四川省樂(lè)山市沐川縣職業(yè)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

四川省樂(lè)山市沐川縣職業(yè)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站,假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn),則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是（

） A． B．

C． D．參考答案：A略2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)）則A、2

B、

C、

D、參考答案：A略3.設(shè)、為整數(shù)，方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，則的最小值為(

)

參考答案：D略4.已知函數(shù)，則（

）（A）在時(shí)取得最小值，其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（B）在時(shí)取得最小值，其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（C）在單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（D）在單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)參考答案：D略5.△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=b，A=2B，則cosB等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】對(duì)A=2B兩邊取正弦，運(yùn)用二倍角公式和正弦定理，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到cosB．【解答】解：A=2B，即有sinA=sin2B=2sinBcosB，由正弦定理可得，a=2bcosB，由a=b，則b=2bcosB，則有cosB=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理及運(yùn)用，考查二倍角公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.銳角三角形ABC中，若C＝2B，則的范圍是()A．(0,2)

B．(，2)C．(，)

D．(，2)參考答案：C7.若，且，則參考答案：B，又α∈，∴cosα＝＝．由，得，所以．故選B．8.設(shè)f(x)是一個(gè)三次函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，如圖所示的是y＝x·f′(x)的圖像的一部分，則f(x)的極大值與極小值分別是()A．f(1)與f(－1)

B．f(－1)與f(1)

C．f(2)與f(－2)

D．f(－2)與f(2)

參考答案：D略9.下列函數(shù)中，在（﹣1，1）內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是（）A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x3參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)解析式判斷單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可得出答案．【解答】解：y=logx在（﹣1，1）有沒(méi)有意義的情況，故A不對(duì)，y=x2﹣1在（﹣1，0）單調(diào)遞減，故C不對(duì)，y=﹣x3在（﹣1，1）單調(diào)遞減，故D不對(duì)，故A，C，D都不對(duì)，∵y=2x﹣1，單調(diào)遞增，f（﹣1）＜0，f（1）＞0，∴在（﹣1，1）內(nèi)存在零點(diǎn)故選：B【點(diǎn)評(píng)】本特納考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的判斷，函數(shù)解析式較簡(jiǎn)單，屬于容易題．10.為虛數(shù)單位，則A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，，則=

.參考答案：12.如右圖，等邊△中，，則

_________參考答案：【答案解析】

解析：由題意，得，；

∴

故答案為：．【思路點(diǎn)撥】先表示出向量與，再計(jì)算向量的數(shù)量積．13.設(shè)a，b，c分別為△ABC三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，面積S=c2．若ab=，則a2+b2+c2的最大值是

．參考答案：4【分析】由已知及三角形面積公式可求c2=sinC，利用余弦定理可求a2+b2=sinC+2cosC，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求a2+b2+c2=4sin（C+），利用正弦函數(shù)的有界性即可求得a2+b2+c2的最大值．【解答】解：∵=absinC，，∴c2=sinC，∴sinC=a2+b2﹣2abcosC，可得：a2+b2=sinC+2cosC，∴a2+b2+c2=sinC+2cosC+sinC=2×（sinC+cosC）=4sin（C+）≤4，即a2+b2+c2的最大值是4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的有界性在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)滿足=1且，則=_______________。參考答案：102315.函數(shù)f（x）=在x=4處的切線方程

．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=4處的導(dǎo)數(shù)，也就是切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=，∴x=4時(shí)，f′（4）=，∵f（4）=2，∴函數(shù)f（x）=在x=4處的切線方程為y﹣2=（x﹣4），即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為該點(diǎn)處切線的斜率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．16.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的A，B，C，D四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:甲說(shuō)：“A作品獲得一等獎(jiǎng)”；

乙說(shuō)：“C作品獲得一等獎(jiǎng)”丙說(shuō)：“B，D兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”

