作業(yè)02：整式的乘法與因式分解-2023八年級升九年級數(shù)學(xué)暑假鞏固提高作業(yè)（含解析）

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作業(yè)02：整式的乘法與因式分解-2023八年級升九年級數(shù)學(xué)暑假鞏固提高作業(yè)

一、單選題

1．下列多項(xiàng)式不能進(jìn)行因式分解的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)因式分解的方法，注意判斷，即可解答．

【詳解】解：利用完全平方公式，可得，故A不符合題意；

無法因式分解，故B符合題意；

利用完全平方公式，可得，故C不符合題意；

利用平方差公式，可得，故D不符合題意，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解題的關(guān)鍵．

2．我們學(xué)習(xí)的“冪的運(yùn)算”有四種：①同底數(shù)冪的乘法，②同底數(shù)冪的除法，③冪的乘方，④積的乘方．在“”的運(yùn)算過程中，運(yùn)用了上述冪的運(yùn)算中的（）

A．①②B．③④C．①③④D．①②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方等于各因式乘方的積；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，進(jìn)而得出答案即可．

【詳解】解：

（利用積的乘方得到），

（利用冪的乘方得到），

故運(yùn)算過程中，運(yùn)用了上述的運(yùn)算中的③和④，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪除法，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

3．下列式子運(yùn)算正確的是()

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則及多項(xiàng)式乘法運(yùn)算公式對每一選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，即可得到解答．

【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、，故此選項(xiàng)正確，符合題意；

C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，熟練掌握冪的運(yùn)算法則或公式是解題關(guān)鍵．

4．有4張長為、寬為的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長為的正方形，圖中陰影部分的面積為，空白部分的面積為．若，則、滿足（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】先用含有、的代數(shù)式分別表示，，再根據(jù)，得，整理，得，所以．

【詳解】解：由題意可得：

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合并熟練運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

5．如圖所示的運(yùn)算程序中，如果開始輸入的x的值為，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為，第二次輸出的結(jié)果為2，…，則第2023次輸出的結(jié)果為（）

A．B．2C．D．

【答案】C

【分析】計(jì)算出第次，第次的輸出結(jié)果，發(fā)現(xiàn)輸出結(jié)果以、、為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，然后計(jì)算即可．

【詳解】解：∵第次輸出的結(jié)果為，

第次輸出的結(jié)果為，

∴第次輸出的結(jié)果為，

第次輸出的結(jié)果為，

∴輸出結(jié)果以、、為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

∵，

∴第2023次輸出的結(jié)果為，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

6．在長方形內(nèi)，將一張邊長為a的正方形紙片和兩張邊長為b的正方形紙片（），按圖1，圖2兩種方式放置（兩個(gè)圖中均有重疊部分），矩形中未被這三張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，當(dāng)時(shí)，若知道下列條件，能求值的是（）

A．邊長為a的正方形的面積

B．邊長為b的正方形的面積

C．邊長為a的正方形的面積與兩個(gè)邊長為b的正方形的面積之和

D．邊長a與b之差

【答案】B

【分析】通過“割補(bǔ)法”分別表示出、，進(jìn)而可得到．

【詳解】解：設(shè)，則

由可得：

由圖可得：

故若邊長為b的正方形的面積，即可求出的值．

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查利用“割補(bǔ)法”求解不規(guī)則圖形的面積，以及“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想．在圖中，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．

7．下列計(jì)算正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算即可求解．

【詳解】A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、，故此選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，同底數(shù)冪的運(yùn)算，冪的乘方運(yùn)算，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

8．已知三個(gè)實(shí)數(shù)滿足，則（）

A．≥0B．≤0C．≥0D．≤0

【答案】C

【分析】把變形得到再代入中計(jì)算即可．

【詳解】∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得，

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題主要考查代數(shù)式求值，考查的知識(shí)點(diǎn)相對較多，包括不等式的求解、完全平方公式等，另外還要求有充分利用已知條件的能力．

