自動(dòng)控制原理第4章-根軌跡

第四章

根軌跡法

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由其閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（特征根Pi）所決定的。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）必須在s復(fù)平面的左半平面內(nèi)。第四章

根軌跡法第四章

根軌跡法

根軌跡法——不直接求解特征方程，而是用復(fù)平面上的系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)來(lái)確定系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)的圖解方法。

特點(diǎn)：

（1）圖解方法，直觀、形象。（2）適用于研究當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)性能的變化趨勢(shì)。（3）近似方法，不十分精確。第四章

根軌跡法

如圖所示單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為§4.1根軌跡的基本概念4.1.1

根軌跡該系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為P1=0，P2=-1。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的特征方程：第四章

根軌跡法第四章

根軌跡法

根軌跡是指系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)的數(shù)值從零變到無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在復(fù)平面上的變化軌跡。(1)當(dāng)0≤K<0.25時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的兩個(gè)特征根為相異負(fù)實(shí)根，此時(shí)系統(tǒng)為過(guò)阻尼狀態(tài)(2)當(dāng)K=0.25時(shí)，特征根為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，此時(shí)系統(tǒng)為臨界狀態(tài)(3)當(dāng)0.25<K<∞時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，此時(shí)系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)第四章

根軌跡法4.2.2根軌跡的幅值條件和相角條件閉環(huán)特征方程為：第四章

根軌跡法

既滿足幅值條件又滿足相角條件的S值就是特征方程的一組根，也就是一組閉環(huán)極點(diǎn)。

根軌跡上的所有點(diǎn)滿足同一個(gè)相角條件，K變動(dòng)，相角條件是不變的。所以，繪制根軌跡可以這樣進(jìn)行

首先在S平面上找出所有符合相角條件的點(diǎn)，這些點(diǎn)連成的曲線就是根軌跡，然后反過(guò)來(lái)按幅值條件求出根軌跡上任一點(diǎn)的K值。第四章

根軌跡法

式中p1,p2,…pn，為開環(huán)極點(diǎn)，z1,z2,…zm

為開環(huán)零點(diǎn)。這樣，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可以表示為：上式變形：4.2.1開環(huán)零極點(diǎn)與相角條件§4.2繪制典型根軌跡

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：——典型根軌跡方程第四章

根軌跡法所以，幅值條件為：

相角條件為：上式也可寫成：第四章

根軌跡法（2）在復(fù)平面上任取一試驗(yàn)點(diǎn)S，畫出由開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)至S的矢量。

按相角條件繪制根軌跡的具體方法:（1）在復(fù)平面上標(biāo)出開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)第四章

根軌跡法（4）計(jì)算各矢量的模和幅角，如果S是根軌跡上的一點(diǎn)，則必然滿足相角條件：（4）當(dāng)S為根軌跡上的一點(diǎn)時(shí)，可以求得開環(huán)增益：（3）標(biāo)出各開環(huán)零、極點(diǎn)至實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的幅角第四章

根軌跡法1、起點(diǎn)和終點(diǎn)

——根軌跡一定開始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。

當(dāng)n=m時(shí)：開始于n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的n條根軌跡，正好終止于m

個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。

終點(diǎn)K→∞：特征方程的根就是它的m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。4.2.2基本規(guī)則

起點(diǎn)K=0：特征方程的根就是它的n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，變形：第四章

根軌跡法

當(dāng)n<m：終止于m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)m條根軌跡，有n條來(lái)自n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，有m-n條來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處（無(wú)窮遠(yuǎn)極點(diǎn)）

當(dāng)n>m：開始于n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的n條根軌跡，有m支終止于開環(huán)零點(diǎn)，有n-m支終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處（無(wú)窮遠(yuǎn)零）第四章

根軌跡法2、分支數(shù)和對(duì)稱性

根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且一定對(duì)稱于實(shí)軸。

根據(jù)根軌跡的定義，當(dāng)K連續(xù)變化時(shí),特征方程的根也必然是連續(xù)變化的，故根軌跡具有連續(xù)性。

因?yàn)楦壽E是閉環(huán)特征方程的根，所以根軌跡的分支數(shù)必定等于閉環(huán)特征方程的根的數(shù)目。無(wú)論K如何變化特征方程始終有max(n,m)個(gè)根，所以根軌跡一定有max(n,m)支。