丁說(shuō)：“是A或D作品獲得一等獎(jiǎng)”若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________．參考答案：C若是一等獎(jiǎng)，則甲丙丁都對(duì)，不合題意；若是一等獎(jiǎng)，則甲乙丁都錯(cuò)，不合題意；若是一等獎(jiǎng)，則乙丙正確，甲丁錯(cuò)，符合題意；若是一等獎(jiǎng)，則甲乙丙錯(cuò)，不合題意，故一等獎(jiǎng)是．17.在三棱錐中，,,PA與平面ABC所成角的余弦值為，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為

．參考答案：12π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|x2﹣1|，g（x）=a|x|﹣1．（Ⅰ）求不等式f（x）≤3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤3，等價(jià)于0≤x2≤4，由此求得x的范圍．（Ⅱ）由題意可得a|x|≤|x2﹣1|+1①恒成立，當(dāng)x=0時(shí)，①顯然成立．當(dāng)x≠0時(shí)，分|x|＞1、0＜|x|≤1兩種情況，分別求得a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，等價(jià)于|x2﹣1|≤3，即﹣3≤x2﹣1≤3，即0≤x2≤4，故有﹣2≤x≤2．（Ⅱ）f（x）≥g（x）對(duì)任意x∈R恒成立，即|x2﹣1|≥a|x|﹣1，即a|x|≤|x2﹣1|+1①，當(dāng)x=0時(shí)，①顯然成立．當(dāng)x≠0時(shí)，若|x|＞1，①即a|x|≤x2﹣1+1=x2，∴a≤|x|恒成立，故a≤1．當(dāng)0＜|x|≤1時(shí)，①即a|x|≤1﹣x2+1，∴a≤=﹣|x|恒成立，∴a≤2﹣1=1．綜上可得，a≤1．19.如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分別是線段BC，CC1，AB的中點(diǎn)，AA1=2AB=4．（1）求證：DE∥平面A1MC；（2）求點(diǎn)B到面MA1C的距離．參考答案：【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點(diǎn)，連接OM，OE，MD，推出四邊形MDEO為平行四邊形，得到DE∥MO，即可證明DE∥平面A1MC．（2）說(shuō)明三角形A1MC是直角三角形，利用，求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點(diǎn)，由題意可知O為AC1的中點(diǎn)，連接OM，OE，MD，∵M(jìn)D，OE分別為△ABC，△ACC1中的AC邊上的中位線，∴=，=，∴，∴四邊形MDEO為平行四邊形，∴DE∥MO．又∵DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，∴DE∥平面A1MC．（2）解：∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)B到面MA1C的距離，就是點(diǎn)A到面MA1C的距離，設(shè)為：h；正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AB=4，可得AM=1，MA1==，CM=，A1C==2，可得三角形A1MC是直角三角形，，可得=，解得h=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．20.已知關(guān)于的不等式有解，記實(shí)數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）正數(shù)滿足，求證：.參考答案：（1）由絕對(duì)值不等式要滿足題意，則，解得∴（2）由（1）知正數(shù)滿足∴21.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；（2）若是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).求點(diǎn)到直線l的距離的最大值.參考答案：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為，即.由，，可得直線l的直角坐標(biāo)方程為.將曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線的普通方程為.（2）設(shè).點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為.則.∴點(diǎn)到直線l的距離.當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.∴點(diǎn)到直線l的距離的最大值為.22.某中學(xué)每年暑假舉行“學(xué)科思維講座”活動(dòng)，每場(chǎng)講座結(jié)束時(shí)，所有聽(tīng)講者都要填寫(xiě)一份問(wèn)卷調(diào)查.2017年暑假某一天五場(chǎng)講座收到的問(wèn)卷分?jǐn)?shù)情況如下表：

學(xué)科語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)理綜文綜問(wèn)卷份數(shù)5006005001000400

用分層抽樣的方法從這一天的所有問(wèn)卷中抽取300份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表:

滿意一般不滿意語(yǔ)文70%28%2%數(shù)學(xué)80%15%5%英語(yǔ)72%26%2%理綜65%32%3%文綜80%15%5%

（1）估計(jì)這次講座活動(dòng)的