9．如圖，在線段上取一點(diǎn)，分別以、為邊作正方形、正方形．這兩個(gè)正方形的面積和為20，的面積為，則的長度是（）

A．2B．3C．D．

【答案】B

【分析】設(shè)正方形的邊長為，，則，根據(jù)題意，列出方程，求解即可．

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為，，則，

的面積為，

，

，

兩個(gè)正方形的面積和為20，

，

，

，

將代入得，，

，

解得：或（不合題意，舍去），

的長度為3，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的運(yùn)用，正方形的面積，三角形的面積，正確得出方程是解題的關(guān)鍵，注意整體代入思想的運(yùn)用．

10．下列運(yùn)算正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可解答．

【詳解】解：A、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、，故本選項(xiàng)符合題意．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則是正確解答的前提．

二、填空題

11．分解因式：________．

【答案】

【分析】先提取公因式4，再利用完全平方公式分解因式即可．

【詳解】解：，

，

．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了綜合運(yùn)用提取公因式和公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．

12．已知，，則________；如圖，在正方形ABCD中，，，長方形BGLF的面積為4，其中四邊形AFLJ，GCIL，KLMN均為正方形，則圖中陰影部分的面積之和為________．

【答案】624

【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求出的值；設(shè)大陰影正方形的邊長為，小陰影正方形的邊長為，根據(jù)最大正方形面積兩個(gè)陰影正方形面積兩個(gè)空白長方形面積，小空白正方形邊長相等列出等量關(guān)系，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：∵，，

∴，

∴，

∴；

在正方形中，設(shè)大陰影正方形的邊長為，小陰影正方形的邊長為，

∵，，長方形的面積為4，四邊形為正方形，

根據(jù)題意有，，

∴，，

∴，

即圖中陰影部分的面積之和為24．

故答案為：6；24．

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式在幾何中的運(yùn)用，靈活運(yùn)用完全平方公式并結(jié)合圖形列出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

13．已知，則代數(shù)式的值為_____．

【答案】8

【分析】利用完全平方公式變形，可得答案．

【詳解】解：∵，

∴

故答案為：8．

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．

14．的三邊a，b，c為互不相同的整數(shù)，且，則的周長為______．

【答案】13

【分析】將原式變形后進(jìn)行因式分解可得到，再利用三角形的三邊關(guān)系以及三邊都是互不相同的整數(shù)這兩個(gè)條件加以分析即可得出答案．

【詳解】解：

∴

，，為互不相同的整數(shù)，且是的三邊

，，也是互不相同的正整數(shù)，且都大于1．

故可分為以下3種情況：

（1），即的三邊長分別為1，6，8；由三角形的三邊關(guān)系可知不合題意，舍去．

（2），即的三邊長分別為2，5，6；由三角形的三邊關(guān)系可知符合題意．

（3），即的三邊長分別為1，2，20；由三角形的三邊關(guān)系可知不合題意，舍去．

∴綜上所述：的周長為

綜上可知，的周長為13．

故答案為13．

【點(diǎn)睛】本題是一道結(jié)合因式分解和三角形三邊關(guān)系的綜合性題目，有一定難度，能將原式變形后進(jìn)行因式分解是解出此題的關(guān)鍵．考生們也應(yīng)該多加練習(xí)這種形式的因式分解習(xí)題，做到熟能生巧．

15．如圖，大長方形中放5張長為a，寬為b的相同的小長方形（各小長方形之間不重疊且不留空隙），若陰影部分面積為74，大長方形的周長為42，則小長方形的面積為________．

【答案】6

【分析】根據(jù)陰影部分面積為74，大長方形的周長為42，列式整理求得，然后根據(jù)完全平方公式求出，進(jìn)而可得的值，問題得解．

【詳解】解：由圖可知：大長方形的長為，寬為，

∵陰影部分面積為74，大長方形的周長為42，

∴，

整理得：，

∴，

∴，

∴，即小長方形的面積為6，

故答案為：6．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法和完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)長方形的面積公式和周長公式列出等式是解題的關(guān)鍵．

16．已知，則________．

【答案】1

【分析】根據(jù)題意可得，即，然后把整體代入所求式子中進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，正確根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．