特征方程的根要么是實(shí)根（在實(shí)軸上）要么是共軛復(fù)根（對(duì)稱于實(shí)軸），所以根軌跡一定對(duì)稱于實(shí)軸。第四章

根軌跡法3、漸近線

當(dāng)n>m時(shí)，根軌跡一定有n-m條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)；當(dāng)n<m時(shí)，根軌跡一定有m-n條來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)。可以證明：當(dāng)n≠m時(shí)，根軌跡存在|n－m|條漸近線，且漸近線與實(shí)軸的夾角為：

所有漸近線交于實(shí)軸上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為：第四章

根軌跡法4、實(shí)軸上的根軌跡

實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)將實(shí)軸分段，其中任一段，如果其右邊實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)總數(shù)是奇數(shù)，那么該段就一定是根軌跡的一部分。

依據(jù)本法則，圖中z1和p1之間、z2和p4之間以及z3和-∞之間的實(shí)軸部分，都是根軌跡的一部分。第四章

根軌跡法

對(duì)s0右邊實(shí)軸上所有開環(huán)零、極點(diǎn)來(lái)說(shuō)：滿足相角條件。

考慮實(shí)軸上的s0，任一對(duì)共軛開環(huán)零點(diǎn)或共軛極點(diǎn)（如p2,p3）對(duì)應(yīng)的相角（θ2,θ3）之和均為3600；對(duì)s0，其左邊實(shí)軸上任一開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相角均為00，其右邊實(shí)軸上任一開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相角均為1800。第四章

根軌跡法例題1，某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出實(shí)軸上的根軌跡和s→∞時(shí)的漸進(jìn)線。解：（1）在圖上標(biāo)出開環(huán)函數(shù)極點(diǎn)p1=0，p2=-1，p3=-4(2)在實(shí)軸上(-1,0)和(-∞,-4)區(qū)間之右的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，故這兩個(gè)區(qū)間的實(shí)軸是根軌跡。

（3）本例n=3，m=0，故有三條根軌跡在K→∞時(shí)伸向無(wú)窮遠(yuǎn)，漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)為第四章

根軌跡法6、根軌跡的分離點(diǎn)①實(shí)軸上的根軌跡相向運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)相遇后進(jìn)入復(fù)平面②復(fù)平面內(nèi)的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根軌跡在實(shí)軸相遇B，然后趨向?qū)嵼S上的零點(diǎn)5、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

將s=jω代入閉環(huán)特征方程，令特征方程的實(shí)部和虛部分別等于零，可以解出ω0和K0

。

用勞斯（Roth）判據(jù)也可以求得K0第四章

根軌跡法

位于實(shí)軸上的兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間一定有分離點(diǎn)，因?yàn)槿魏我粭l根軌跡不可能開始于一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)終止于另一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)。同理，位于實(shí)軸上的兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間也一定有分離點(diǎn)。

分離點(diǎn)的座標(biāo)λ，是下列代數(shù)方程的解：

說(shuō)明：上式只是必要條件而非充分條件，也就是說(shuō)它的解不一定是分離點(diǎn)，是否是分離點(diǎn)還要看其它規(guī)則。第四章

根軌跡法

定理：若系統(tǒng)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，且在復(fù)平面存在根軌跡，則復(fù)平面的根軌跡一定是以該零點(diǎn)為圓心的圓弧。第四章

根軌跡法7、根軌跡的出射角和入射角

根軌跡從某個(gè)開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)時(shí)的切線與正實(shí)軸的夾角稱為出射角，根軌跡從開環(huán)極點(diǎn)pi出發(fā)的出射角為：

根軌跡進(jìn)入某個(gè)開環(huán)零點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角稱為入射角，根軌跡進(jìn)入開環(huán)零點(diǎn)Zl的入射角為：第四章

根軌跡法按7個(gè)基本規(guī)則繪制根軌跡圖：

首先，系統(tǒng)有三個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)，有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：p1=0，p2=-1，p3=-2，將它們標(biāo)在復(fù)平面上。4.2.3繪圖示例

