高等數(shù)學(xué)工專講義

接下來我們就開始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)了，也許在學(xué)習(xí)的過程中我們會(huì)感到枯燥無味，但是我相信只要我們努力，我們一定能達(dá)到成功的彼岸。常量與變量變量的定義我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間aWxWbab[a,b]-4 …開區(qū)間a<x<b（a，b）—i i a b X半開區(qū)間a<xWb或aWx<b（a，b或ab）— 1——a 1j v[a,b）—1 A——?a b X以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：,+b)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：aWxV+8；b):表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：°°<x<b；°°,+8)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：oo<x<+b注：其中°和+°,分別讀作負(fù)無窮大和正無窮大它們不是數(shù)僅僅是記號(hào)。鄰域設(shè)a與6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且6>滿足不等式丨xa|<6的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)a的6鄰域，點(diǎn)a稱為此鄰域的中心，6稱為此鄰域的半徑。函數(shù)函數(shù)的定義如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，叫做因變量注：為了表明是x的函數(shù)，我們用記號(hào) 、x) 等等來表示這里的字母、表示與x之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系它們是可以任意采用不同的字母來表示的注：如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。

函數(shù)的表示：）解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x+）：表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。：）圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)函數(shù)的有界性如果對(duì)屬于某一區(qū)間的所有X值總有|f（x）|WM成立，其中M是一個(gè)與X無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱例：直角坐標(biāo)系中，半徑為、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)函數(shù)的有界性如果對(duì)屬于某一區(qū)間的所有X值總有|f（x）|WM成立，其中M是一個(gè)與X無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f（x）在區(qū)間有界，否則便稱無界。注意：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù) 在（°°,+TO）內(nèi)是有界的函數(shù)的單調(diào)性x，如果函數(shù)了X）在區(qū)間（，內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于（，內(nèi)任意兩點(diǎn)x及當(dāng)xVx時(shí)，有了（可）＜了（也），則稱函數(shù)在區(qū)間（，內(nèi)是單調(diào)增加的。x，如果函數(shù)了（力在區(qū)間（，內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于（，內(nèi)任意兩點(diǎn)x及當(dāng)xVx時(shí)，有了（可）〉了（也），則稱函數(shù)/◎）在區(qū)間（，內(nèi)是單調(diào)減小的。例題：函數(shù)畑x在區(qū)間（°，0）上是單調(diào)減小的,在區(qū)間（0,+^）上是單調(diào)增加的。函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)/（初對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足70）如果函數(shù)/（初對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足70），則/㈤叫做偶函數(shù);如果函數(shù)了〔初對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足”心了㈤，則了㈤叫做奇函數(shù)。注意：偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)了㈤,若存在一個(gè)不為零的數(shù)，使得關(guān)系式f（x+0=f（x）對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則了（初叫做周期函數(shù)，是7X）的周期。

注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)smx?cosx是以€為周期的周期函數(shù)；函數(shù) 是以€為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)反函數(shù)的定義設(shè)有函數(shù)7=了加），若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y。時(shí)，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值X。與之對(duì)應(yīng)，即了（坯）=九，那末變量x是變量y的函數(shù).這個(gè)函數(shù)用忑=肛刃來表示，稱為函數(shù)孑=他）的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)$=孑（心也是函數(shù)"二的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理若在， 上嚴(yán)格增減），其值域?yàn)?，則它的反函數(shù)必然在上確定,且嚴(yán)格增（減）.注：嚴(yán)格增（減）即是單調(diào)增（減）例題：y=x,其定義域?yàn)?,+s）,值域?yàn)椋?,+8）.對(duì)于y取定的非負(fù)值，可求得.若我們不加條件，由.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間°°,+8）上,函數(shù)不是嚴(yán)格增減），故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x20,則對(duì)y20、就是y=x在要求x20時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增減）.反函數(shù)的性質(zhì)在同一坐標(biāo)平面內(nèi)， 與"=回?的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。例題：函數(shù) 與函數(shù) 互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。如右圖所示：復(fù)合函數(shù)的定義若y是的函數(shù)：八弘），而又是x的函數(shù)「=曲），且曲）的函數(shù)值的全部或部分在了似）的定義域內(nèi)，那末，y通過的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)廠了㈤及“曲）復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù)，記作八了⑷㈤］其中叫做中間變量。注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)『二肚匚曲1與函數(shù)肚=2+”是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。