17．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（按的次數(shù)由大到小的順序）．

…

請依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是______．

【答案】

【分析】根據(jù)資料提示確定展開式中與的指數(shù)關(guān)系，再確定系數(shù)的關(guān)系，由此即可求解．

【詳解】解：根據(jù)材料提示可知，，其中的指數(shù)從逐次遞減直到次數(shù)為，的指數(shù)從逐次遞增直到次數(shù)為，

∴，

∴，

∴含項(xiàng)的系數(shù)是，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，數(shù)字規(guī)律，理解題目中數(shù)字規(guī)律，掌握乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

18．如圖，在長方形中，，，點(diǎn)，是、上的點(diǎn)，且，分別以、為邊在長方形外側(cè)作正方形和，若長方形的面積為平方單位，則圖中陰影部分的面積和為____平方單位．

【答案】

【分析】設(shè)設(shè)，，則根據(jù)題意可得，，，故，，再由，即可求出陰影部分的面積．

【詳解】解：設(shè)，，

由題意得，，，

即，，

∵長方形的面積為平方單位，

∴，

又∵，

∴

，

∴陰影部分的面積和為平方單位，

故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)題意列式和掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

19．已知當(dāng)和時(shí)，多項(xiàng)式的值相等，且，則當(dāng)時(shí)，此多項(xiàng)式的值為___________．

【答案】46

【分析】將和時(shí)，分別代入多項(xiàng)式，根據(jù)值相等得出，再根據(jù)得出，最后代入求解即可．

【詳解】解：

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∵當(dāng)和時(shí)，多項(xiàng)式的值相等，

∴，則，

∴或，

整理得：或

∵，

∴，則，

∴當(dāng)，，

故答案為：46．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，得出關(guān)于p和q的關(guān)系式，掌握整式的運(yùn)算法則．

20．下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是___________．

①若，，則可表示為；

②若的運(yùn)算結(jié)果中不含項(xiàng)，則；

③若，，則；

④若，則x只能是2．

【答案】①②/②①

【分析】①利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則可知，此選項(xiàng)是正確的；

②利用整式乘法法則展開后可知，此選項(xiàng)是正確的；

③根據(jù)已知，利用完全平方公式可知，此選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

④冪結(jié)果是1，則有兩種情況，要么底數(shù)是1，要么指數(shù)為0，此選項(xiàng)錯(cuò)誤．

【詳解】解：①若，，

則

，

故此選項(xiàng)正確；

②

∵不含有項(xiàng)，

∴，

∴，

故此選項(xiàng)是正確的；

③∵

，

∴，

故此選項(xiàng)是錯(cuò)誤的

④，

當(dāng)時(shí)，，成立；

當(dāng)時(shí)，，成立，

故此選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．

故答案為：①、②．

【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算法則，多項(xiàng)式乘法，完全平方公式，乘方運(yùn)算；掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

三、解答題

21．先化簡，再求值：，其中．

【答案】，

【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則，將代數(shù)式化成最簡形式，將字母值代入求解．

【詳解】解：原式

．

當(dāng)時(shí)，原式

【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，求代數(shù)式值，掌握法則是解題的關(guān)鍵．

22．利用因式分解說明：當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，能被24整除．

【答案】見解析

【分析】將和分別看做整體，用平方差公式進(jìn)行因式分解，所得的結(jié)果中含有因式24，即可求證．

【詳解】解：

，

∴能被24整除．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式．

23．[閱讀材料]分解因式：．

解：把代入，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0，由此確定中有因式，可設(shè)（為常數(shù)），通過展開多項(xiàng)式或代入合適的的值即可求出的值．我們把這種分解因式的方法叫“試根法”．

根據(jù)以上閱讀材料，完成下列問題：

(1)請完成下列因式分解：

__________；__________．

(2)請你用“試根法”分解因式：；

(3)①若多項(xiàng)式（，為常數(shù)）分解因式后，有一個(gè)因式是，求代數(shù)式的值；

②若多項(xiàng)式含有因式和，求的值．

【答案】(1)，

(2)

(3)①；②100

【分析】（1）將展開得到，對應(yīng)相等即可得到的值，從而得到答案，同理即可求出因式分解的答案；

（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，展開等式右邊的括號之后，對應(yīng)相等，即可得到的值，從而得到答案；