根據(jù)規(guī)則1)和2)，根軌跡將有3支，分別開始于這三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。第四章

根軌跡法根據(jù)規(guī)則3)，根軌跡有3根漸近線，它們與實(shí)軸的夾角是：

所有漸近線交于實(shí)軸上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為：

根據(jù)規(guī)則4)，實(shí)軸上的[-1,0]，(-∞,-2]段是根軌跡的一部分。第四章

根軌跡法

根據(jù)規(guī)則5)，確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)

令上式中的實(shí)部和虛部分別等于零，可以得到：ω=0,K=0或因此，根軌跡在處與虛軸相交，并且交點(diǎn)處K=6

。實(shí)軸上的根軌跡在ω=0處也與虛軸相交。令特征方程中的s=jω得：K=6K=6第四章

根軌跡法

根軌跡在實(shí)軸上的[-1，0]段一定有一個(gè)分離點(diǎn)，根據(jù)規(guī)則（6），解整理得

解得λ=-0.423,λ=-1.577

，顯然只有-0.423在根軌跡上，所以分離點(diǎn)為-0.423?！さ谒恼?/p>

根軌跡法

根軌跡從p1,p2,p3出發(fā)的出射角已經(jīng)很明確，為了驗(yàn)證規(guī)則（7），我們還是計(jì)算一下：

以上根據(jù)基本規(guī)則畫出的根軌跡仍然是概略圖，它在實(shí)軸上的根軌跡、漸近線、與虛軸的交點(diǎn)是準(zhǔn)確的，其它部分就不準(zhǔn)確了。第四章

根軌跡法圖4-5（手工）圖4-5（matlab）第四章

根軌跡法294.3.1不以增益K為參量的根軌跡圖§4.4特殊根軌跡圖

常規(guī)（典型）根軌跡方程為第四章

根軌跡法301、開環(huán)零點(diǎn)為參量的根軌跡上式兩邊同除s(1+5s)+5得：所以，等價(jià)為典型根軌跡方程后，相當(dāng)于：

n=2,m=1,z1=0,p1,2=-0.1±j0.995上式等價(jià)為：

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：圖4-7(a)第四章

根軌跡法31按基本規(guī)則繪制即可：（1）起點(diǎn):p1,2=-0.1±j0.995（2）終點(diǎn)：z1=0，z2為無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)（3）漸近線：一條，與實(shí)軸的夾角為1800，交與實(shí)軸的-0.2處（4）實(shí)軸上的跟軌跡區(qū)間為（-∞，0）（5）分離點(diǎn)解得：第四章

根軌跡法32

注意：這里的z1,p1,p2

并不是圖4-7a所示系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)，而是等價(jià)為典型根軌跡方程后，等價(jià)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)，這是與典型根軌跡的主要區(qū)別。第四章

根軌跡法33例2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)解.(1)②漸近線：①實(shí)軸根軌跡：[-∞,0]，a=0→∞變化，繪制根軌跡③分離點(diǎn)：④與虛軸交點(diǎn)：構(gòu)造“等效開環(huán)傳遞函數(shù)”

第四章

根軌跡法342、開環(huán)極點(diǎn)為參量的根軌跡兩邊同除以s(s+1)+K，得：

上式中K取固定常數(shù)，T作為參量，它就是典型根軌跡方程的形式，相當(dāng)于n=2,m=3,n<m！。因?yàn)橄到y(tǒng)閉環(huán)特征方程為：第四章

根軌跡法35

如果取K=2.5，則等價(jià)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)為

這樣，用基本規(guī)則可繪出根軌跡如圖。第四章

根軌跡法36例3單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解.②漸近線：θ=1800①實(shí)軸上的根軌跡：[-∞,-587.7],[-27.7,0],T=0→∞,繪制根軌跡。④分離點(diǎn)：整理得：解根：③虛軸交點(diǎn)：第四章

根軌跡法37

如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的分子、分母的s最高次冪不同號(hào)，即（K>0）：這時(shí)特征方程變成：對(duì)應(yīng)的相角條件變成：4.3.2正反饋系統(tǒng)的根軌跡第四章