因?yàn)閷?duì)于=2+x的定義域—，+8）中的任何值所對(duì)應(yīng)的值（都大于或等于），使廠叱喚都沒有定義。初等函數(shù)基本初等函數(shù)我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y=護(hù)"蓋1)T）不論為何值，總為正數(shù)）當(dāng) 時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)一了二lc笆込X）其圖形總位于軸右側(cè)，并過，點(diǎn)）當(dāng)>時(shí)，在區(qū)間0，的值為負(fù)；在區(qū)間，+8）的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增幕函數(shù)y=X為任意實(shí)數(shù)【V。1這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。令）當(dāng)為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)）當(dāng)，都是奇數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)）當(dāng)奇偶時(shí)，在8，0）無意義角函數(shù)=SmX正弦函數(shù)）這里只寫出了正弦函數(shù)遼一十_-砥、j° y丿宜*-1）正弦函數(shù)是以n為周期的周期函數(shù)）正弦函數(shù)是奇函sinx<1數(shù)且

反角

函反角

函數(shù)）由于此函數(shù)為多值函數(shù)，因此我們此函數(shù)值限制在nn上，并稱其為反正弦函數(shù)的主值初等函數(shù)由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù)例題： 等函數(shù)。我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)一下工程技術(shù)中常用的函數(shù)一一雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：（用表格來描述）函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦『一尹朋左= 2尸畀諄Zp）:其定義域?yàn)镺—+8）；）疋可函數(shù)；）在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦，/+產(chǎn)Cf-iX= 2 ）:其定義域?yàn)镺—+8）；）是偶函數(shù)；）其圖像過點(diǎn) ,1雙曲正切S十旦1-1）:其定義域?yàn)镺—+8）；）疋可函數(shù)；

）其圖形夾在水平直線 及 之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們?cè)賮砜匆幌码p曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)嵌Q=0,c^0=1,尿。=0sin0=O?cos0=lrtan0=0與 是奇函數(shù)， 是偶函數(shù)與 是奇函數(shù)， 是偶函數(shù)ck2x-sk2x=1sin3x+cos2貫=1它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：竝（x土》）=shxchy土c如琵》u杯（X土y）=chxchy^sh^hy恥±血二空塑1±竝齊細(xì)反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)：）反雙曲正弦函數(shù)：）反雙曲余弦函數(shù)：）反雙曲正切函數(shù)archx=ln(x+J?其定義域?yàn)?：）反雙曲正弦函數(shù)：）反雙曲余弦函數(shù)：）反雙曲正切函數(shù)archx=ln(x+J?其定義域?yàn)?—1）其定義域?yàn)?其定義域?yàn)椋?0,+^)；[1,+s);1,+1;)數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。數(shù)列若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)］，第二個(gè)數(shù)，…，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)，那末，我們稱這列有次序的數(shù)，，…，，…為n12n數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)注：我們也可以把數(shù)列看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)，即：a€f（n），它的定nn義域是全體正整數(shù)極限極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；2再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；依次循下去一般把內(nèi)接正6X2n邊形的面積記為可得一系列內(nèi)接正多邊n形的面積：，，，…，n…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。；2；我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，n也無限接近某一確定的數(shù)值圓的面積，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列，，，…，n…當(dāng)n-s讀；2；作n趨近于無窮大的極限注：上面這個(gè)例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元三世紀(jì)，的割圓術(shù)。數(shù)列的極限一般地，對(duì)于數(shù)列可‘花’0來說，若存在任意給定的正數(shù)€不論其多么小，總存在正整數(shù)，使得對(duì)于n>時(shí)的一切?不等式lx—a<€都成立，那末就稱常數(shù)是數(shù)列耳的極限，或者稱數(shù)列?收斂于記作： 或…紐F注：比定義中的正數(shù)€只有任意給定，不等式ix—a<€才能表達(dá)出?與無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)，與任意給定的正數(shù)€是有關(guān)的，它是隨著€的給定而選定的。注：在比我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列?極限為的一個(gè)幾何解釋將常數(shù)及數(shù)列九勺,…,心,…在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)的€鄰域即開區(qū)間￡- ￡ ,如下圖所示：2e0 e-*————《_■■■ ■*-*-■：■——? ?.罰 X忖+■] xN+3xN+2x2x3x因不等式卜—a<€與不等式&— 等價(jià)，故當(dāng)n>時(shí)，所有的點(diǎn)耳都落在開區(qū)間€， €內(nèi)，而只有有限個(gè)至多只有個(gè)在此區(qū)間以外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。

