線性方程組的數(shù)值解法

線性方程組的數(shù)值解法第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月各種類型的矩陣對(duì)角矩陣三對(duì)角矩陣上三角矩陣Hessenberg陣對(duì)稱矩陣埃爾米特矩陣對(duì)稱正定矩陣正交矩陣酉矩陣初等置換陣置換陣第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月三、線性方程組的兩類解法直接法迭代法四、本講內(nèi)容安排解線性方程組的直接方法高斯消去法矩陣三角分解法高斯主元素消去法√√第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

Matlab與線性方程組求解解線性方程組的迭代法雅可比迭代法高斯-賽德爾迭代法逐次超松弛迭代法√√第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有線性方程組：AX=b高斯消去法如何求解一般線性方程組？一、高斯消去法§2解線性方程組的直接方法第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）消元過程其中第一步：若用乘第一行加到第i行中，得到高斯消去法的步驟：即消去第2至第n個(gè)方程中的未知數(shù)x1第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步：若用…….……第k步：若用乘第k行加到第i行中，得到第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月其中第n-1步：……（2）回代過程第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月若則第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：若線性方程組的系數(shù)矩陣非奇異，則它總可以通過帶行交換的高斯消去法進(jìn)行求解。定理5(1)可以通過高斯消去法求解。(2)系數(shù)矩陣非奇異，總可以通過帶行交換的高斯消去法進(jìn)行求解。第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月算法歸納：

第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月乘除法運(yùn)算工作量消元過程乘除法次數(shù)：回代過程乘除法次數(shù)：總的乘除法運(yùn)算次數(shù)：非零判斷次數(shù)最多為：行交換的元素個(gè)數(shù)為：第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有線性方程組：AX=b矩陣三角分解法包括不選主元和選主元兩種方法。1、不選主元三角分解算法

當(dāng)A非奇異時(shí)，可以將A作LU分解：二、矩陣三角分解法第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月其中：(矩陣LU分解)第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月于是，可以通過求解兩個(gè)三角形方程組得到原方程組的解。求解線性方程組的計(jì)算公式第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例：利用LU分解法求解方程組第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮線性方程組也就是Ax=b.(2.1)進(jìn)行矩陣分裂A=M-N,(2.2)其中M為可選擇的非奇異矩陣,且使Mx=d容易求解.于是,Ax=b?x=M-1Nx+M-1b.可得一階定常迭代法。§3解線性方程組的迭代法第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月一階定常迭代法：第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月一、雅可比迭代法可以得到雅可比迭代法的計(jì)算公式：對(duì)k=0,1,…,第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月二、高斯—塞德爾迭代法還可根據(jù)迭代計(jì)算公式：對(duì)k=0,1,…,稱為高斯—塞德爾迭代法.第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯—塞德爾迭代法算法描述：第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例：求解如下線性方程組：取初值x(0)=(0,0,0)T,解：第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯—塞德爾迭代法又等價(jià)于：對(duì)k=0,1,…,第25頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§4Matlab與線性方程組求解線性方程組AX=B的Matlab求解函數(shù)⑴X=A\B左除法⑵X=inv(A)*B高斯法⑶[L,U]=lu(X)LU法⑷[L,U]=luinc(X,‘0’)不完全LU分解法⑸[x,flag,relres,iter]=cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)共軛梯度法⑹[x,flag,relres,iter]=pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)預(yù)共軛梯度法⑺[x,flag,relres,iter]=bicg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)雙共軛梯度法⑻[x,flag,relres,iter]=bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)雙共穩(wěn)軛梯度法第26頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月⑼[x,flag,relres,iter]=lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)最小二乘法⑽[x,flag,relres,iter]=gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2,x0)廣義殘余法⑾[x,flag,relres,iter]=minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)最小殘余法⑿[x,flag,relres,iter]=sym