根軌跡法38

由于相角條件的改變，導(dǎo)致基本規(guī)則的3、4和7必須修改為如下的3P、4P和7P：3P、漸近線與實(shí)軸的夾角為：4P、實(shí)軸上的某一段如果其右邊實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)總數(shù)是偶數(shù)，那么該段就一定是根軌跡的一部分。7P、根軌跡的出射角和入射角公式中的1800均改為3600。第四章

根軌跡法39[例4-3]考慮圖示系統(tǒng),設(shè)其中:試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解：(1)在復(fù)平面上畫出開環(huán)零、極點(diǎn)p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，z1=-2(2)實(shí)軸上根軌跡存在于(-2,+∞)及(-3,-∞)之間(3)根軌跡的漸進(jìn)線，本例有n-m=2條根軌跡趨于無(wú)窮，其交角第四章

根軌跡法40與實(shí)軸的交點(diǎn)表明：兩條漸進(jìn)線從-1.5開始沿實(shí)軸趨于無(wú)窮。(4)確定分離點(diǎn)。由方程：得：第四章

根軌跡法41(5)確定出射角。對(duì)于p1點(diǎn)，對(duì)于p2點(diǎn)，由于對(duì)稱第四章

根軌跡法424.3.1不以增益K為參量的根軌跡圖§4.4特殊根軌跡圖

常規(guī)（典型）根軌跡方程為第四章

根軌跡法431、開環(huán)零點(diǎn)為參量的根軌跡上式兩邊同除s(1+5s)+5得：所以，等價(jià)為典型根軌跡方程后，相當(dāng)于：

n=2,m=1,z1=0,p1,2=-0.1±j0.995上式等價(jià)為：

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：圖4-7(a)第四章

根軌跡法44按基本規(guī)則繪制即可：（1）起點(diǎn):p1,2=-0.1±j0.995（2）終點(diǎn)：z1=0，z2為無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)（3）漸近線：一條，與實(shí)軸的夾角為1800，交與實(shí)軸的-0.2處（4）實(shí)軸上的跟軌跡區(qū)間為（-∞，0）（5）分離點(diǎn)解得：第四章

根軌跡法45

注意：這里的z1,p1,p2

并不是圖4-7a所示系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)，而是等價(jià)為典型根軌跡方程后，等價(jià)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)，這是與典型根軌跡的主要區(qū)別。第四章

根軌跡法46例2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)解.(1)②漸近線：①實(shí)軸根軌跡：[-∞,0]，a=0→∞變化，繪制根軌跡③分離點(diǎn)：④與虛軸交點(diǎn)：構(gòu)造“等效開環(huán)傳遞函數(shù)”

第四章

根軌跡法472、開環(huán)極點(diǎn)為參量的根軌跡兩邊同除以s(s+1)+K，得：

上式中K取固定常數(shù)，T作為參量，它就是典型根軌跡方程的形式，相當(dāng)于n=2,m=3,n<m！。因?yàn)橄到y(tǒng)閉環(huán)特征方程為：第四章

根軌跡法48

如果取K=2.5，則等價(jià)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)為

這樣，用基本規(guī)則可繪出根軌跡如圖。第四章

根軌跡法49例3單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解.②漸近線：θ=1800①實(shí)軸上的根軌跡：[-∞,-587.7],[-27.7,0],T=0→∞,繪制根軌跡。④分離點(diǎn)：整理得：解根：③虛軸交點(diǎn)：第四章

根軌跡法50

如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的分子、分母的s最高次冪不同號(hào)，即（K>0）：這時(shí)特征方程變成：對(duì)應(yīng)的相角條件變成：4.3.2正反饋系統(tǒng)的根軌跡第四章

根軌跡法51

由于相角條件的改變，導(dǎo)致基本規(guī)則的3、4和7必須修改為如下的3P、4P和7P：3P、漸近線與實(shí)軸的夾角為：4P、實(shí)軸上的某一段如果其右邊實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)總數(shù)是偶數(shù)，那么該段就一定是根軌跡的一部分。7P、根軌跡的出射角和入射角公式中的1800均改為3600。第四章

