第七模糊計算

第七模糊計算第1頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/171第七章模糊計算“模糊”(Fuzzy)指概念外延不明確的不確定性?！澳：北取扒逦彼男畔⒘扛螅瑑?nèi)涵更為豐富，更貼近客觀世界。為了克服經(jīng)典集合不能表現(xiàn)模糊概念的限制，美國計算機與控制論專家L.A.Zadeh于1965年提出模糊集合的重要概念，并將模糊集合論應用于近似推理方面，形成了可能性理論。模糊邏輯和可能性理論已廣泛應用于專家系統(tǒng)和智能控制中，模糊計算就是以模糊邏輯為基礎的計算。第2頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1727.1模糊邏輯的數(shù)學基礎7.1.1模糊集合一般而言，在不同程度上具有某種特定屬性的所有元素的總和稱為模糊集合。模糊集合的基本思想就是把經(jīng)典集合中的隸屬關系加以擴充，將元素對“集合”的隸屬程度由只能?。昂停边@兩個值推廣到取單位閉區(qū)間[0，1]上的任意數(shù)值，從而實現(xiàn)定量地刻畫模糊對象。隸屬函數(shù)用μA(x)表示，其中A表示模糊集合，隸屬函數(shù)滿足條件:0≤μA(x)≤1第3頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1737.1.1模糊集合有了隸屬函數(shù)以后，就可以把元素對模糊集合的歸屬程度恰當?shù)乇硎境鰜?。例如青年是一個模糊集合，用普通集合A表示為：

A={x|15歲≤x≤35}如果用模糊集合A表示，并且有051015202530354045

1μA(x)051015202530354045

1μA(x)特征函數(shù)隸屬函數(shù)第4頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1747.1.2模糊集合的表示方法定義7.1：設U是論域，μA

(u)是把任意u∈U映射到區(qū)間[0,1]上某個值的函數(shù)，即

μA：U→[0,1]

u

→μA(u)則稱μA為定義在U上的隸屬函數(shù)，由μA(u)(u∈U)所構(gòu)成的集合A稱為U上的一個模糊集，μA表示u屬于模糊子集A的隸屬度。模糊集合A是個抽象的概念，其元素是不確定的，只能通過隸屬函數(shù)μA認識和掌握A，μA(u)的值越接近1，表示u隸屬于A的程度越高，μA(u)的值越接近0，表示u隸屬于A的程度越低。第5頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1757.1.2模糊集合的表示方法例如對論域U={1,3,5,7,9}，可用模糊集A和B分別把其中數(shù)據(jù)的模糊概念“大”和“小”表示出來?？梢栽O：

A={0,0,0.2,0.6,1}

B={1,0.5,0.1,0,0}其中：μA(1)=0,μA(3)=0.05,μA(5)=0.2,μA(7)=0.6,μA(9)=1μB(1)=1,μB(3)=0.5,μB(5)=0.1,μB(7)=0.05,μB(9)=0第6頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1767.1.2模糊集合的表示方法模糊集合的三種表示方法:Zadeh表示法若給定有限論域U,且U={u1,u2,····,un},用A(u)代替μA(u),則U上的模糊集合A可表示為:其中+是集合項的累積分隔符,分母表示論域U中的元素,分子表示該元素相應的隸屬度。隸屬度為0的項可以不列出。第7頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1777.1.2模糊集合的表示方法例如：考慮5個科研項目,分別記為u1,u2,u3,u4,u5，取論域U={u1,u2,u3,u4,u5},鑒定專家按各項技術指標給這些項目對“成果優(yōu)秀”的符合程度打分，取其平均值除以100的結(jié)果為：u1：87分，記A(u1)=87/100=0.87u2：73分，記A(u2)=73/100=0.73u3：94分，記A(u3)=94/100=0.94u4：85分，記A(u4)=87/100=0.87u5：79分，記A(u5)=79/100=0.79論域U上“成果優(yōu)秀”的模糊集合A可以表示為：第8頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/178其中積分號只是表示各元素與隸屬度對應的一個總括形式。例如以年齡作為論域，取U=[0,200]，Zadeh給出“年輕”的模糊集合Y，其隸屬函數(shù)為：7.1.2模糊集合的表示方法若給定無限論域U,U取一連續(xù)實數(shù)區(qū)間,則U上的模糊集合A可表示為:第9頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1797.1.2模糊集合的表示方法0≤u≤2525≤u≤200051015202530354045

1μY(u)用Zadeh的無限論域表示法表示如下：第10頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17107.1.2模糊集合的表示方法(2)序偶表示法如考慮論域U={1,2,3,···,10}上“大”、“小”兩個模糊概念，并分別用模糊集合A、B表示如下：A={(4,0.2),(5,0.4),(6,0.5),(7,0.7),(8,0.9),(9,1),(10,1)}B={(1,1),(2,0.9),(3,0.6),(4,0.4),(5,0.2),(6,0.1)}(3)向量表示法

A=(A(u1),A(u2),········,A(un))將上面“大”、“小”兩個模糊集合用向量表示如下:

A=(0,0,0,0.2,0.4,0.5,0.7,0.9,1,1)