（3）①根據(jù)題意得，時(shí)，，把代入可得，由，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；②根據(jù)題意得，和時(shí)，把和代入得關(guān)于的二元一次方程組，解方程組即可得到答案．

【詳解】（1）解：把代入，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0，由此確定中有因式，可設(shè)（為常數(shù)），

則，

，

，

把代入，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0，由此確定中有因式，

可設(shè)（為常數(shù)），

則，

，

，

故答案為：，；

（2）解：當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，

則，

，

，

∴，

；

（3）解：①根據(jù)題意得，時(shí)，，

把代入，得，

∴，

∴；

②根據(jù)題意得，和時(shí)，

把和代入得，

，

整理得：，

解得：，

．

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解二元一次方程組，解本題的關(guān)鍵是理解試根法進(jìn)行因式分解．

24．甲、乙兩商場對某商品進(jìn)行促銷，已知甲商場原售價(jià)為元，乙商場原售價(jià)為b元．

(1)甲商場將該商品降價(jià)后銷售，乙商場將該商品降價(jià)2元，若在甲商場花60元能買到的件數(shù)，在乙商場需花費(fèi)70元才能買到，請用含的代數(shù)式表示；

(2)在（1）的條件下，若甲商場降價(jià)后的售價(jià)為12元，求的值；

(3)若，甲、乙兩商場把該商品均按原價(jià)進(jìn)行了兩次降價(jià)，降價(jià)的百分比如下表所示，其中．

商場第一次降價(jià)百分比第二次降價(jià)百分比

甲

乙

如果你是消費(fèi)者，你會(huì)選擇去哪家商場更劃算請說明理由．

【答案】(1)

(2)16

(3)去甲商場更劃算，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)甲商場花60元能買到的件數(shù)，在乙商場需花費(fèi)70元才能買到，列出式子，即可求解；

（2）先求出a的值，代入即可求出b的值；

（3）表示出甲、乙商場按原價(jià)進(jìn)行了兩次降價(jià)后的價(jià)格，然后比較大小，即可求解．

【詳解】（1）由題意得：購買的件數(shù)為，

乙商場將該商品降價(jià)2元后的單價(jià)為

整理得：

（2）由題意得：，解得：，

∴，

（3）由題意得：甲商場按原價(jià)進(jìn)行了兩次降價(jià)后的價(jià)格為：

乙商場按原價(jià)進(jìn)行了兩次降價(jià)后的價(jià)格為：

∴

∵，

∴

∴

∴甲商場的價(jià)格便宜，

∴去甲商場更劃算．

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式和完全平方公式，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件列出代數(shù)式．

25．先化簡，再求值：，其中．

【答案】，54

【分析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號，然后合并同類項(xiàng)化簡，最后代值計(jì)算即可．

【詳解】解：

，

當(dāng)，原式．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡求值，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

26．著名數(shù)學(xué)教育家G波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”．這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請先觀察下列等式找出規(guī)律，并解答問題．

①；

②；

③；

④；

⑤

……………

(1)等式⑥是___________．

(2)___________（n為正整數(shù)）．

(3)求的值．

【答案】(1)

(2)（n為正整數(shù)）

(3)11375

【分析】（1）根據(jù)所給式子可直接寫出第⑥個(gè)式子；

（2）根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可；

（3）根據(jù)前面式子的特點(diǎn)，通過變形可以求得計(jì)算出結(jié)果即可．

【詳解】（1）觀察規(guī)律可得等式⑥是，

故答案為：；

（2）

=

=（n為正整數(shù)）．

故答案為：（n為正整數(shù)）

（3）

=

=

=11375

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給的式子，探索出式子的一般規(guī)律，并能靈活應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．