根軌跡法52[例4-3]考慮圖示系統(tǒng),設(shè)其中:試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解：(1)在復(fù)平面上畫出開環(huán)零、極點(diǎn)p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，z1=-2(2)實(shí)軸上根軌跡存在于(-2,+∞)及(-3,-∞)之間(3)根軌跡的漸進(jìn)線，本例有n-m=2條根軌跡趨于無(wú)窮，其交角第四章

根軌跡法53與實(shí)軸的交點(diǎn)表明：兩條漸進(jìn)線從-1.5開始沿實(shí)軸趨于無(wú)窮。(4)確定分離點(diǎn)。由方程：得：第四章

根軌跡法54(5)確定出射角。對(duì)于p1點(diǎn)，對(duì)于p2點(diǎn)，由于對(duì)稱第四章

根軌跡法55

在這些情況下，將閉環(huán)特征方程進(jìn)行變形，構(gòu)造“等效開環(huán)傳遞函數(shù)”

一、不以增益K為參量的根軌跡圖

然后就可以套用典型根軌跡的方法來(lái)繪制根軌跡圖了。課程回顧（1）

第四章

根軌跡法561、開環(huán)零點(diǎn)為參量的根軌跡上式兩邊同除s(1+5s)+5得：所以，等價(jià)為典型根軌跡方程后，相當(dāng)于：

n=2,m=1,z1=0,p1,2=-0.1±j0.995上式等價(jià)為：

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：課程回顧（2）

第四章

根軌跡法572、開環(huán)極點(diǎn)為參量的根軌跡兩邊同除以s(s+1)+K，得：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：課程回顧（3）

上式等價(jià)為：第四章

根軌跡法583P、漸近線與實(shí)軸的夾角為：4P、實(shí)軸上的某一段如果其右邊實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)總數(shù)是偶數(shù)，那么該段就一定是根軌跡的一部分。7P、根軌跡的出射角和入射角公式中的1800均改為3600。3、正反饋系統(tǒng)的根軌跡（修改部分基本規(guī)則）課程回顧（4）

第四章

根軌跡法59§4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析4.5.1根軌跡與穩(wěn)定性1、當(dāng)K在(0，∞)間取值時(shí)，如果n支根軌跡全部位于虛軸的左邊，就意味著不管K取任何值閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。

系統(tǒng)穩(wěn)定與否，可以通過(guò)對(duì)其根軌跡的分析來(lái)確定第四章

根軌跡法602、根軌跡只要有一支全部位于虛軸的右邊，就意味著不管K取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不穩(wěn)定。第四章

根軌跡法613、根軌跡只要有一支穿越虛軸，就說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定是有條件的，知道了根軌跡與虛軸交點(diǎn)的K值，就可以確定穩(wěn)定條件，進(jìn)而確定合適的K值。

由圖知：當(dāng)0<K<6時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，K>6時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第四章

根軌跡法624.5.2開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響

在系統(tǒng)開環(huán)函數(shù)G

(s)H

(s)中，增加零點(diǎn)zl，相當(dāng)于加入一階微分環(huán)節(jié)s-zl；增加極點(diǎn)pi，相當(dāng)于加入一個(gè)慣性環(huán)節(jié)1/(s-pi);1、增加開環(huán)極點(diǎn)的影響

例如，單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其根軌跡圖為：

無(wú)論K為何值，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的！圖(1)第四章

根軌跡法63給系統(tǒng)增加一個(gè)極點(diǎn)pi=-2，圖(2)即為所對(duì)應(yīng)的根軌跡圖這時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：0<K<5.92圖(2)第四章

根軌跡法64圖(3)

給系統(tǒng)增加一個(gè)極點(diǎn)pi=-0.5，圖(3)即為所對(duì)應(yīng)的根軌跡圖。

這時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：0<K<0.74

比較圖(2)和圖(3)可知，隨著增加的開環(huán)極點(diǎn)向虛軸的靠近，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍變小，穩(wěn)定性能下降。第四章

根軌跡法65圖(4)

給系統(tǒng)增加一個(gè)極點(diǎn)pi=0，圖(4)即為所對(duì)應(yīng)的根軌跡圖。

無(wú)論K為何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不能穩(wěn)定！

結(jié)論：在開環(huán)傳遞函數(shù)上增加極點(diǎn)，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。且系統(tǒng)的穩(wěn)定性和增加的極點(diǎn)位置靠近虛軸的遠(yuǎn)近有關(guān)。第四章