B=(1,0.9,0.6,0.4,0.2,0.1,0,0,0,0)第11頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1711定義7.2設U為論域，A和B是U上的兩個模糊集合，則有以下運算：1）包含運算如果對任意u∈U,都有:A(u)≤B(u),則稱A包含于B，或稱B包含A，記為A?B,即

A?B?A(u)≤B(u)u∈U2)相等如果A?B且

B?A，則稱A與B相等，記為A=B，即

A=B?A(u)=B(u),u∈U7.1.3模糊集合的運算第12頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17127.1.3模糊集合的運算3）并運算A與B的并記作A∪B,其隸屬函數(shù)為

A∪B:(A∪B)(u)=A(u)?B(u)=max{A(u),B(u)}其中?表示取上確界。4）交運算A與B的交記作A∩B,其隸屬函數(shù)為

A∩B:(A∩B)(u)=A(u)?B(u)=min{A(u),B(u)}其中?表示取下確界。5）補運算A的補模糊集合記作A′，其隸屬函數(shù)為

A′:A′(u)=1-A(u)第13頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17137.1.3模糊集合的運算例如設某油田有5個不同的采油廠，這些采油廠構(gòu)成的論域為U={u1，u2，u3，u4，u5}，并有:“產(chǎn)量高”A={0.9,0.5,0.6,0.8,0.8}“油質(zhì)好”B={0.7,0.8,0.3,0.7,0.85}(1)“產(chǎn)量高且油質(zhì)好”為A∩B=(0.9?0.7,0.5?0.8,0.6?0.3,0.8?0.7,0.8?0.85)=(0.7,0.5,0.3,0.7,0.8)(2)“產(chǎn)量高或油質(zhì)好”為A∪B=(0.9?0.7,0.5?0.8,0.6?0.3,0.8?0.7,0.8?0.85)=(0.9,0.8,0.6,0.8,0.85)(3)“產(chǎn)量不高”為A′=(1-0.9,1-0.5,1-0.6,1-0.8,1-0.8)=(0.1,0.5,0.4,0.2,0.2)第14頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17147.1.3模糊集合的運算模糊集運算的基本定理冪等律A∪A=A,A∩A=A(2)交換律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A(3)

結(jié)合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C(4)

分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(5)同一律A∩U=A,

A∪Φ=A(6)吸收律A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A(7)

德.摩根律

(A∩B)′=A′∪B′(對偶律)(A∪B)′=A′∩B′(8)互補律A′∪A=U,A′∩A=Φ第15頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17157.1.4隸屬函數(shù)的確定方法常用確定模糊隸屬函數(shù)的方法有模糊統(tǒng)計法、相對比較法和專家經(jīng)驗法。模糊統(tǒng)計法對于模糊統(tǒng)計試驗，在論域U中給出一個元素u，再考慮n個具有模糊集合A屬性的經(jīng)典集合A，統(tǒng)計元素u對各個A的歸屬次數(shù)。U對A的歸屬次數(shù)和n的比值就是u對A的隸屬函數(shù)。當n足夠大時，隸屬函數(shù)A(u)趨于穩(wěn)定。第16頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17167.1.4隸屬函數(shù)的確定方法例.已知20人的身高分別為1.50,1.55,1.56,1.60,1.61,1.64,1.65,1.69,1.70,1.71,1.73,1.75,1.77,1.78,1.80,1.84,1.90,1.91,1.94,1.98?？紤]“中等身材”集合A以及1.71屬于A的隸屬度?，F(xiàn)有20位評委分別給出的“中等身材”經(jīng)典集合定義：1.60~1.691.63~1.701.65~1.751.56~1.701.62~1.731.65~1.721.64~1.731.60~1.691.69~1.751.69~1.781.60~1.711.63~1.731.65~1.781.61~1.721.64~1.721.67~1.781.60~1.701.68~1.781.61~1.731.62~1.72在20人中身高落在這組A*內(nèi)的人有12人,根據(jù)他們出現(xiàn)在A*各組中的頻率,可得取隸屬度為:第17頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17177.1.4隸屬函數(shù)的確定方法A(1.56)=1/20=0.05A(1.60)=5/20=0.25A(1.61)=7/20=0.35A(1.64)=13/20=0.65A(1.65)=16/20=0.8A(1.69)=20/20=1A(1.70)=18/20=0.9A(1.71)=15/20=0.75A(1.73)=10/20=0.5A(1.75)=6/20=0.3A(1.77)=4/20=0.02A(1.78)=4/20=0.02顯然1.71屬于A的隸屬度為0.75,而A(1.90)=0。即第18頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17187.1.5模糊截集及其性質(zhì)定義7.3設A是論域U上一個模糊集,任取∈[0,1],記稱A為A的截集，而稱為閾值或置信水平。以下稱AS為A的強截集。

截集是由論域U中對于模糊集合A的隸屬度達到或超過閾值的元素構(gòu)成的集合。

強截集是由論域U中對于模糊集合A的隸屬度超過閾值的元素構(gòu)成的集合。第19頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1719則A0=U,A0.2=U,A0.3={u2,u3,u4,u5,u6}A0.4={u2,u3,u4,u6},