數(shù)列的有界性對(duì)于數(shù)列?,若存在著正數(shù)M,使得一切?都滿足不等式丨心|WM,則稱數(shù)列?是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列?是無界的定理：若數(shù)列?收斂，那末數(shù)列?—定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂,即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但不是充分條件。例：數(shù)列1，-1，1，-1，…，（-1n）+，1…是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1-8內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：：自變量無限增大；：自變量無限接近某一定點(diǎn)x，如果在這時(shí)，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!函數(shù)的極限（分兩種情況：自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)若對(duì)于任意給定的正數(shù)￡不論其多么小，總存在著正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式L的一切X，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值』皿丿都滿足不等式那末常數(shù)就叫做函數(shù)"了⑶那末常數(shù)就叫做函數(shù)"了⑶當(dāng)X-8時(shí)的極限lim=A記作:宀面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列" 與常數(shù)存在函數(shù)，孑，）與常數(shù)任給一正數(shù)￡>任給一正數(shù)￡>總可找到一正整數(shù)總可找到一正數(shù)x[>X對(duì)于>的所有"對(duì)于適合 的一切X都滿足筑一川<￡都滿足1則稱數(shù)列孤當(dāng)X--時(shí)收斂于函數(shù)了=“）當(dāng)X-8時(shí)的極限為lima=limf(x)=A記：f記:宀)自:變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限我們先來看一個(gè)例子.例：函數(shù)例：函數(shù)當(dāng)x-l時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何?函數(shù)在X處無定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來講,在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi),都有無窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x-1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出如下圖X-"O.g0.990.999…X-"O.g0.990.999…i.gg1.999…11■■-1.001 1.01 1.1 ■■2■■-2.001 2.01 2.1 ■■-從中我們可以看出x-1時(shí)，/E-2?而且只要x與1有多接近，了⑶就與2有多接近.或說：只要了與2只差一個(gè)微量E,就一定可以找到一個(gè)5，當(dāng)6時(shí)滿足㈤一"<定義：設(shè)函數(shù)了(力在某點(diǎn)x的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)，如果對(duì)任意給定的€不論其多么小，總存在正數(shù)5，當(dāng)<^一珥丨<5時(shí)，圧&)一創(chuàng)<€打、 limf(x)=A則稱函數(shù)丿當(dāng)x-x時(shí)存在極限，且極限為,記:g注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢?這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙-x的過程，與xx出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對(duì)給出的€，是否存在正數(shù)5，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。9有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為，，其證明方法是怎樣的呢?先任取€>0寫出不等式"(襯一"1<€;解不等式能否得出去心鄰域<忑一弘<6，若能;，則任對(duì)于任給的€>，則任對(duì)于任給的€>0，總能找出6，當(dāng)<6時(shí)，<€成limf(x)=A立，因此宀航下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)極限的運(yùn)算法則和函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若已知x-x或XY)時(shí)，畑7如7limt/(x)±g(x))=A±B貝施limf(x)?g(x)=ABlim衛(wèi)衛(wèi)=呂，(月工o)g(x)B推論：推論：limL/0）廣二衛(wèi)30為正整數(shù)）°在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來求極限。lit 6兀亠+兀—1例題：求宀4嚴(yán)+/-忑+33x2+x-l熱曲+F-x+33x2+x-l熱曲+F-x+33+1-1_34+1—1+3一7ff-^1 etIetI _lim4x3+limx2-limx+lim3

etI etI血谿-4嚴(yán)+2例題：求曲+貳-3此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。3x3-4x2+2gw7x3+5x2-3解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念我們先來看一個(gè)例子：