根軌跡法662、增加開環(huán)零點(diǎn)的影響

在開環(huán)傳遞函數(shù)上增加零點(diǎn)zl，可以使根軌跡向左方彎曲，因而提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。而且這種向左彎曲的趨勢(shì)，隨著增加零點(diǎn)的右移而加劇。

例如，單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件0<K<4圖(1)第四章

根軌跡法67圖(2)

給系統(tǒng)增加一個(gè)零點(diǎn)zl=-2，圖(2)即為所對(duì)應(yīng)的根軌跡圖。

無(wú)論K為何值，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的！第四章

根軌跡法68

例如，三階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：4.5.3零、極點(diǎn)相消問題(a)

在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，常用控制器的零（極）點(diǎn)去抵消被控對(duì)象的極（零）點(diǎn)，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性能系統(tǒng)的根軌跡為第四章

根軌跡法69

如果附加一個(gè)零點(diǎn)z1=-1，這時(shí)系統(tǒng)的傳函變成：可見系統(tǒng)的穩(wěn)定性大大提高了。(b)(a)其根軌跡圖為第四章

根軌跡法70

根軌跡圖清楚地表示：盡管存在建模誤差，附加零點(diǎn)仍然提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

考慮建模誤差的影響：假設(shè)實(shí)際p1=-0.8，卻按p1=-1建模，這樣零極點(diǎn)不能正好抵消，這時(shí)：根軌跡變成圖c；p1=-1.2根軌跡變成圖d。(c)(d)第四章

根軌跡法71

如果用一個(gè)零點(diǎn)去低消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點(diǎn)，可能使系統(tǒng)變的不穩(wěn)定說(shuō)明例如，三階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：如果用一個(gè)零點(diǎn)z1=1去低消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點(diǎn)p1=1

零極點(diǎn)正好相消，穩(wěn)定性提高了第四章

根軌跡法72考慮建模誤差：假設(shè)實(shí)際p1=0.8，根軌跡為圖f

——零極點(diǎn)不正好相消，系統(tǒng)不穩(wěn)定?？梢姡翰灰擞昧銟O點(diǎn)相消法去抵消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點(diǎn)或零點(diǎn)第四章

根軌跡法73

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能最終體現(xiàn)在時(shí)間響應(yīng)上，影響時(shí)間響應(yīng)的因素有兩個(gè)：

1)閉環(huán)傳遞函數(shù)——主要影響時(shí)間響應(yīng)的暫態(tài)分量

2)輸入函數(shù)——主要影響時(shí)間響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量

閉環(huán)極點(diǎn)si（以區(qū)別于開環(huán)極點(diǎn)pi）在S平面上不同位置所對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量，其規(guī)律可以總結(jié)為：4.5.4閉環(huán)零極點(diǎn)與時(shí)間響應(yīng)

（1）閉環(huán)極點(diǎn)與時(shí)間響應(yīng)第四章

根軌跡法741)左右分布決定終值。σjsi位于虛軸左邊：暫態(tài)分量最終衰減到零；

si

位于虛軸右邊：暫態(tài)分量一定發(fā)散；

si位于虛軸：暫態(tài)分量為等幅振蕩。2)虛實(shí)分布決定振型。si位于實(shí)軸上：暫態(tài)分量為非周期運(yùn)動(dòng)；

si位于虛軸上：暫態(tài)分量為周期運(yùn)動(dòng)。3)遠(yuǎn)近分布決定快慢。si位于虛軸左邊時(shí)，離虛軸愈遠(yuǎn)過(guò)渡過(guò)程衰減得愈快。所以離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)‘主宰’系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間最長(zhǎng)，被稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。第四章

根軌跡法75

主導(dǎo)極點(diǎn)一般安排為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，位于如圖所示虛軸左邊60o扇形區(qū)內(nèi)，且離虛軸有一定的距離，其理由在于：1）閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與一個(gè)二階欠阻尼系統(tǒng)相似。欠阻尼系統(tǒng)具有較快的反應(yīng)速度。第四章