A0.6={u3,u4,u6}A0.8={u3,u4},A1={u3}A0=U,A0.2={u2,u3,u4,u5,u6},A0.3={u2,u3,u4,u6},

A0.4={u3,u4,u6},A0.6={u3,u4},A0.8={u3},A1=Φ顯然A和AS均是經(jīng)典集合，且AS?A?U。7.1.5模糊截集及其性質(zhì)例.設U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}，

第20頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1720截集與強截集的性質(zhì)定理7.1.設A為論域U上的任一模糊集,則

[0,1],AS

A

A0=U,AS1=Φ(3)

1,

2

∈[0,1]且1≤

2,A2

A1(4)1,

2

∈[0,1]且1≤

2,AS2

AS1定理7.2.設A,B為論域U的兩個模糊集,

[0,1],則(1)(A∪B)=A∪B(2)(A∩B)=A∩B(3)(A∪B)S=AS∪BS(4)(A∩B)S=AS∩BS7.1.5模糊截集及其性質(zhì)第21頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17217.1.5模糊截集及其性質(zhì)對于無限個模糊集的情形,有如下定理.定理7.3.設T為任意指標集,t∈T,At為論域U上的任一模糊集,則第22頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17227.1.6模糊集之間的貼近度定義7.4設A和B是論域U上兩個模糊集，則為Ａ與Ｂ的內(nèi)積；為Ａ與Ｂ的外積。特別當U={u1,u2,,un}時，有(1)(2)第23頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1723內(nèi)積與外積的性質(zhì)7.1.6模糊集之間的貼近度(1)設則(3)(4)(5)第24頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17247.1.6模糊集之間的貼近度從模糊向量內(nèi)積與外積的定義可以看出,內(nèi)積尋求最小值中的最大值，外積尋求最大值中的最小值，當A與B越接近時，A?B越大，AB越小。定義7.5設A、B為兩個n維模糊集合的模糊向量，則A與B的格貼近度定義為：例.設A=(0.2,0.6,1,0.8,0.4),B=(0.3,0.5,1,0.7,0.3)(A

?B)=(0.20.3)(0.60.5)(11)(0.80.7)(0.40.3)=0.20.510.70.3=1(AB)=(0.20.3)(0.60.5)(11)(0.80.7)(0.40.3)=0.30.610.80.4=0.3N(A,B)=(A?B)(AB)=1(1-0.3)=0.7第25頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17257.1.6模糊集之間的貼近度對一般論域而言的幾種常用貼近度N的定義：給定論域U，設A、B為論域U的兩個模糊集，則

1.格貼近度2.平均貼近度3.最大-最小貼近度第26頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17267.1.6模糊集之間的貼近度4.最小平均貼近度5.采用距離定義的貼近度當p=1時，Dm為海明距離，記為DH，當p=2時，Dm為歐幾里德距離，記為DE。第27頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17277.1.7模糊模式識別1.最大隸屬原則定義7.6設論域U上n個模糊集Ai(i=1,2,···,n)為n個標準模式，任取u0∈U，若存在i∈{1,2,···,n},使得

則稱u0相對地屬于Ai例.設有6種商品的集合為U={u1,u2,u3,u4,u5,u6},

將這些商品分為滯銷商品、脫銷商品、暢銷商品三類，分別對應于模糊集A1,A2,

A3,且第28頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17287.1.7模糊模式識別現(xiàn)根據(jù)最大隸屬原則判斷商品u2和u4屬于哪一類：由于A1(u2)A2(u2)A3(u2)=0.10.10.8=0.8=A3(u2)A1(u4)A2(u4)A3(u4)=0.600.4=0.6=A1(u2)所以u2屬于暢銷商品,u4屬于滯銷商品。滯銷商品脫銷商品暢銷商品第29頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17297.1.7模糊模式識別2.擇近原則定義7.7設論域U上n個模糊集Ai(i=1,2,···,n)為n個標準模式，有U上的模糊集B為待識別對象,若存在i∈{i=1,2,···,n},使得則稱B與Ai最貼近，并判定B與Ai一類。這里采用格貼近度N(A,B)。例.設論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}上有五類模式A1、A2、A3、A4、A5和樣本B，判斷B的歸屬類。第30頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17307.1.7模糊模式識別A1=(0.6,0.3,0.2,0,0.5,0.1)A2=(0.7,1,0.3,0,0.8,0.9)A3=(0.2,1,0.8,0.4,0.5,0.1)A4=(0.8,0,0.4,0.5,0.7,0)A5=(0.5,0.3,0.6,1,0,0.4)B=(0.7,0.4,0.6,0.3,0.4,0.8)由于A1?B=0.6,

A2?B=0.8,A3?B=0.6,A4?B=0.7,A5?B=0.7A1B=0.3,

A2

B=0.3,A3

B=0.4,A4B=0.4,A5

B=0.4第31頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17317.1.7模糊模式識別根據(jù)格貼近度公式:N(A1,B)=(A1?B)(A1B)=0.60.7=0.6N(A2,B)=(A2?B)(A2B)=0.80.7=0.7N(A3,B)=(A3?B)(A3B)=0.60.6=0.6N(A4,B)=(A4?B)(A4B)=0.70.6=0.6N(A5,B)=(A5?B)(A5B)=0.60.6=0.6顯然N(A2,B)=N(A1,B)N(A2,B)N(A3,B)

