系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)卷積積分

系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)卷積積分第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月上次內(nèi)容回顧：等效粘性阻尼、系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)講述的內(nèi)容第三章強(qiáng)迫振動(dòng)3.8系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)·卷積積分第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月3．8系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)·卷積積分

3．7節(jié)討論了周期激勵(lì)作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。在不考慮初始階段的瞬態(tài)振動(dòng)時(shí)，它是穩(wěn)態(tài)的周期振動(dòng)。但在許多實(shí)際問題中，激勵(lì)并非是周期函數(shù)，而是任意的時(shí)間函數(shù)，或者是在極短時(shí)間間隔內(nèi)的沖擊作用。例如，列車在啟動(dòng)時(shí)各車廂掛鉤之間的沖擊力；火炮在發(fā)射時(shí)作用于支承結(jié)構(gòu)的反作用力；地震波以及強(qiáng)烈爆炸形成的沖擊波對(duì)房屋建筑的作用；精密儀表在運(yùn)輸過程中包裝箱速度(大小與方向)的突變等。第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月在這種激勵(lì)情況下，系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，而只有瞬態(tài)振動(dòng)。在激勵(lì)停止作用后，振動(dòng)系統(tǒng)將按固有頻率進(jìn)行自由振動(dòng)。但只要激勵(lì)持續(xù)，即使存在阻尼，由激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)也將會(huì)無限地持續(xù)下去。系統(tǒng)在任意激勵(lì)作用下的振動(dòng)狀態(tài)，包括激勵(lì)作用停止后的自由振動(dòng)，稱為任意激勵(lì)的響應(yīng)，周期激勵(lì)是任意激勵(lì)的一種特例。第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

有多種方法可以確定系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)，這取決于描述激勵(lì)函數(shù)的方式。一種方法是用傅里葉積分來表示激勵(lì)，它是由傅里葉級(jí)數(shù)通過令周期趨近于無窮大的極限過程來得到的。所以，實(shí)質(zhì)上激勵(lì)不再是周期的。另一種方法是將激勵(lì)視為持續(xù)時(shí)間非常短的脈沖的疊加，引用卷積積分的方法，對(duì)具有任何非齊次項(xiàng)的微分方程，都用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式把解表示出來，而且所得到的解除代表強(qiáng)迫振動(dòng)外，還包括伴隨發(fā)生的自由振動(dòng)。第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月1．脈沖響應(yīng)一單位脈沖輸入，具有零初始條件的系統(tǒng)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。寬度T0、高度l／T0的矩形脈沖，如圖所示。這個(gè)矩形脈沖的面積為1，為了得到單位脈沖，使脈沖寬度T0接近于零，而保持面積為1，在極限情況下，單位脈沖的數(shù)學(xué)定義為第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月這個(gè)脈沖發(fā)生在t=O處，如圖所示。如果單位脈沖發(fā)生在t=a處，則它可由下式定義注意，δ(t-a)是一個(gè)沿著時(shí)間軸正向移動(dòng)了a時(shí)間的單位脈沖。第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

具有上述特性的任何函數(shù)(并不一定是矩形脈沖)，都可用來作為一個(gè)脈沖，稱為δ函數(shù)。數(shù)學(xué)上，單位脈沖必須具有零脈沖寬度、單位面積和無限的高度。這樣的脈沖模型不可能在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)，然而在具體系統(tǒng)的脈沖試驗(yàn)中，若激勵(lì)的持續(xù)時(shí)間同系統(tǒng)的固有周期(T=1／f)相比非常的短，則激勵(lì)就可以考慮為一個(gè)脈沖。δ函數(shù)的單位為s-1，在其他方面的情況，δ函數(shù)將有不同的量綱。第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果在t=0與t=a處分別作用有瞬時(shí)沖量，則對(duì)應(yīng)的脈沖力可方便地寫成式中的單位為N·s。