根軌跡法763）離虛軸一定的距離保證了足夠的穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度太小，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可能系統(tǒng)不穩(wěn)定。2）阻尼系數(shù)太大、太小都不合適，60o扇形區(qū)意味著阻尼系數(shù)不小于cos60°=0.5，一般認(rèn)為最佳阻尼系數(shù)是0.707。第四章

根軌跡法

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由其閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（特征根Pi）所決定的。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）必須在s復(fù)平面的左半平面內(nèi)。第四章

根軌跡法第四章

根軌跡法

根軌跡法——不直接求解特征方程，而是用復(fù)平面上的系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)來(lái)確定系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)的圖解方法。

特點(diǎn)：

（1）圖解方法，直觀、形象。（2）適用于研究當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)性能的變化趨勢(shì)。（3）近似方法，不十分精確。第四章

根軌跡法

如圖所示單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為§4.1根軌跡的基本概念4.1.1

根軌跡該系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為P1=0，P2=-1。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的特征方程：第四章

根軌跡法第四章

根軌跡法

根軌跡是指系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)的數(shù)值從零變到無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在復(fù)平面上的變化軌跡。(1)當(dāng)0≤K<0.25時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的兩個(gè)特征根為相異負(fù)實(shí)根，此時(shí)系統(tǒng)為過(guò)阻尼狀態(tài)(2)當(dāng)K=0.25時(shí)，特征根為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，此時(shí)系統(tǒng)為臨界狀態(tài)(3)當(dāng)0.25<K<∞時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，此時(shí)系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)第四章

根軌跡法4.2.2根軌跡的幅值條件和相角條件閉環(huán)特征方程為：第四章

根軌跡法

既滿足幅值條件又滿足相角條件的S值就是特征方程的一組根，也就是一組閉環(huán)極點(diǎn)。

根軌跡上的所有點(diǎn)滿足同一個(gè)相角條件，K變動(dòng)，相角條件是不變的。所以，繪制根軌跡可以這樣進(jìn)行

首先在S平面上找出所有符合相角條件的點(diǎn)，這些點(diǎn)連成的曲線就是根軌跡，然后反過(guò)來(lái)按幅值條件求出根軌跡上任一點(diǎn)的K值。第四章

根軌跡法

式中p1,p2,…pn，為開環(huán)極點(diǎn)，z1,z2,…zm

為開環(huán)零點(diǎn)。這樣，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可以表示為：上式變形：4.2.1開環(huán)零極點(diǎn)與相角條件§4.2繪制典型根軌跡

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：——典型根軌跡方程第四章

根軌跡法所以，幅值條件為：

相角條件為：上式也可寫成：第四章

根軌跡法（2）在復(fù)平面上任取一試驗(yàn)點(diǎn)S，畫出由開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)至S的矢量。

按相角條件繪制根軌跡的具體方法:（1）在復(fù)平面上標(biāo)出開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)第四章

根軌跡法（4）計(jì)算各矢量的模和幅角，如果S是根軌跡上的一點(diǎn)，則必然滿足相角條件：（4）當(dāng)S為根軌跡上的一點(diǎn)時(shí)，可以求得開環(huán)增益：（3）標(biāo)出各開環(huán)零、極點(diǎn)至實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的幅角第四章

根軌跡法1、起點(diǎn)和終點(diǎn)

——根軌跡一定開始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。

當(dāng)n=m時(shí)：開始于n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的n條根軌跡，正好終止于m

個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。

終點(diǎn)K→∞：特征方程的根就是它的m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。4.2.2基本規(guī)則

起點(diǎn)K=0：特征方程的根就是它的n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，變形：第四章

根軌跡法

當(dāng)n<m：終止于m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)m條根軌跡，有n條來(lái)自n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，有m-n條來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處（無(wú)窮遠(yuǎn)極點(diǎn)）

當(dāng)n>m：開始于n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的n條根軌跡，有m支終止于開環(huán)零點(diǎn)，有n-m支終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處（無(wú)窮遠(yuǎn)零）第四章