N(A4,B)N(A5,B)根據(jù)擇近原則，可判定B歸屬第二類。第32頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17327.2模糊關系7.2.1普通關系及其運算定義7.8設U,V為兩個論域,UV上普通冪集的一個子集R稱為U到V的一個普通關系,其中UV為U和V的笛卡爾積,UV={(u,v)|u∈U,v∈V}。對于任意u∈U,v∈V，若(u,v)∈R,則稱u對于v有關系R,記作uRv,若(u,v)R，則稱u對于v沒有關系R,記作。例.U表示全校學生的集合,V表示所開設課程的集合,令R={(u,v):v是u所選課程},則R表示從U到V的“選課”關系。第33頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17337.2.1普通關系及其運算定義7.9設U={u1,u2,…,um},V={v1,v2,…,vn},R為U到V的一個普通關系,記作R=(rij)mn，其中

rij=R(ui,vj)i=1,2,···,m；

j=1,2,···,n由于R是UV的一個經(jīng)典集合,故這時R=(rij)mn

為一個mn階矩陣,或稱布爾矩陣。顯然有限論域間的普通關系可以用布爾矩陣表示。第34頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17347.2.2模糊關系及其運算定義7.10設U,V為兩個論域,UV上模糊冪集的一個子集R稱為U到V的一個模糊關系,對(u,v)∈UV,稱R(u,v)為u對于v具有關系R的相關程度。R(u,v)反映了u對于v的相關程度(0R(u,v)1)；若R(u,v)越接近1,則u與v對于R而言關系越密切；若R(u,v)越接近0,則u與v對于R而言關系越稀疏；若(u,v)∈UV,有R(u,v)=0,稱R為U到V的零關系；若(u,v)∈UV,有R(u,v)=1,稱R為全稱關系；若R(u,v)∈{0,1}時,u與v對于R具有明確關系。第35頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17357.2.2模糊關系及其運算例.取U={部門1,部門2,部門3,部門4},V={優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品,合格產(chǎn)品,不合格產(chǎn)品},通過對各自100件樣品的檢查,有以下結(jié)果。優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品合格產(chǎn)品不合格產(chǎn)品部門182162部門278220部門384160部門4731512部門級別第36頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17367.2.2模糊關系及其運算優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品合格產(chǎn)品不合格產(chǎn)品部門10.820.160.2部門20.780.220.0部門30.840.160.0部門40.730.150.12部門級別若將各級別產(chǎn)品的數(shù)目折算成隸屬度來表示各生產(chǎn)部門屬于各等級產(chǎn)品標準的程度,下表可確定一個從U到V的模糊關系R。第37頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17377.2.2模糊關系及其運算定義7.11設U={u1,u2,…,um},V={v1,v2,…,vn},R為U到V的一個模糊關系,則R可以用一個mn階矩陣表示，記作R=(rij)mn，其中

rij=R(ui,vj)i=1,2,···,m；

j=1,2,···,n由于R(ui,vj)[0,1],故稱R=(rij)mn為模糊矩陣。如第38頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1738區(qū)域與科學教育的關系人口素質(zhì)高校數(shù)目科研機構(gòu)數(shù)區(qū)域1556133區(qū)域2322918區(qū)域3474123區(qū)域4281811區(qū)域規(guī)格化指標第39頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1739區(qū)域與科學教育的關系模糊矩陣第40頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17407.2.2模糊關系及其運算定義7.12設R與Q為從U到V的模糊關系,則(4)R的轉(zhuǎn)置(1)R與Q的并(2)R與Q的交(3)R的補第41頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17417.2.2模糊關系及其運算(5)稱RQ,如果(6)稱R=Q,如果(7)R的截關系和強截關系(經(jīng)典集合)(8)與R的模糊截積關系R第42頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17427.2.2模糊關系及其運算例.設R,Q均為U={u1,u2,u3}上的模糊關系,且第43頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17437.2.2模糊關系及其運算第44頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17447.2.2模糊關系及其運算第45頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17457.2.2模糊關系及其運算定義7.13設U,V,W為三個論域,R為從U到V的模糊關系,Q為從V到W的模糊關系,則R與Q合成是U到W的一個模糊關系,記作R?Q,其中R?Q={(u,w)UW:存在vV,使(u,v)R且(v,w)Q}用隸屬函數(shù)表示為:若R=(rij)mn

,Q=(qjk)nl

R?Q=(pik)ml

第46頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17467.2.2模糊關系及其運算例．設Ｕ={u1,u2,u3,u4} 為生產(chǎn)資料商品集,V={v1,v2}為兩種消費品的集合，W={w1,w2,w3}為三個市場的細分，以R表示U到V的原料供應關系,以Q表示V到W的市場占有關系，若取則生產(chǎn)資料對市場的間接占有關系即為R?Q。第47頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17477.2.2模糊關系及其運算其中pik(i=1,2,3,4;k=1,2,3)表示第i種生產(chǎn)資料對市場k的間接占有關系。第48頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17487.2.2模糊關系及其運算定理7.5設P,Q,R為三個模糊關系,且可進行合成運算,則有結(jié)合率:R?(Q?P)=(R?Q)?P(2)