例：符號(hào)函數(shù)為-l,x<0sgn=-^0,x=0J,￡>0對(duì)于這個(gè)分段函數(shù)x從左趨于和從右趨于時(shí)函數(shù)極限是不相同的為此我們定義了左、右極限的概念。定義：如果X僅從左側(cè)Kx趨近X時(shí)，函數(shù)了肚）與常量無限接近，則稱為函數(shù)70）當(dāng)忑7時(shí)的左極限記:如果X僅從右側(cè)Ax趨近X時(shí)，函數(shù)/◎）與常量無限接近，則稱為函數(shù)了（小當(dāng)2心為函數(shù)了（小當(dāng)2心時(shí)的右極限記:/(x)=A注：只有當(dāng)X-X時(shí)，函數(shù)了X）的左、右極限存在且相等，方稱了&）在X-X時(shí)有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)X的某一鄰域內(nèi)的一切X，X點(diǎn)本身可以除外或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切Xlimg(x)二衛(wèi)數(shù)的一切Xlimg(x)二衛(wèi)ng_''limh(x)=Alim，那末宀°存在，且等于。注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個(gè)重要的極限lim〔1+丄丫=它一：ix注：其中為無理數(shù)，它的值為：阮叱=1二:宀x注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們lim（1--）"例題：求￡二二解答：令 ，貝心￡二二解答：令 ，貝心，因?yàn)閄fB，故tfB,注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象X—時(shí)，若用t代換，則tfO.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個(gè)例子：已知函數(shù) ，當(dāng)X-0時(shí)，可知"〔別，我們把這種情況稱為了（X）趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)'（X）,在XX的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)一個(gè)任意大的數(shù)），總可找到正數(shù)大的數(shù)），總可找到正數(shù)6，當(dāng)lim/（x）=oo時(shí)為無窮大量。記為： （表示為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)Xfg時(shí)，'（X）無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù) ，當(dāng)X充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)一個(gè)任意大的數(shù)）,總可以找到正數(shù)，總可以找到正數(shù)，當(dāng)時(shí)，"（力成立，則稱函數(shù)當(dāng)Xf-時(shí)是無窮大量，記lim/(x)=oo為：”無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量定義：設(shè)有函數(shù)了（初，對(duì)于任意給定的正數(shù)￡不論它多么小），總存在正數(shù)5或正數(shù)），使得對(duì)于適合不等式"A"）正數(shù)），使得對(duì)于適合不等式"A"）的一切X，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式M㈤心，則稱函數(shù)了㈤當(dāng)"T可或Xf-）時(shí)為無窮小量lim/W=0hmf（x）=0記作： 或 ）注意：無窮大量與無窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無窮小量的兩個(gè)定理定理一：如果函數(shù)了㈤在"TXq或Xf—）時(shí)有極限，則差了（X）山-魂乳）是當(dāng)*T心或Xf—）時(shí)的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理

