的方程是（）

A．x（26﹣2x）=80B．x（24﹣2x）=80

C．（x﹣1）（26﹣2x）=80D．（x-1）（25﹣2x）=80

答案A

【分析】設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（26-2x）m，然后根據(jù)花圃面積為80m2列關(guān)于x的一元一次方程即可．

【詳解】解：設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（26-2x）m

由題意得：x（26-2x）=80．

故答案為A．

8．關(guān)于的方程的一個解為，則該方程的另一個解是（）

A．B．C．D．

【答案】A

解：根據(jù)題意知：，

∴關(guān)于的方程是一元二次方程，

∴，

∵關(guān)于的方程的一個解為，

∴，

故選：A．

9.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的兩個實數(shù)根分別為，且，則k的值是（）

A．－2B．2C．－1D．1

【答案】D

【知識點】完全平方公式及運用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，

，，

，

，

，

整理得出：，

解得：，

故答案為：D.

10.已知方程的兩根分別為，，則的值為（）

A．1B．-1C．2023D．-2023

【答案】B

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】∵方程的兩根分別為，，

∴，，

∴，

∴=====-1.

故答案為：B.

填空題（共24分）

11.如圖，在一塊長12m，寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路各與矩形的一條平行)，剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積77m，設(shè)道路的寬為xm，則根據(jù)題意，可列方程為_______.

答案（12-x）（8-x）=77

【詳解】道路的寬為x米．依題意得：

(12-x)(8-x)=77，

故答案為(12-x)(8-x)=77.

12.某次聚會，每兩個人握手一次，總共握手次，那么有___________人參加聚會．

【答案】

解：設(shè)有x個人參加聚會，由題意可得，

，

解得：，（不符合題意舍去），

故答案為：．

13.某公司5月份的營業(yè)額為萬，7月份的營業(yè)額為萬，

已知5、6月的增長率相同，則增長率為______．

【答案】

解：設(shè)平均每月的增長率為，

由題意得，

解得，（不合題意，舍去）

所以平均每月的增長率為．

故答案為：．

14.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，點P在邊AC上，以2cm/s的速度從點A向點C移動，點Q在邊CB上，以1cm/s的速度從點C向點B移動．點P、Q同時出發(fā)，且當(dāng)一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，當(dāng)△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是_____秒．

答案1．

【詳解】解：設(shè)P、Q運動的時間是秒，則cm，cm，cm

∵△PQC的面積為3cm2，

∴，即，

解得或（不合題意，舍去），

∴當(dāng)△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是1秒．

故答案為：1

15.已知是一元二次方程的兩個根，則．

【答案】

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的兩個根，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，，

∴，

故答案為：．

16.關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數(shù)根x1，x2，且，則m=．

【答案】

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2=-2m，x1x2=，

∵x12+x22=，

∴（x1+x2）2-2x1x2=，

∴4m2-m=，

∴m1=-，m2=，

∵Δ=16m2-8m＞0，

∴m＞或m＜0，

∴m=不合題意，

故答案為：．

三．解答題（共66分）

17.（6分）.按要求解方程：

(1)直接開平方法：4（t-3）2=9（2t-3）2；

(2)配方法：2x2-7x-4=0；

(3)公式法：3x2+5（2x+1）=0；

(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；

(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0（ab≠0）；

(6)用配方法求最值：6x2-x-12．

答案(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)時，有最小值

18.（8分）如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪.要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？

【答案】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意得

(50-2x)×(38-2x)=1260

解得：x1=4，x2=40(不符合題意，舍去)

答：道路的寬應(yīng)為4米.

19.（8分）列方程（組）解應(yīng)用題

端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：

小王：該水果的進價是每千克22元；

小李：當(dāng)銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．

根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？

【答案】解：設(shè)這種水果每千克降價元，

則每千克的利潤為：元，銷售量為：千克，

整理得，

或，

要盡可能讓顧客得到實惠，

即售價為（元）

答：這種水果的銷售價為每千克29元．

20.（10分）．已知關(guān)于x的一元二次方程

(1)若1是該方程的一個根，求m的值．

(2)若一元二次方程有實數(shù)根，求m的取值范圍．

解：（1將代入得，，

解得，

∴m的值為3；

（2）由題意知，，，

解得，

∴m的取值范圍為且．

21.（10分）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝.現(xiàn)已知一元二次方程px2+2x+q＝0的兩根分別為m，n.

（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；

（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值.

【答案】（1）解：根據(jù)題意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，

所以p＝1，q＝﹣8

（2）解：根據(jù)m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，

所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1.

22.（12分）．水果批發(fā)市場有一種高檔水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷量將減少20kg．

(1)若以每千克能盈利17元的單價出售，求每天的總毛利潤為多少元；

(2)現(xiàn)市場要保證每天總毛利潤為7500元，同時又要使顧客得到實惠，求每千克應(yīng)漲價多少元；

(3)現(xiàn)需按毛利潤的10%繳納各