分配率:(R∪Q)?P=(R?P)∪(Q?P)P?(R∪Q)=(P?R)∪(P?Q)(3)單調(diào)性:RQ

R?PQ?P(4)

(R∩Q)?P

(R?P)∩(Q?P)P?(R∩Q)(P?R)∩(P?Q)第49頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17497.2.2模糊關系及其運算定理7.6設RF(UV),QF(VW),F為UV或VW上模糊關系冪集(模糊關系全體),則(1)(R?Q)T=QT

?RT(T表示轉(zhuǎn)置運算)(2)若RF(UU),則(Rn)T=(RT)n例.對生產(chǎn)資料消費品市場的關系R和Q，有第50頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17507.2.2模糊關系及其運算第51頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17517.2.3模糊等價關系定義7.14設模糊關系RF(UU),則如果IR,即uU,R(u,u)=1,則稱R為自反的；(2)如果u,vU,R(u,u)≥R(u,v),則稱R為弱自反的；(3)如果>0,uU,R(u,u)≥,則稱R為自反的；(4)如果uU,R(u,u)=0,則稱R為反自反的；(5)包含R最小的自反模糊關系為R的自反閉包,記作r(R).1.模糊關系的自反性第52頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17527.2.3模糊等價關系例.設U={u1,u2,u3},RF(UU),有自反模糊矩陣弱自反模糊矩陣0.7自反模糊矩陣反自反模糊矩陣第53頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17537.2.3模糊等價關系定理7.7設RF(UU),則下列結(jié)論成立:(1)R是自反的當且僅當R是反自反的；(2)R是反自反的當且僅當R∩I=；(3)若R是自反的,則nN,RnRn+1且Rn也自反；(4)若R是弱自反的,則nN,RnRn+1；(5)R的自反閉包r(R)=R∪I；(6)R是自反的當且僅當[0,1],R是自反的.第54頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17547.2.3模糊等價關系例.設U={u1,u2,u3},RF(UU),有第55頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17557.2.3模糊等價關系2.模糊關系的對稱性定義7.15設RF(UU),若RT=R,則稱R為對稱模糊關系;而稱包含R的最小對稱模糊關系為R的對稱閉包,記作s(R).定理7.8設RF(UU),則下列結(jié)論成立:(1)R?RT是對稱且弱自反模糊關系；(2)若R是對稱的,則nN,Rn也是對稱的；(3)若R,Q是對稱的,則當R?Q=Q?R時,

R?Q為對稱；(4)s(R)=R∪RT；(6)R是對稱的當且僅當[0.1],R是對稱的.第56頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17567.2.3模糊等價關系例.U={u1,u2,u3,u4},RF(UU),則下面R為對稱模糊矩陣第57頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17577.2.3模糊等價關系例.U={u1,u2,u3},RF(UU),且則其對稱閉包為第58頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17587.2.3模糊等價關系關系合成R?RT呈現(xiàn)出對稱且弱自反的模糊關系：同樣對于U={u1,u2,u3},RF(UU),且第59頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17593.模糊關系的傳遞性定義7.16設RF(UU),若R?RR,則稱R為傳遞模糊關系;而稱包含R最小的傳遞模糊關系為R的傳遞閉包,記作t(R).定理7.9設U={u1,u2,…,un},RF(UU),則有:(1)若R是傳遞的,則nN,Rn也是傳遞的；(2)R是傳遞的當且僅當[0.1],R是傳遞的；若R是自反的,m≥n,有t(R)=Rm

；(4)7.2.3模糊等價關系第60頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17607.2.3模糊等價關系例．設U={u1,u2,u3},RF(UU),且則由于R?R=RR，故R為傳遞的模糊矩陣。例.設有R,求R的傳遞閉包t(R)。由于R2?