現(xiàn)在來研究單自由度阻尼系統(tǒng)對(duì)脈沖力的響應(yīng)，系統(tǒng)振動(dòng)微分方程為假定系統(tǒng)在脈沖力作用之前處于靜止，即第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月由于作用在t=0處，對(duì)于t≥0+，系統(tǒng)不再受脈沖力的作用，但其影響依然存在。另外，系統(tǒng)對(duì)于零初始條件的響應(yīng)，將變成t=O+時(shí)的初始條件引起的自由振動(dòng)。為了找出t=0+時(shí)的初始條件，對(duì)方程在區(qū)間0-≤t≤O+上積分兩次，有因?yàn)榈?0頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月則方程的右端積分兩次為無限小量，可以略去不計(jì)。又因?yàn)槲灰苮為有限值，所以方程左端第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的積分值是無限小量或高一階的無限小量，同樣近似取為零?？紤]到x(O-)=0，則有也就是說，在脈沖力作用的極短時(shí)間內(nèi)，質(zhì)量m還來不及發(fā)生位移。第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月在區(qū)間0-≤t≤O+上積分一次，有現(xiàn)在，只對(duì)方程

同理，上面方程的右端為，左端的第二項(xiàng)為零，而第三項(xiàng)可以忽略不計(jì)，得

可見，若系統(tǒng)在脈沖力作用之前靜止，脈沖力使速度產(chǎn)生瞬時(shí)變化，則可以認(rèn)為在t=0時(shí)作用的脈沖力等效于初始位移x(0)=0和初始速度的初始干擾作用，第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月所以方程等價(jià)于初始條件引起的自由振動(dòng)，即其解為令，則系統(tǒng)受單位脈沖力F(t)=δ(t)作用，其響應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)，即第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月2．卷積積分利用脈沖響應(yīng)，可以計(jì)算振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)函數(shù)F(t)的響應(yīng)，把F(t)視為一系列幅值不等的脈沖，用脈沖序列近似地代替激勵(lì)F(t)，如圖所示，脈沖的強(qiáng)度由脈沖的面積確定，在任意時(shí)刻t=τ處，相應(yīng)的時(shí)間增量為△τ，有一個(gè)大小為F(τ)△τ的脈沖，相應(yīng)的力的數(shù)學(xué)表達(dá)為F(τ)△τδ(t-τ)。因?yàn)樵趖=τ處對(duì)脈沖的響應(yīng)為h(t-τ)，所以脈沖F(τ)△τδ(t-τ)的響應(yīng)為其單位脈沖響應(yīng)和脈沖強(qiáng)度的乘積，即F(τ)△τh(t-τ)。通過疊加，求出序列中每一脈沖引起的響應(yīng)的總和為第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月令△τ→0，并取極限，上式表示為積分形式上式稱為卷積積分，又稱為杜哈梅(Duhamel)積分，它將響應(yīng)表示成脈沖響應(yīng)的疊加。這里h(t-τ)是將方程中h（t）的t用t-τ代替后得到的。因而，將方程中h（t）的t換成t-τ后代入上面方程，得到第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月上式表示單自由度有阻尼的質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)F(t)的響應(yīng)。要注意的是，上面方程是在零初始條件下，對(duì)于輸入F(t)得到的系統(tǒng)輸出x(t)。若在t=0時(shí)，任意激勵(lì)F(t)作用的瞬時(shí)，系統(tǒng)的初始位移和初始速度為則系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)和初始條件引起的響應(yīng)的疊加，即第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月積分式中的脈沖響應(yīng)被推遲或移動(dòng)了時(shí)間t-τ，也可以移動(dòng)激勵(lì)函數(shù)F(t)來代替脈沖響應(yīng)的移動(dòng)而導(dǎo)出一個(gè)相似的式子。令t-τ=u則-dr=du，此外考慮式中的積分限界，當(dāng)τ=0時(shí)，u=t，當(dāng)τ=t時(shí)，u=0，將其代入式中，得到式上式為卷積積分的另一種表達(dá)形式。式中的τ和式中的u只是積分變量，可見卷積積分對(duì)于激勵(lì)F(t)和脈沖響應(yīng)h(t)是對(duì)稱的，即第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

卷積積分在線性系統(tǒng)研究中是一個(gè)有力的工具。雖然式不便于筆算，但是用計(jì)算機(jī)可以容易地進(jìn)行計(jì)算。第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例3．8-1設(shè)一單自由度無阻尼系統(tǒng)受到的簡(jiǎn)諧激勵(lì)如下：試用卷積積分計(jì)算其響應(yīng)。解：在方程中，令ζ=0，ωd=ωn，則第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月為當(dāng)t<O時(shí)沒有激勵(lì)，所以其響應(yīng)應(yīng)該寫成下面的形式上式右端第一項(xiàng)代表強(qiáng)迫振動(dòng)，它是按激勵(lì)頻率ω進(jìn)行的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，即使振動(dòng)系統(tǒng)有阻尼也并不衰減；第二項(xiàng)是按固有頻率ωn進(jìn)行的自由振動(dòng)，只要振動(dòng)有極微小的阻尼就會(huì)迅速衰減，所以是瞬態(tài)振動(dòng)。應(yīng)用卷積積分，則穩(wěn)態(tài)振動(dòng)與瞬態(tài)振動(dòng)可同時(shí)得出。第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8—2試確定單自由度無阻尼系統(tǒng)在零初始條件下對(duì)圖中激勵(lì)函數(shù)的響應(yīng)。

