湖南省長沙市高塘嶺鎮(zhèn)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

湖南省長沙市高塘嶺鎮(zhèn)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從數(shù)字1，2，3中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】從數(shù)字1，2，3中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，基本事件總數(shù)n==6，則這個兩位數(shù)大于30包含的基本事件個數(shù)m=2，由此能求出這個兩位數(shù)大于30的概率．【解答】解：從數(shù)字1，2，3中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，基本事件總數(shù)n==6，則這個兩位數(shù)大于30包含的基本事件個數(shù)m=2，∴這個兩位數(shù)大于30的概率為P==．故選：B．【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．2.某幾何體的三視圖如圖（其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓），則該幾何體的表面積為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.下圖是某學(xué)校某年級的三個班在一學(xué)期內(nèi)的六次數(shù)學(xué)測試的平均成績y關(guān)于測試序號的函數(shù)圖象，為了容易看出一個班級的成績變化，將離散的點用虛線連接，根據(jù)圖象，給出下列結(jié)論：①一班的成績始終高于年級平均水平，整體成績比較好；②二班成績不夠穩(wěn)定，波動程度較大；③三班成績雖然多數(shù)時間低于年級平均水平，但在穩(wěn)步提升.其中正確結(jié)論的個數(shù)為(

)A．0

B．1

C.2

D．3參考答案：D4.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，則直線和曲線的公共點有（

）A．個

B．個

C．個

D．無數(shù)個參考答案：B5.（5分）（2013?山東）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，則c=（）A．B．2C．D．1參考答案：B【考點】：正弦定理；二倍角的正弦．【專題】：解三角形．【分析】：利用正弦定理列出關(guān)系式，將B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（經(jīng)檢驗不合題意，舍去），則c=2．故選B【點評】：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．6.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是偶函數(shù)又在(－∞,0)上單調(diào)遞增的函數(shù)是

（

）A. B. C. D.參考答案：C試題分析：A：函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，B：函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，C：函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，D：函數(shù)為奇函數(shù)．所以綜上可得：C正確．考點：函數(shù)奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性．7.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于220C”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是，總體均值為，總體方差為．則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有

(

)A．0個

B．1個 C．2個 D．3個參考答案：C甲地肯定進(jìn)入，因為眾數(shù)為22，所以22至少出現(xiàn)兩次，若有一天低于220C，則中位數(shù)不可能為24；丙地肯定進(jìn)入，，若，上式顯然不成立．乙地不一定進(jìn)入，如13，23，27，28，29．8.某數(shù)學(xué)愛好者編制了如圖的程序框圖，其中表示m除以n的余數(shù)，例如.若輸入m的值為8，則輸出i的值為（

）A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：B模擬執(zhí)行程序框圖，可得：，，，滿足條件，滿足條件，，，滿足條件，不滿足條件，，滿足條件，滿足條件，，，…，，可得：，，，∴共要循環(huán)次，故．故選B．9.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)存在零點的區(qū)間是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.已知：sinα＋cosβ＝，則cos2α＋cos2β的取值范圍是A．[－2，2]

B．[－，2]

C．[－2，]

D．[－，]參考答案：Dcos2α＋cos2β又sinα＋cosβ＝，∴cosβ=易得：∴=sinα，∴[－，].故選：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為

參考答案：12.已知為正實數(shù)，且則的最小值為

．參考答案：213.觀察下列等式：可以推測：___________(，用含有n的代數(shù)式表示)參考答案：14.已知向量，若向量與共線，則向量在向量放心上的投影為

．參考答案：015.設(shè)，，，則a，b，c三數(shù)的大小順序是_____．參考答案：【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得；根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性可得；根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，綜合可得結(jié)果.【詳解】，即：，即：，即：本題正確結(jié)果：

16.設(shè)是兩個集合，定義集合，若，，則

。參考答案：答案：17.直線

(t為參數(shù))上到點A（1，2）的距離為4的點的坐標(biāo)為___________．參考答案：【知識點】直線的參數(shù)方程N3或．解析：點為直線上的點，解得或，故P或.【思路點撥】由兩點間距離公式直接求解即可.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC1，BC的中點，點P在直線A1B1上，且（1）證明：無論入取何值，總有AM⊥PN；（2）當(dāng)入取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值。（3）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30o，若存在，試確定點P的位置，若不存在，說明理由。參考答案：解：如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則A1（0，0，1），B1（1，0，1），M（0，1，），N（，0），，（1）∵，∴∴無論取何值，AM⊥PN.........4分（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一個法向量?！鄐inθ=|cos<|=∴當(dāng)＝時，θ取得最大值，此時sinθ=,cosθ=,tanθ=2當(dāng)＝時，θ取得最大值，此時tanθ=2..........8分（3）設(shè)存在，，設(shè)是平面PMN的一個法向量。則得令x=3，得y=1+2,z=2-2∴..........10分∴|cos<>|=化簡得4∵△＝100-4413＝-108<0∴方程（*）無解∴不存在點P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30o.........12分略19.長方體中，，，是底面對角線的交點。(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求證：平面；(Ⅲ)求三棱錐的體積。參考答案：(Ⅰ)證明：依題意：，且在平面外．……2分∴平面……………4分(Ⅱ)證明：連結(jié)∵

∴平面…………5分又∵在上，∴在平面上∴

∵∴∴

∴中，……

7分同理：

∵中，∴

∴平面……………10分(Ⅲ)解：∵平面∴……………12分…………14分略20.△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c且滿足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大??；（2）若△ABC的面積為，且b=，求a+c的值．參考答案：見解析【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinA不為0，得到cosB的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（2）由B的度數(shù)求出sinB和cosB的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinB及已知的面積代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，再利用完全平方公式整理后，將b，ac及cosB的值代入，開方即可求出a+c的值．【解答】解：（1）又A+B+C=π，即C+B=π﹣A，∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，將（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，則B=；（2）∵△ABC的面積為，sinB=sin=，∴S=acsinB=ac=，∴ac=6，又b=，cosB=cos=，∴利用余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣18=3，∴（a+c）2=21，則a+c=．21.今年年初，我國多個地區(qū)發(fā)生了持續(xù)性大規(guī)模的霧霾天氣，給我們的身體健康產(chǎn)生了巨大的威脅．私家車的尾氣排放也是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力．為此，很多城市實施了機動車車尾號限行，我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：年齡（歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634（Ⅰ）完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖；（Ⅱ）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進(jìn)行進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：考點：離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（Ⅰ）由已知條件能求出圖中各組的縱坐標(biāo)，由此能完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖．（Ⅱ）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，分別求出p（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解答： 解：（Ⅰ）各組的頻率分別是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1．…所以圖中各組的縱坐標(biāo)分別是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．…∴被調(diào)查人員的頻率分布直方圖如右圖：…（Ⅱ）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3…p（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=?+?=，P（ξ=3）=?=，…∴ξ的分布列是：ξ0123P…∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=+1×+2×+3×=．…點評：本題考查頻率直方圖的作法，考查隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題