R2=R2,即R4R2,所以t(R)=R2第61頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17617.2.3模糊等價關系4.模糊關系的相似性定義7.17設RF(UU),若R是自反和對稱的,則稱R為相似模糊關系;而稱包含R的最小的相似模糊關系為相似閉包,記作a(R).定理7.10設RF(UU),則有:(1)若R為相似模糊關系,則nN,Rn也是相似的；(2)R為相似的當且僅當[0.1],R是相似的.例．設U={u1,u2,u3},RF(UU),且顯然R既是自反的又是對稱的,所以R為相似模糊矩陣第62頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17627.2.3模糊等價關系5.模糊關系的等價性定義7.18設RF(UU),若R滿足自反性、對稱性和傳遞性,則稱R為模糊等價關系;而稱包含R的最小的模糊等價關系為R的等價閉包,記作e(R).定理7.11設RF(UU),則有:(1)若R為等價的,則nN,Rn也是等價的；(2)R為等價的當且僅當[0.1],R為等價的；(3)R為等價的當且僅當R為傳遞的模糊相似關系；(4)若R為模糊相似關系,則e(R)=t(R),即R的等價閉包等于R的傳遞閉包(由于t(R)相對容易獲得).第63頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17637.2.3模糊等價關系例．設U={u1,u2,u3,u4,u5},RF(UU),且由于IR，RT=R且R?R=RR，即關系R滿足自反性、對稱性和傳遞性,故R為模糊等價關系.第64頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17647.3基于模糊等價矩陣的模糊聚類分析模糊聚類分析就是利用模糊數(shù)學方法，根據(jù)事物間的模糊關系及不同特征、親疏程度和相似性等，對事物進行分類的方法。由于模糊聚類分析更符合客觀實際，在天氣預報、災害預測、環(huán)境保護、資源勘探、圖像處理等領域得到廣泛應用。一個合適的分類應當具備下列三個條件：(1)自反性:任何一個對象必須和自己在同一類；(2)對稱性:若對象u與對象v同類,則v與u也同類；(3)傳遞性:若對象u與對象v同類,對象v與對象w同類,則u與w也應同類.第65頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17657.3基于模糊等價矩陣的模糊聚類分析由于合適分類三個必備條件就是一個等價關系,因此模糊聚類分析根據(jù)模糊等價關系進行。設被分類對象的集合為U={u1,u2,…,un},其中每個對象有m個特征指標(對象與特征間模糊關系的隸屬度),其向量為ui={ui1,ui2,…,uim}i=1,2,…,nU的特征指標矩陣第66頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17667.3.1數(shù)據(jù)規(guī)格化為消除因特征指標單位的差異和特征指標數(shù)量級不同而可能造成的特征指標對分類作用影響尺度的不統(tǒng)一,需要對特征指標實施規(guī)格化處理。數(shù)據(jù)標準化(2)均值規(guī)格化第67頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17677.3.1數(shù)據(jù)規(guī)格化(3)中心規(guī)格化(4)最大值規(guī)格化第68頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17687.3.1數(shù)據(jù)規(guī)格化(5)極差規(guī)格化(6)對數(shù)規(guī)格化第69頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17697.3.2構(gòu)造模糊相似矩陣設數(shù)據(jù)ukl(k=1,2,…,n;l=1,2,…,m)均已規(guī)格化,用多元分析方法確定ui=(ui1,ui2,…,uim)和uj=

(uj1,uj2,…,ujm)之間的相似程度:

rij=R(ui,uj)[0,1],i,j=1,2,…,n從而構(gòu)造出一個對象與對象之間的模糊相似矩陣其中rij的計算有多種方法第70頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17707.3.2構(gòu)造模糊相似矩陣相似系數(shù)法(1)數(shù)量積法i=jij其中M>0為適當選擇的參數(shù)且M≥max{uiuj|ij}(2)夾角余數(shù)法其中模第71頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17717.3.2構(gòu)造模糊相似矩陣(3)相關系數(shù)法(4)指數(shù)相關系數(shù)法第72頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17727.3.2構(gòu)造模糊相似矩陣2.距離法利用對象ui和uj的距離d(ui,uj)確定相似程度,取

rij=1-c?d(ui,uj)適當選取c和使rij[0,1](1)Chebyshev距離(2)Hamming距離(3)Euclid距離(4)Minkowki距離第73頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17737.3.2構(gòu)造模糊相似矩陣(5)Lambert距離(6)Markov距離(7)絕對值指數(shù)法(8)絕對倒數(shù)法i=jij其中V=(vij)nm為U*的協(xié)方差矩陣.第74頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17747.3.2構(gòu)造模糊相似矩陣(1)最大最小法3.貼近度法(2)算術平均法(3)幾何平均最小法第75頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17757.3.3模糊分類1.模糊傳遞閉包法利用平方自合成方法求出模糊相似矩陣R的傳遞閉包t(R),即

R2

R4???R2k=t(R)k≤[log2n]+1(2)適當選取置信水平值[0,1],求出t(R)的截矩陣t(R),然后按t(R)進行分類,所得到的分類就是水平上的等價分類.(3)畫動態(tài)聚類圖將t(R)中所有互不相同的元素按降序排列的{i}i=1,2,…,m,依次選遍i,得到t(R)i一系列分類.第76頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17767.3.3模糊分類例.環(huán)保部門對某地區(qū)5個環(huán)境評價區(qū)域按污染情況進行分類,污染情況由污染物空氣、水、土壤、作物4個要素中含量的超標程度衡量。設5個環(huán)境評價區(qū)域為U={u1,u2,u3,u4,u5}，各區(qū)域的污染數(shù)據(jù)為：u1=(80,10,6,2),u2=(50,1,6,4),u3=(90,6,4,6),u4=(40,5,7,3),u2=(10,1,2,4).用模糊傳遞閉包法對U進行分類.第77頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17777.3.3模糊分類特征指標矩陣為(1)數(shù)據(jù)規(guī)格化采用最大值規(guī)格化作變換得第78頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17787.3.3模糊分類(2)構(gòu)造模糊相似矩陣采用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣R=(rij)55,這里第79頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17797.3.3模糊分類(2)利用平方自合成方法求構(gòu)造模糊相似矩陣采用最大最小法R的傳遞閉包t(R)顯然R2R不滿足顯然R4R2不滿足第80頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17807.3.3模糊分類顯然R8R4成立,因此t(R)=R4(4)分別選取置信水平[0,1],按t(R)進行動態(tài)聚類.取=1此時U被分成5類:{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}.第81頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17817.3.3模糊分類取=0.70此時U被分成4類:{u1},{u2,u4},{u3},{u5}.取=0.63此時U被分成3類:{u1,u2,u4},{u3},{u5}.第82頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17827.3.3模糊分類取=0.62此時U被分成2類:{u1,u2,u3,u4},{u5}.取=0.53此時U被分成1類:{u1,u2,u3

