第四章-直梁的彎曲

NanjingUniversityofTechnology《食品機械基礎(chǔ)》第一篇工程力學基礎(chǔ)授課教師：仲兆祥第四章梁的彎曲彎曲的概念與梁的分類

12梁的內(nèi)力分析

3純彎曲時梁的正應(yīng)力及正應(yīng)力強度條件

拉壓桿：承受軸向拉、壓力軸：承受扭矩§4-1平面彎曲的概念梁的類型起重機大梁目錄P鏜刀桿目錄P火車輪軸目錄火車輪軸簡化PP彎曲特點：以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。受力特點：受到垂直于桿件軸線的外力（即橫向力）或力偶的作用變形特點：桿件的軸線由原來的直線變成曲線以下截面都具有對稱軸：圓形截面，矩形截面

工字鋼，T型鋼等。對稱軸與梁的軸線構(gòu)成梁的縱向?qū)ΨQ面以下截面都具有對稱軸：圓形截面，矩形截面

工字鋼，T型鋼等。具有縱向?qū)ΨQ面外力都作用在此面內(nèi)彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線平面彎曲梁載荷的分類qq(x)均勻分布載荷線性（非均勻）分布載荷P2)集中力TT3)集中力偶T1)分布載荷載荷集度q(N/m)注意還有支座反力!!!MA固定支座（fixedsupport)XAYAA滾動鉸支座

(rollersupport)YAA固定鉸支座

(pinsupport)YAXA支座種類支座反力AB

簡支梁AP2P1YBYAXA梁的類型懸臂梁ABP1P2MAYAXAP1P2外伸梁ABCYAYBXA跨度：簡支梁或外伸梁的兩支座間的距離稱為梁的跨度簡支梁外伸梁懸臂梁Pmnxl力矩平衡：M-P(l-x)=0剪力：Q=P彎矩：M=P(l-x)力平衡：Q-P=0PQM（按左半邊梁，能算出Q、M嗎？）QM§4-2梁彎曲時的內(nèi)力注意:當梁的跨度(兩支點間的距離)較大時，剪力相比于彎矩較小，在工程上可不考慮剪力的作用，只考慮彎矩。符號約定

FS

左上右下FS>0

左下右上FS<0

或者對截面內(nèi)側(cè)任一點取矩

順時針FS>0

逆時針FS<0

M左順右逆M>0

左逆右順M<0

或者根據(jù)彎曲變形

上凹下凸M>0

上凸下凹M<0MMMM彎矩為正彎矩為負梁任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于此截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有橫向外力的代數(shù)和。

符號：左側(cè)梁上向上的外力（或右側(cè)梁上向下的外力）引起正剪力；反之引起負剪力。2.梁任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于此截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力對該截面形心之力矩的代數(shù)和。

符號：在左側(cè)梁上的外力偶，順時針轉(zhuǎn)向的產(chǎn)生正值彎矩，反之產(chǎn)生負值彎矩；在右側(cè)梁上的外力偶，逆時針轉(zhuǎn)向的產(chǎn)生正值彎矩，反之產(chǎn)生負值彎矩。在實際計算中可不必將梁假想地截開，而是直接從橫截面的任意一側(cè)梁上的外力來求該橫截面上的剪力和彎矩。通過外力計算例一

求下圖所示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：1、求支反力2、計算1-1截面的內(nèi)力3、計算2-2截面的內(nèi)力F=8kNFAFBq=12kN/m

§4-3彎矩圖

梁橫截面上的剪力與彎矩，一般隨橫截面的位置而變化，以坐標x表示橫截面位置，則剪力與彎矩可表示為x的函數(shù)：剪力圖與彎矩圖的作法：1）先求得梁的支座反力；2）列出剪力方程與彎矩方程；3）選擇適當?shù)谋壤?，以x為橫坐標，剪力與彎矩為縱坐標，按方程作圖。1.剪力、彎矩方程：

2.剪力、彎矩圖：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。例二作圖示懸臂梁AB的剪力圖和彎矩圖。xFSFFlMFlAB

例三在圖示簡支梁AB的C點處作用一集中力F，作該梁的剪力圖和彎矩圖。

由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。FabClAB解：1、求支反力2、建立剪力方程和彎矩方程FAFBFSMlFab/梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力－