27．【問題情景】

將下列完全平方式進(jìn)行因式分解，將結(jié)果直接寫在橫線上．；；______；

【探究發(fā)現(xiàn)】觀察以上多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)：；；；

【歸納猜想】若多項(xiàng)式（，）是完全平方式，則，，之間存在的數(shù)量關(guān)系為；

【驗(yàn)證結(jié)論】小明驗(yàn)證歸納猜想中的結(jié)論的過程如下，請補(bǔ)全小明的驗(yàn)證過程；______．

∵是完全平方式，

∴______，即．

【解決問題】

①若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，求的值；

②若多項(xiàng)式加上一個(gè)含字母的單項(xiàng)式就能變形為一個(gè)完全平方式，請直接寫出所有滿足條件的單項(xiàng)式．

【答案】問題情境：；驗(yàn)證結(jié)論：；；；解決問題：①；②，或

【分析】問題情境：根據(jù)完全平方公式分解因式即可；

驗(yàn)證結(jié)論：利用配方法進(jìn)行驗(yàn)證即可；

解決問題：①利用題目中得出的結(jié)論列出關(guān)于n的方程，解方程即可；

②分兩種情況進(jìn)行討論，寫出所有滿足條件的單項(xiàng)式即可．

【詳解】解：問題情境：，

故答案為：．

驗(yàn)證結(jié)論：

∵是完全平方式，

∴，即．

故答案為：；；；

解決問題：①∵多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，

∴，

解得：；

②當(dāng)添加的含字母y的單項(xiàng)式為中間項(xiàng)時(shí)，

∵，

∴此時(shí)需要添加的單項(xiàng)式為或；

當(dāng)添加的含字母y的單項(xiàng)式為平方項(xiàng)時(shí)，

∵，

∴此時(shí)需要添加的單項(xiàng)式為；

綜上分析可知，需要添加的含y的單項(xiàng)式為，或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用完全平方公式分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，．

28．先化簡，再求值：，其中，．

【答案】，

【分析】先根據(jù)乘法公式算乘法，然后合并同類項(xiàng)，最后代入計(jì)算即可．

【詳解】解：原式

當(dāng)，時(shí)，

原式．

【點(diǎn)睛】本題考查整式乘法的化簡求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

29．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1是一個(gè)長為、寬為的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．那么圖2中的陰影部分的面積為：_______（用a，b的代數(shù)式表示）；觀察圖2，請你寫出，，之間的等量失系是________；

【靈活應(yīng)用】（2）運(yùn)用所得到的公式計(jì)算：若x，y為實(shí)數(shù)，且，，求的值；

【拓展遷移】（3）將兩塊全等的特制直角三角板，按如圖3所示的方式放置，A，O，D在同一直線上，連接AC，BD．若，，求陰影部分的面積．

【答案】（1），；（2）；（3）48

【分析】（1）圖2中陰影部分的面積可以用兩種方法得到，先表示陰影部分的邊長，再表示面積，二是圖2大正方形面積減去圖1的面積，然后再化簡即可得出三個(gè)代數(shù)式之間的關(guān)系；

（2）利用（1）中關(guān)系，整體代入求值即可；

（3）根據(jù)兩塊全等的特制直角三角板可得，進(jìn)而得到，設(shè)，根據(jù)已知條件、列方程求得y，進(jìn)而求得影音部分的面積即可．

【詳解】解：（1）圖2中，陰影部分的邊長為的正方形，因此面積為，

也可以從邊長為的正方形面積減去圖1的面積，即,則

故答案為：，；

（2）由（1）可得

∴，

∴，解得：；

（3）∵兩塊直角三角板全等，

∴，

∵點(diǎn)A，O、D在同一直線上，點(diǎn)B，O，C也在同一直線上，

∴，

設(shè)，

∴，

∵，即

∴

∵，

∴，解得：，

∴,

∴陰影部分的面積為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是完全平方公式及其變形的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練地運(yùn)用完全平方公式的幾何變形是解答本題的關(guān)鍵．

30．閱讀理解以下材料內(nèi)容：

完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．

例：若，，求的值．

解：∵，，∴，．

∴．∴．

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若，，求的值；應(yīng)用以上知識(shí)進(jìn)行思維拓展；

(2)如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，若，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根據(jù)材料提示，將變形為，即可求解；