u4,u5}.第83頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17837.3.3模糊分類(5)動態(tài)聚類圖u1

u2

u3

u4

u510.700.630.620.535類4類3類2類1類第84頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17847.3.3模糊分類2.直接聚類法(1)將模糊相似矩陣R中所有不相同的元素按值降序排列,設為1=1>2>…>m(2)選取=k(k=1,2,…,m),直接在模糊相似矩陣R上找出k水平上的相似類,并進行歸并,即得到的k水平上的等價分類.直接聚類法與傳遞閉包法的分類結(jié)果被證明是一致的。第85頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17857.3.3模糊分類對模糊相似矩陣R中10個不同元素的降序排序為：1>0.70>0.63>0.62>0.56>0.55>0.54>0.53>0.38>0.37>0.24取=1,因有u11=u22=u33=u44=u55=1,得相似類為{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}第86頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17867.3.3模糊分類取=0.7,因有u24=u42=0.7,故得相似類為{u2,u4},{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}合并所有相似類,即得等價類為{u2,u4},{u1},{u3},{u5}取=0.63,因有u14=u41=0.63,故得相似類為{u1,u4},{u2,u4},{u1},{u3},{u5}合并所有相似類,即得等價類為{u1,u2,u4},

{u3},{u5}取=0.62,因有u13=u31=0.62,故得相似類為{u1,u3},{u1,u2,u4},

{u3},{u5}合并所有相似類,即得等價類為{u1,u2,u3,u4},

{u5}第87頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17877.3.3模糊分類取=0.56,因有u34=u43=0.56,故得相似類為{u3,u4},{u1,u2,u3,u4},

{u5}合并所有相似類,即得等價類為{u1,u2,u3,u4},

{u5}在0.56水平上的等價類與0.62水平上的等同.取=0.53,因有u25=u52=0.53,故得相似類為{u2,u5},{u1,u2,u3,u4},

{u5}合并所有相似類,即得等價類為{u1,u2,u3,u4,u5}第88頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17887.3.3模糊分類3.最大樹法(1)所有被分類對象作為最大樹的頂點；(2)按rij(1rij0)降序排列的順序,在不產(chǎn)生回路前提下,將頂點ui與頂點uj用一條線連接起來,并在線段上注明相關程度rij,直至將所有被分類對象頂點連接起來為止,從而構(gòu)成最大樹；(3)適當選取[0,1],刪除樹中線段值小于的連線,剩下互相連通的對象歸為同一類,從而得到水平上的一種等價分類；(4)畫出動態(tài)聚類圖。第89頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17897.3.3模糊分類例.利用最大樹法對環(huán)境區(qū)域U={u1,u2,u3,u4,u5}進行分類.首先構(gòu)造出模糊相似矩陣R第90頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17907.3.3模糊分類R中落在區(qū)間(0,1)上不同元素的降序排序為：r24

r14

r13

r34

r23

r12

r25

r45

r35

r150.70>0.63>0.62>0.56>0.55>0.54>0.53>0.38>0.37>0.24下面為構(gòu)造最大樹的過程u2u4u2u4u1u2u4u1u30.700.700.700.630.630.62u2u4u3u1u50.700.630.620.53第91頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17917.3.3模糊分類u2u4u3u1u5u2u4u3u1u50.70u2u4u3u1u50.700.63u2u4u3u1u50.700.630.62u2u4u3u1u50.700.630.620.53=1u2u4u3u1u50.700.630.620.53=0.70=0.63=0.62=0.53第92頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17927.3.3模糊分類取=1,即得等價類為{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}取=0.70,即得等價類為{u2,u4},{u1},{u3},{u5}取=0.63,即得等價類為{u1,u2,u4},

{u3},{u5}取=0.62,即得等價類為{u1,u2,u3,u4},

{u5}取=0.53,即得等價類為{u1,u2,u3,u4,u5}第93頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17937.3.3模糊分類其他的模糊聚類分析方法還有基于目標函數(shù)的模糊ISODATA聚類分析和基于攝動的模糊聚類分析。基于目標函數(shù)的模糊ISODATA聚類分析的基本思想是在給定分類數(shù)條件下，利用ISODATA算法尋找出對事物的最佳分類方案，也稱迭代自組織數(shù)據(jù)分析技術或模糊C均值(FCM)聚類法?；跀z動的模糊聚類分析將求解等價矩陣與目標函數(shù)法相結(jié)合，在攝動有意義前提下給出了一種基于模糊相似矩陣的模糊聚類方法。第94頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17947.4模糊邏輯推理簡介7.4.1模糊命題模糊命題是清晰命題的推廣，清晰命題的真假相當于普通集合中元素的特征函數(shù)，而模糊命題與二值邏輯中的命題不同，模糊命題的真假難以明確判斷，其真值在[0,1]閉區(qū)間中取值，相當于隸屬函數(shù)值。模糊命題的一般形式：