:有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；:有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；:常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小那么兩個(gè)無窮小量的商會(huì)是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。定義：設(shè)a,3都是"T毗時(shí)的無窮小量，且在x°的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零,lim-=0:如果 ，則稱a是3的高階無窮小或3是a的低階無窮??；：如果則稱：如果則稱a和3是同階無窮??；:如果 ，則稱a和3是等價(jià)無窮小，記作：aS3a與3等價(jià)rX1lim—=-z3例：因?yàn)?，所以當(dāng)x—0時(shí)，x與x是同階無窮?。籰im—=0因?yàn)?，所以當(dāng)x—O時(shí)，x是X的高階無窮??；応叱=1因?yàn)?，所以當(dāng)x—o時(shí)， n^x是等價(jià)無窮小。等價(jià)無窮小的性質(zhì)十 & .. a 十 &lim— lim—=lim—設(shè)沖叢03歡，且 存在，則注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來簡(jiǎn)化求極限問題。rsinaxlim 例題：求宀t如處解答：當(dāng)x—O時(shí)，解答：當(dāng)x—O時(shí)，sxSxx故:rsinaxraxalim =lim——=—ztanbxbxb十tanx-sinxlim 例題：求?tan女解答：曲tanx-sinx曲解答：曲tanx-sinx曲tanx(l-cosx)I。tan33xK^°tan33x=lim注：注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念——增量設(shè)變量,從它的一個(gè)初值,變到終值,，終值與初值的差,-,就叫做變量,的增量，。增量△可正可負(fù)我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子：函數(shù)y=在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在領(lǐng)域內(nèi)從變到△時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地從了（可）變到，其對(duì)應(yīng)的增量為:Ay=/(^0+Ax)-/(x0)這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述:如果當(dāng)△趨向于零時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)的增量△limAy=limAy=也趨向于零，即：那末就稱函數(shù)y— 在點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義：f（x）=f（x0）的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有 稱函數(shù)$=畑在點(diǎn)處連續(xù)，且稱為函數(shù)的》=畑的連續(xù)點(diǎn)面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)了（疋）在區(qū)間內(nèi)有定義，如果左極限陳腫設(shè)函數(shù)了（疋）在區(qū)間內(nèi)有定義，如果左極限陳腫E存在且等于㈣,了3）,那末我們就稱函數(shù)了X）在點(diǎn)左連續(xù)設(shè)函數(shù)了（力在區(qū)間內(nèi)有定義，如果右極限虬‘⑶存在且等于畑，即：輒/㈤設(shè)函數(shù)了（力在區(qū)間內(nèi)有定義，如果右極限虬‘⑶存在且等于畑，即：輒/㈤W那末我們就稱函數(shù)'（力在點(diǎn)右連續(xù)一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每點(diǎn)連續(xù)則為在 連續(xù)，若又在點(diǎn)右連續(xù)，點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間，連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題：函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).它包括三種情 定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).它包括三種情 f（X、亠、、: '在x無定義；0：'（X）在X—X時(shí)無極限；0:了樹在X-X時(shí)有極限但不等于可）0下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：X——例：正切函數(shù)=tanx在2處沒有定義，所以點(diǎn)limtanx=co n”rr X= 形：是函數(shù)八的間斷點(diǎn)，因宀耳 ，我們就稱 為函數(shù)，二tan"的無窮間斷點(diǎn)=sill—例：函數(shù) 疋在點(diǎn)x0處沒有定義；故當(dāng)x—0時(shí)，函數(shù)值在與之間變動(dòng)的振蕩間斷點(diǎn)；的振蕩間斷點(diǎn)；無限多次，我們就稱點(diǎn)x（叫做函數(shù)—1皿<00,x=0x+1,x>0 lim=當(dāng)x-0時(shí)，左極限，右極限例：函數(shù)嘰"）=1，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)xC是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來如下間斷點(diǎn)的分類我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x是函數(shù)了〔初的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在,0我們把x稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類0間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)