解：由圖可得激勵(lì)函數(shù)為

由方程

得到第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8—3如圖所示為一質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)，箱子由高h(yuǎn)處靜止自由下落，當(dāng)箱子觸到地面時(shí)，試求傳遞到質(zhì)量m上的最大力是多少?假定質(zhì)量m和箱子之間有足夠的間隙，不會(huì)碰撞。

解：設(shè)x與y分別代表質(zhì)量m與箱子的絕對(duì)位移，在自由下落過程中，質(zhì)量m的運(yùn)動(dòng)微分方程為以z=x-y代表質(zhì)量m相對(duì)于箱子的相對(duì)位移，有第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月式中

假定箱子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于質(zhì)量m，因而可以認(rèn)為質(zhì)量m的運(yùn)動(dòng)不影響箱子的自由下落。由于箱子是由高h(yuǎn)處自由下落，故有由卷積積分有第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因而這就是在箱子著地前質(zhì)量m相對(duì)于箱子的位移與速度。設(shè)箱子著地的瞬時(shí)為t1，由自由落體知就在瞬時(shí)t1之前，質(zhì)量m的相對(duì)位移和相對(duì)速度為第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月同時(shí)箱子的速度為由于箱子著地后即靜止在地面上，不回跳。在箱子著地的瞬間，質(zhì)量m相對(duì)箱子的位移與速度分別為第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月改取瞬時(shí)t1為初始瞬時(shí)，則箱子著地后質(zhì)量m相對(duì)箱子作自由振動(dòng)，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為式中第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月通過彈簧傳遞到質(zhì)量m上的最大力等于kA，即3．單位階躍響應(yīng)作為卷積積分的一種應(yīng)用，現(xiàn)在來計(jì)算單自由度阻尼系統(tǒng)對(duì)單位階躍函數(shù)的響應(yīng)。如圖所示的單位階躍函數(shù)在數(shù)學(xué)上可以定義為第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，函數(shù)在t=a處有一突變，其值從O跳到1。如果突變發(fā)生于t=0處，那么這一函數(shù)可以簡(jiǎn)單地寫成u(t)。單位階躍函數(shù)是無量綱的函數(shù)。于是當(dāng)一個(gè)任意函數(shù)F(t)與單位階躍函數(shù)u(t-a)相乘時(shí)，F(xiàn)(t)u(t-a)相對(duì)于t<a的部分等于零，而其余t>a的部分則不受影響，即

單位階躍函數(shù)u(t-a)與脈沖函數(shù)δ(t-a)之間存在著密切的關(guān)系，即第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月反過來，則δ(t-a)可以視為u(t-a)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)對(duì)在t=0處所作用的單位階躍函數(shù)u(t)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，用g(t)表示。將F(τ)=u(τ)代入卷積積分，可得單位階躍響應(yīng)考慮到第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因而積分可以改寫成令t-τ=a，dτ=-da，并互換積分的限界后，積分成為作一些代數(shù)運(yùn)算后，并注意到方程簡(jiǎn)化為第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月式中單位階躍函數(shù)u(t)表明t<0時(shí)g(t)=0。g(t)對(duì)t的曲線如圖所示。上式也可以變換為式中第34頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月這說明突加單位力不僅使彈簧產(chǎn)生靜變形1/k，同時(shí)使系統(tǒng)發(fā)生振幅為的衰減運(yùn)動(dòng)。若忽略阻尼不計(jì)，即ζ=0，ωd=ωn，則單位階躍響應(yīng)為第35頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月可見彈簧最大變形為2/k，等于靜變形的兩倍。例3.8—4試用單位階躍函數(shù)的概念計(jì)算單自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)圖所示的矩形脈沖的響應(yīng)x(t)。