（2）設(shè)，可得，，，，由此即可求解．

【詳解】（1）解：∵，

∴，，

∴，

∴．

（2）解：設(shè)，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∵

∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的變形，理解并掌握完全平方公式的變形，幾何圖形面積與完全平方公式的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）

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作業(yè)02：整式的乘法與因式分解-2023八年級升九年級數(shù)學(xué)暑假鞏固提高作業(yè)

一、單選題

1．下列多項(xiàng)式不能進(jìn)行因式分解的是（）

A．B．C．D．

2．我們學(xué)習(xí)的“冪的運(yùn)算”有四種：①同底數(shù)冪的乘法，②同底數(shù)冪的除法，③冪的乘方，④積的乘方．在“”的運(yùn)算過程中，運(yùn)用了上述冪的運(yùn)算中的（）

A．①②B．③④C．①③④D．①②③④

3．下列式子運(yùn)算正確的是()

A．B．C．D．

4．有4張長為、寬為的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長為的正方形，圖中陰影部分的面積為，空白部分的面積為．若，則、滿足（）

A．B．C．D．

5．如圖所示的運(yùn)算程序中，如果開始輸入的x的值為，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為，第二次輸出的結(jié)果為2，…，則第2023次輸出的結(jié)果為（）

A．B．2C．D．

6．在長方形內(nèi)，將一張邊長為a的正方形紙片和兩張邊長為b的正方形紙片（），按圖1，圖2兩種方式放置（兩個(gè)圖中均有重疊部分），矩形中未被這三張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，當(dāng)時(shí)，若知道下列條件，能求值的是（）

A．邊長為a的正方形的面積

B．邊長為b的正方形的面積

C．邊長為a的正方形的面積與兩個(gè)邊長為b的正方形的面積之和

D．邊長a與b之差

7．下列計(jì)算正確的是（）

A．B．C．D．

8．已知三個(gè)實(shí)數(shù)滿足，則（）

A．≥0B．≤0C．≥0D．≤0

9．如圖，在線段上取一點(diǎn)，分別以、為邊作正方形、正方形．這兩個(gè)正方形的面積和為20，的面積為，則的長度是（）

A．2B．3C．D．

10．下列運(yùn)算正確的是（）

A．B．C．D．

二、填空題

11．分解因式：________．

12．已知，，則________；如圖，在正方形ABCD中，，，長方形BGLF的面積為4，其中四邊形AFLJ，GCIL，KLMN均為正方形，則圖中陰影部分的面積之和為________．

13．已知，則代數(shù)式的值為_____．

14．的三邊a，b，c為互不相同的整數(shù)，且，則的周長為______．

15．如圖，大長方形中放5張長為a，寬為b的相同的小長方形（各小長方形之間不重疊且不留空隙），若陰影部分面積為74，大長方形的周長為42，則小長方形的面積為________．

16．已知，則________．

17．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（按的次數(shù)由大到小的順序）．

…

請依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是______．

18．如圖，在長方形中，，，點(diǎn)，是、上的點(diǎn)，且，分別以、為邊在長方形外側(cè)作正方形和，若長方形的面積為平方單位，則圖中陰影部分的面積和為____平方單位．

19．已知當(dāng)和時(shí)，多項(xiàng)式的值相等，且，則當(dāng)時(shí)，此多項(xiàng)式的值為___________．

20．下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是___________．

①若，，則可表示為；

②若的運(yùn)算結(jié)果中不含項(xiàng)，則；

③若，，則；

④若，則x只能是2．

三、解答題

21．先化簡，再求值：，其中．

22．利用因式分解說明：當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，能被24整除．

23．[閱讀材料]分解因式：．

解：把代入，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0，由此確定中有因式，可設(shè)（為常數(shù)），通過展開多項(xiàng)式或代入合適的的值即可求出的值．我們把這種分解因式的方法叫“試根法”．

根據(jù)以上閱讀材料，完成下列問題：

(1)請完成下列因式分解：

__________；__________．

(2)請你用“試根法”分解因式：；

(3)①若多項(xiàng)式（，為常數(shù)）分解因式后，有一個(gè)因式是，求代數(shù)式的值；

②若多項(xiàng)式含有因式和，求的值．

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