根軌跡法2、分支數(shù)和對(duì)稱性

根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且一定對(duì)稱于實(shí)軸。

根據(jù)根軌跡的定義，當(dāng)K連續(xù)變化時(shí),特征方程的根也必然是連續(xù)變化的，故根軌跡具有連續(xù)性。

因?yàn)楦壽E是閉環(huán)特征方程的根，所以根軌跡的分支數(shù)必定等于閉環(huán)特征方程的根的數(shù)目。無(wú)論K如何變化特征方程始終有max(n,m)個(gè)根，所以根軌跡一定有max(n,m)支。

特征方程的根要么是實(shí)根（在實(shí)軸上）要么是共軛復(fù)根（對(duì)稱于實(shí)軸），所以根軌跡一定對(duì)稱于實(shí)軸。第四章

根軌跡法3、漸近線

當(dāng)n>m時(shí)，根軌跡一定有n-m條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)；當(dāng)n<m時(shí)，根軌跡一定有m-n條來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)?？梢宰C明：當(dāng)n≠m時(shí)，根軌跡存在|n－m|條漸近線，且漸近線與實(shí)軸的夾角為：

所有漸近線交于實(shí)軸上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為：第四章

根軌跡法4、實(shí)軸上的根軌跡

實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)將實(shí)軸分段，其中任一段，如果其右邊實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)總數(shù)是奇數(shù)，那么該段就一定是根軌跡的一部分。

依據(jù)本法則，圖中z1和p1之間、z2和p4之間以及z3和-∞之間的實(shí)軸部分，都是根軌跡的一部分。第四章

根軌跡法

對(duì)s0右邊實(shí)軸上所有開環(huán)零、極點(diǎn)來(lái)說(shuō)：滿足相角條件。

考慮實(shí)軸上的s0，任一對(duì)共軛開環(huán)零點(diǎn)或共軛極點(diǎn)（如p2,p3）對(duì)應(yīng)的相角（θ2,θ3）之和均為3600；對(duì)s0，其左邊實(shí)軸上任一開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相角均為00，其右邊實(shí)軸上任一開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相角均為1800。第四章

根軌跡法例題1，某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出實(shí)軸上的根軌跡和s→∞時(shí)的漸進(jìn)線。解：（1）在圖上標(biāo)出開環(huán)函數(shù)極點(diǎn)p1=0，p2=-1，p3=-4(2)在實(shí)軸上(-1,0)和(-∞,-4)區(qū)間之右的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，故這兩個(gè)區(qū)間的實(shí)軸是根軌跡。

（3）本例n=3，m=0，故有三條根軌跡在K→∞時(shí)伸向無(wú)窮遠(yuǎn)，漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)為第四章

根軌跡法6、根軌跡的分離點(diǎn)①實(shí)軸上的根軌跡相向運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)相遇后進(jìn)入復(fù)平面②復(fù)平面內(nèi)的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根軌跡在實(shí)軸相遇B，然后趨向?qū)嵼S上的零點(diǎn)5、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

將s=jω代入閉環(huán)特征方程，令特征方程的實(shí)部和虛部分別等于零，可以解出ω0和K0

。

用勞斯（Roth）判據(jù)也可以求得K0第四章

根軌跡法

位于實(shí)軸上的兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間一定有分離點(diǎn)，因?yàn)槿魏我粭l根軌跡不可能開始于一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)終止于另一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)。同理，位于實(shí)軸上的兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間也一定有分離點(diǎn)。

分離點(diǎn)的座標(biāo)λ，是下列代數(shù)方程的解：

說(shuō)明：上式只是必要條件而非充分條件，也就是說(shuō)它的解不一定是分離點(diǎn)，是否是分離點(diǎn)還要看其它規(guī)則。第四章

根軌跡法

定理：若系統(tǒng)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，且在復(fù)平面存在根軌跡，則復(fù)平面的根軌跡一定是以該零點(diǎn)為圓心的圓弧。第四章

根軌跡法課程回顧（1）

根軌跡：系統(tǒng)某一參數(shù)由0→∞變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面相應(yīng)變化所描繪出來(lái)的軌跡

閉環(huán)極點(diǎn)

與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)及K*均有關(guān)相角條件：幅值條件：

根軌跡方程

根軌跡增益

閉環(huán)零點(diǎn)

=前向通道零點(diǎn)+反饋通道極點(diǎn)第四章

根軌跡法1、起點(diǎn)和終點(diǎn)

根軌跡一定開始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。課程回顧