若X是函數(shù)了㈤的間斷點(diǎn)，但極限5八’存在，那末X是函數(shù)了㈤的第一類） 阮/W 、間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是： 不存在或者是存在但 # 。我們/（x0）=limf（x） 打、令 ，則可使函數(shù) 在點(diǎn)X處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)X稱為可去間斷點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：：）有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；：）有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；：）兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)（分母在該點(diǎn)不為零）；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增或單調(diào)減且連續(xù)，那末它的反函數(shù)X=呦也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增（單調(diào)減）且連續(xù)。例：函數(shù)17=Sm在閉區(qū)間例：函數(shù)17=Sm在閉區(qū)間閉區(qū)間,上1閉區(qū)間,上1也］是單調(diào)增且連續(xù)的。函數(shù) 可看作 與"（F函數(shù) 可看作 與"（F復(fù)合而成，且函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)XX連續(xù)，且末復(fù)合函數(shù)，一了［?（"）］在點(diǎn)XX也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性注：y=cosu,而函數(shù)八了仗）在點(diǎn)連續(xù)，那復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)艮=曲）當(dāng)X-X時(shí)的極限存在且等于，即'而函數(shù)丫=畑在點(diǎn)連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)F二血⑴】當(dāng)X-X時(shí)的極限也存在且等于了儀）即：匾（對(duì)］二血）例題：解答：lit%cos（l+=c：珂11叫（1+疋）和二cose解答：通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)下面我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)一下一一閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù)對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。（在此不作證明例：函數(shù)y在閉區(qū)間0n上連續(xù)，則在點(diǎn)xn處，它的函數(shù)值為，且大于閉區(qū)間0n上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn)xn處，它的函數(shù)值為，且小于閉區(qū)間0n上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即:⑷沖在a、b之間，則在，間一定有一個(gè)g，使了?=推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿X軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置x是時(shí)間t的函數(shù)，"二了^）,求質(zhì)點(diǎn)在t0的瞬時(shí)速度？我們知道時(shí)間從t有增量At時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量心=/（切+應(yīng)）—環(huán)），0這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段At的位移。因此，在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為：幾。+應(yīng)）-/（珀）若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在t的瞬時(shí)速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這還0不是質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)的瞬時(shí)速度。0我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段At無限地接近于0時(shí)，此平均速度會(huì)無限地接近于質(zhì)點(diǎn)t時(shí)的0瞬時(shí)速度，曲八。+位）-了（島）_曲Ax即：質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)F_孑（X）在點(diǎn)X的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在X處有增量△x（x+Ax00也在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量3=/（觀+&）—/（叼），若與Ax之比當(dāng)△Xf0時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為/了（“）在X。處的導(dǎo)數(shù)。ff還可記為:函數(shù)了X）在點(diǎn)處存在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)了加）在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這內(nèi)的每一個(gè)確定的值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)/-'（圧）的導(dǎo)函數(shù)。對(duì)于區(qū)間注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限心*存在，我們就稱它為函數(shù)F_孑（忑）在若極限輒詈存在，我們就稱它為函數(shù)八“）在處的若函數(shù)了加）在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這內(nèi)的每一個(gè)確定的值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)/-'（圧）的導(dǎo)函數(shù)。對(duì)于區(qū)間注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限心*存在，我們就稱它為函數(shù)F_孑（忑）在若極限輒詈存在，我們就稱它為函數(shù)八“）在處的左導(dǎo)數(shù)。處的右導(dǎo)數(shù)。注：函數(shù)畀二了&）在處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)八冷在處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和（差的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（差用公式可寫為：土叭其中、為可導(dǎo)函數(shù)。例題：解答：例題：解答：y=—-^-x5+7已知=(l)f+(/)r+(7)r=-lx-2+5x4+0=-4-+5x4例題：已知，二如「例題：已知，二如「log/+八求y解答：y(=(sinx)(-(log醫(yī)兀)'+(『)'=cosx-—J—+exlna解答：函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可寫成：3丫=曲例題：已知八如忑+4匚求”

解答：yf=(3sinx)f+(4x2)f=3(sin +4(x2)r=3cosx+4-2x=3cosx+8x解答：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：解答：例題：已知/W=^smx,求心解答：注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：例題：已知= 求畑解答：(sinx)fcosx-sinx(cosx)fcos2x+sin2xcosXCOSXcosXCOSXCOSXCOSX復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個(gè)例子!例題：求伽2刊解答：由于故伽Rk。慫 這個(gè)解答正確嗎這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，正確的解答應(yīng)該如下：(sin2x)f=(2sinxcosx)f=2[(sinx)rcosx+sinx(cosx)f]=2cos2x我們發(fā)生錯(cuò)誤的原因是3國是對(duì)自變量求導(dǎo)，而不是對(duì)求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：其中為中間變量