A：eisF(或e是F)其中e是模糊變量，F(xiàn)是某個模糊概念對應的模糊集合。第95頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17957.4.1模糊命題例如:電動機轉(zhuǎn)速偏高；汽車速度過快；電視機的亮度比較低都是模糊命題。這里“轉(zhuǎn)速”、“速度”、“亮度”為模糊變量，“偏高”、“過快”、“比較低”均為模糊集合。上述命題的真假由該變量對應的模糊集合的隸屬度表示，即

A=F(e)當F(e)=1時，命題A為全真；F(e)=0時，命題A為全假。第96頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17967.4.2模糊邏輯模糊命題的真值是在[0,1]閉區(qū)間上的連續(xù)取值，因此稱研究模糊命題的邏輯為連續(xù)性邏輯。由于模糊命題的真值表現(xiàn)為其模糊變量對應模糊集合的隸屬函數(shù)值，模糊命題邏輯本質(zhì)上是模糊邏輯。設x為模糊命題A的真值，y為模糊命題B的真值，則模糊邏輯有以下運算規(guī)則：1)邏輯交：xy=min(x,y)2)代數(shù)積：x·y=xy3)限界積：xy=max{0，x+y-1}三角范式

x，y=14)強積：xy=y，x=10，x<1,y<1第97頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17975)邏輯并：xy=max(x,y)代數(shù)和：x+y=x+y-xy7)限界和：xy=1(x+y)三角協(xié)范式

x，y=08)強和：xy=y，x=01，x>0,y>0

9)不相交和：xΔy=max{min(x,1-y),min(1-x,y)}10)邏輯非：x=1-x11)限界差：x-y=0(x-y)12)蘊涵：xy=1(1-x+y)13)等價：xy=(1-x+y)(1-y+x)7.4.2模糊邏輯第98頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17987.4.2模糊邏輯例.設x=0.7,y=0.8xy=max(0.7,0.8)=0.8,xy=min(0.7,0.8)=0.7x·y=0.70.8=0.56,x+y=0.7+0.8-0.56=0.94xy=1(0.7+0.8)=1,xy=0(0.7+0.8-1)=0.5xy=0,xy=1x=1-0.7=0.3,x-y=0(0.7-0.8)=0xy=1(1-0.7+0.8)=1xy=(1-0.7+0.8)(1-0.8+0.7)=0.9第99頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/17997.4.3模糊語言1.語言變量語言變量實際上是一種模糊變量，它用語句而不是用數(shù)學表達式來表達變量的值，通過引入語言變量構(gòu)成模糊語言邏輯。定義語言變量是由一個五元體(N,T(N),U,M,G)來表征的變量，五元體中個元素的含義為：1)N是變量名稱；2)T(N)是N的語言真值集合；3)U是N的論域；4)M是語義規(guī)則；5)G是詞法規(guī)則.第100頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/171007.4.3模糊語言例如討論年齡問題語言變量N的名稱為年齡，其取值可以是幼年、少年、青年、中年、老年、極老年等；語言真值集合T(N)=T(年齡)=“幼年”+“少年”+“青年”+“中年”+“老年”+“極老年”,顯然每個語言真值都是論域U上的模糊集合；有關年齡的論域U可以取[0,120]；語義規(guī)則表示為M(x)，它規(guī)定了論域U中元素對語言真值集合T(N)的隸屬度詞法規(guī)則G規(guī)定原子詞以及原子項構(gòu)成合成項的語義變化。如A且B=A

B第101頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/171017.4.3模糊語言年老0.70.80.91.0年齡年輕很年輕0152025306065758012010.90.810.80.7語言變量語法規(guī)則語言真值語義規(guī)則論域語言變量的五元體第102頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/171027.4.3模糊語言強化算子H4H3H2H1.5極其非常很相當?shù)阕親0.8H0.6H0.4H0.2比較略稍許有點2.語言算子1)語氣算子:表示語氣程度的模糊量詞，有集中化算子和散漫化算子兩種語氣算子。用H表示語氣算子，若模糊集為A，則H將其映射為H

A:第103頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/171037.4.3模糊語言以“年老”一詞為例，考慮“年老”的隸屬函數(shù)：0≤x≤50x>50極老(x)=年老4(x)很老(x)=年老2(x)較老(x)=年老0.8(x)略老(x)=年老0.6(x)年老(60)=0.8極老(60)=年老4(60)=0.41很老(60)=年老2(60)=0.64較老(60)=年老0.8(60)=0.84略老(60)=年老0.6(60)=0.87尖銳化平坦化第104頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/171047.4.3模糊語言2)模糊化