純彎曲梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力－

橫力彎曲§4-4純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力F一、實驗觀察和假設(shè)推論研究對象：等截面直梁研究方法：實驗——觀察——假設(shè)1、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成互相平行的弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。2、變形前垂直于縱向線的橫向線,變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對轉(zhuǎn)動了一個角度。1、平面假設(shè)：橫截面變形后保持為平面，并仍垂直于變形后的梁軸線，只是繞截面內(nèi)某一軸線偏轉(zhuǎn)了一個角度。2、互不擠壓假設(shè)：所有縱向纖維只受到軸向拉伸或壓縮，相互之間沒有擠壓。結(jié)論：1、純彎曲時梁的變形本質(zhì)上是拉伸或壓縮變形，而非剪切變形，梁橫截面寬度的改變是縱向纖維的橫向變形引起的；2、橫截面上只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力；凹側(cè)纖維縮短，凸側(cè)纖維伸長。因此凹側(cè)受壓縮，存在壓縮應(yīng)力；凸側(cè)受拉伸，存在拉伸應(yīng)力；3、梁內(nèi)既沒有伸長也沒有縮短的纖維層，叫做中性層，中性層與橫截面的交線叫中性軸，中性層將梁分成受壓和受拉區(qū)，即中性層一側(cè)作用拉伸應(yīng)力，另一側(cè)作用壓縮應(yīng)力，中性層上正應(yīng)力為零，梁橫截面的偏轉(zhuǎn)就是繞其中性軸旋轉(zhuǎn)的。中性層中性軸Zydx1、幾何關(guān)系變形前二、彎曲正應(yīng)力公式的推導1、幾何關(guān)系純彎曲時梁橫截面上各點的縱向正應(yīng)變沿截面高度方向呈線性分布，中性軸處正應(yīng)變?yōu)榱?，中性軸兩側(cè)分別為拉應(yīng)變和壓應(yīng)變，距中性軸最遠處，正應(yīng)變的絕對值最大。

zy2、物理關(guān)系胡克定理將

代入，得(a)橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律：1、受拉區(qū)拉應(yīng)力，受壓區(qū)壓應(yīng)力；2、中性軸上應(yīng)力為零；3、沿y軸線性分布，同一高度處，正應(yīng)力相等，即沿截面寬度均勻分布；4、最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠處，即截面邊緣處；若截面對稱于中性軸，則最大拉應(yīng)力等于最大壓應(yīng)力MMsmaxsmaxσmaxσmaxxzyyбdAcM因：將(a)式代入(b)，于是有：即：由此可見，中性軸過截面形心。(b)(c)3、靜力學關(guān)系(a)截面對Z軸靜矩將(a)式代入(c)并令得：由此可知，中性層的曲率為：

Iz為截面對Z軸的軸慣性矩，單位為m4或mm4

中性層的曲率1/ρ與彎矩M成正比，與EIz成反比?？梢?，EIz的大小直接決定了梁抵抗變形的能力，因此稱EIz為梁的截面抗彎剛度，簡稱為抗彎剛度。將上式代入(a)式，得：正應(yīng)力公式變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學關(guān)系為梁彎曲變形后的曲率為曲率半徑4、橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力抗彎截面模量，單位為m3或mm3

三、彎曲正應(yīng)力公式的適用范圍1、純彎曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的橫截面將發(fā)生翹曲，同時橫向力將使梁的縱向纖維間產(chǎn)生局部擠壓應(yīng)力。彈性力學精確分析表明，當跨度l與橫截面高度h之比l/h>5（細長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立；2、具有縱向?qū)ΨQ面的各種截面形狀的梁，但注意中性軸不是橫截面的對稱軸時，上下表面的抗彎截面模量不同；3、彈性變形階段，而且拉伸或壓縮時的彈性模量相等的條件下才能用。常見截面的IZ和WZ矩形截面§4-5常用截面的軸慣性矩和抗彎截面模量空心圓截面圓截面彎曲正應(yīng)力強度條件1.等截面直梁，彎矩最大的截面的上下邊緣4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮§4-6彎曲正應(yīng)力的強度條件2.變截面梁要綜合考慮與3.如橫截面不對稱于中性軸時，上下表面抗彎截面模量不同F(xiàn)AYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K點正應(yīng)力2.C截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力4.已知E=200GPa，

C截面的曲率半徑ρ1.求支反力（壓應(yīng)力）解：例題6-1BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120K2.C截面最大正應(yīng)力C

截面彎矩C

截面慣性矩BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120K3.全梁最大正應(yīng)力最大彎矩：截面慣性矩：BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120K4.C截面曲率半徑ρC截面彎矩：C截面慣性矩：分析步驟：（1）確定危險截面（3）計算（4）計算，選擇工字鋼型號某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重材料的許用應(yīng)力起重量跨度試選擇工字鋼的型號。（2）例題6-2（4）選擇工字鋼型號（5）討論（3）根據(jù)計算（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖解：36c工字鋼如圖所示簡支梁，受均布載荷q作用，梁跨度l=2m，[σ]=140MPa，q=2KN/m，試按以下兩個方案設(shè)計軸的截面尺寸，并比較重量。qlql2/81.實心圓截面梁2.空心圓截面梁，其內(nèi)、外徑之比α=0.9。解：畫梁的彎矩圖，由彎矩圖可知，梁中點截面為危險截面，其上彎矩值為：（1）據(jù)強度條件設(shè)計實心截面梁的直徑d：例題6-3取d=42mm（2）.確定空心截面梁的內(nèi)、外徑d1及D