量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：其中為中間變量例題：已知八曲*求必解答：設(shè)“曲則 可分解為 心⑴因此—=—■—=(y2)f(sinx)f=2^cosx=2sinxcosx=sin2xdxdudx注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。例題：已知八沁⑴例題：已知八沁⑴空，求必(Insinx)f=—(sin汀=竺蘭=匚曲解答.dx sinx sinx反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)F= 為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)"=回＞）它也根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)是單調(diào)連續(xù)的為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下（我們以定理的形式給出）：定理：若X=甲?是單調(diào)連續(xù)的，且?（対"，則它的反函數(shù)八了㈤在點(diǎn)可導(dǎo)，且有：導(dǎo)，且有：注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以為自變量的，我們沒有對(duì)它作記號(hào)變換。即：爐°）是對(duì)求導(dǎo)，了是對(duì)求導(dǎo)例題：求y=arcsmx的導(dǎo)數(shù)解答：此函數(shù)的反函數(shù)為兀=如歹，故0=匚。卩則:11uxyJ1_￡血2尹Jl_X例題：求y=例題：求y=arctanx的導(dǎo)數(shù)解答：此函數(shù)的反函數(shù)為x=tany，故xf=sec2y則:⑴111secy1+tan2jy1+X高階導(dǎo)數(shù)即：我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度是位置函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),dsv=即：我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度是位置函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),dsv=一處，而加速度又是速度對(duì)時(shí)間的變化率,即速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù):dvd(ds\a=——dtdvd(ds\a=——dt，或冬二&丁。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 曲丿叫做對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：函數(shù)八冷的導(dǎo)數(shù)仍然是的函數(shù)我們把歹=廣讓）的導(dǎo)數(shù)叫做dx\dxjd2yd(dydx\dxj函數(shù)I'⑶的二階導(dǎo)數(shù)，記作，或必'，即：7一或必相應(yīng)地，把了=畑的導(dǎo)數(shù)從二廣㈤叫做函數(shù)$=畑的一階導(dǎo)數(shù)類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…,一般地階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。dxw由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知 ，求対二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。dxw由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知 ，求対解答：因?yàn)閍故例題：求對(duì)數(shù)函數(shù)八城1+力的解答：階導(dǎo)數(shù)。㈤=（_1嚴(yán)D!可得一般地，隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式若函數(shù)可以用含自變量的算式表示，像+等3，若函數(shù)可以用含自變量的算式表示，像+等3，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù)一般地，如果方程中，令在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí),相應(yīng)地總有滿足此一般地，如果方程中，令在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí),相應(yīng)地總有滿足此方程的值存在，則我們就說方程在該區(qū)間上確定了的說方程在該區(qū)間上確定了的隱函數(shù)把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢？面讓我們來解決這個(gè)問題！隱函數(shù)的求導(dǎo)空若已知y求=0時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解:

:若方程 ，能化為y=孑E的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo);:若方程 ，不能化為$=佝的形式，則是方程兩邊對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，并把看成的函數(shù)，=畑,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行?？绽}：已知 ，求解答：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，?（/+b-心）=^-（5=0ax ax2卞+2爐一0+加二0dy才_(tái)尹_2疋故杰 2尹-忑注：我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量看成的函數(shù)，然后對(duì)其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。例題：求隱函數(shù)$ yn_，在 處的導(dǎo)數(shù)解答：兩邊對(duì)求導(dǎo)”9+紂―1—21護(hù)=01+21/5/+2當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對(duì)某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對(duì)某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù)，然后在求導(dǎo)注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。例題：已知~X>,求此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對(duì)其兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡(jiǎn)便些。如下解答：先兩邊取對(duì)數(shù)：In=sinxlnx把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)1t .sinx—y=cosxlnx+ v=嚴(yán)“因?yàn)?，所以f「 1sin 1sinxy=xlnx+ )=x(cosxlnx+ x xy=，求例題：已知

，求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)解答：先兩邊取對(duì)數(shù)再兩邊求導(dǎo),所以11,所以11y=-2^(x-3)(x-4)x-l x-2 x-3 x-4函