第二章函數(shù)極限與連續(xù)xd2 4無窮小無窮大

第二章第四節(jié)無窮小與無窮大機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、無窮小二、無窮大三、無窮小與無窮大的關系四、無窮小的比較當時,函數(shù)則稱函數(shù)函數(shù)當時為無窮小;函數(shù)函數(shù)時的無窮小.時為無窮小;當 時為無窮小.為(或x

fi

￥

)例如:一、無窮小1、定義定義.若(或x

fi

￥

)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(或x

fi

￥

)時,函數(shù)則稱函數(shù)為定義.

若則(或x

fi

￥

)時的無窮小.說明:

(1).除

0

以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!單側(cè)極限為0

的函數(shù)也稱為無窮小；極限為0

的{xn

}也稱為n

fi

￥

時的無窮小.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:2、無窮小與函數(shù)的極限的關系定理

1

.在x

fi機動目錄上頁下頁返回結(jié)束x0的同一變化過程中x

fi

￥lim

f

(x)

=

Af

(x)=A

+a

,其中，lima

=0.lim

f

(x)

=

A

lim

f

(x)

-

A

=

0.注:

設

lim

f

(x)

=

A，則

lim

f

(x)

-

A

=

lim

f

(x)

-

A

=

0.記a

=f(x)-A，從而f

(x)=A+a，lima

=0.即f

(x)-A為無窮小，lim

f

(x)

=

lim

A

+

lima=

A

+

0

=

A.3、無窮小的運算性質(zhì)定理2.

有限個無窮小之和還是無窮小.證:

由極限的運算法則，顯然.說明:無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，1

11

nfi

￥

nnn

n個nfi

￥機動目錄上頁下頁返回結(jié)束lim

+ +

+

=

limn

=￥.定理3.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證:設u

￡

Mxfi

x0M又設lim

a

=0,則"e0,當M時,有a￡

e取d

=min{d1

,d2

},則當x

?

(x0

,d

)時,就有M故ua

=

u

a

￡

M

e

=

e即是時的無窮小.推論1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.有限個無窮小的乘積是無窮小.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

求解:lim

1

=

0xfi

￥

x利用定理3

可知xy

=

sin

x說明:y

=0

是的漸近線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束nfi

￥例2.

設數(shù)列xn與yn滿足lim

xn

yn

=

0,則下列斷言正確的是（

）.n

nn

nnnx(4).若

1

有界，則y

必為無窮小.nnn2=

n,

y=

1(1).若x

發(fā)散，則y

必發(fā)散；反例：x(2).若xn無界，則yn必有界；反例：x

=

1

+

(-1)n

n,

y

=

1

-

(-1)n

nn

nnnn2=

1

,

y

=

n(3).若x

有界，則y

必有界；反例：xn

nnnx證：由(x

y

)1

=y

，顯然.二、無窮大定義

.

若任給

M一切滿足不等式則稱函數(shù)當若在定義中將①式改為則記作(

limxfi

x0(

xfi

￥

)(正數(shù)X

),使對X

)

的x

,總有①(x

fi

￥

)時為無窮大,記作(

lim

f

(x)

=

￥

)xfi

￥(

f

(x)

<

-M

)

,f

(x)

=

-￥

)0,

總存在(

x機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,

函數(shù)當?shù)詴r,不是無窮大!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

證明證:

任給正數(shù)

M

,

要使即M只要取

d

=

1

,

則對滿足的一切x

,有所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1f

(x)為無窮小;若1若 為無窮大,

則為無窮小,且f

(x)?0,則f

(x)為無窮大.(自證)據(jù)此定理,關于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.三、無窮小與無窮大的關系定理4.

在自變量的同一變化過程中,說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4

.

求2x

-

3limxfi

1=

02

1

-

3x2

-

5x

+

4

12

-

5

1

+

4=解:

x

=

1

時分母

=

0

,

分子≠0

,

但因機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、無窮小的比較引例

.

x

fi

0

時,x2xfi

0

3xlim

=

0

,lim

xxfi

0

x2=

￥

,limxfi

0

3xx

13=

,3

x

,x2

,x

都是無窮小,但可見無窮小趨于0

的速度是多樣的.a

kab

=

o(a

)aaa若lim

b

=C

?0,或b

~

a定義.設a

,b

是自變量同一變化過程中的無窮小,若

lim

b

=

0,

則稱

b

是比

a

高階的無窮小,

記作若lim

b

=￥

,則稱b

是比a

低階的無窮小;則稱b

是a

的同階無窮小;若

lim

b

=

C

?

0,

則稱

b

是關于

a

的

k

階無窮小;若lim

b

=1,則稱b

是a

的等價無窮小,記作a

~

b機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

試確定常數(shù)解:x令t

=1

,則tt

fi

01

at0

=

lim

[3

1

-

3

-t3

t

3

-1

-

a=

limt

fi

0\

lim

[3

t

3

-1

-

a

]=

0t

fi

0-1

-

a

=

0a

=

-1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故因此例6.

證明:

當時,~~證:an

-

bn

=

(a

-

b)

(an-1

+

an-2b

++

bn-1

)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束～~定理5.b

=

a

+

o(a

)證:alim

b

=

1lim(b

-1)=0,即lim

b

-a

=0a

ab

-a

=o(a

),即b

=a

+o(a

)~例如,

x

fi

0

時,x

fi

0

時,tan

x

～x

,

故tan

x

=

x

+

o(x)說明：若b

=a

+o（a），則稱a

是b的線性主部.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理6

.

設且存在,則alim

b證:ablim=

lim

b

￠

aa

b

b

a

b

￠=

lim

balim

balimaa=

lim

b(等價無窮小替換定理)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:a

a(1). lim

b

=

lim

b￠=

lim

ba

￠(2).替換僅適用于乘除法運算，不能對作加減法運算的無窮小做替換.例如：當x

fi

0時,a

=

x

+

x2

x2xxfi

0a

-

x應該是，lim2x(x

+

x2

)

-

x=

limxfi

0x2

x2xfi

0

xfi

0若lim

a

-

x

=

lim

x

-

x

=

0.2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束x2xfi

0

x=

lim

=1.錯誤！x3xfi

0x3xfi

0原式=lim

x

-xx31

x2x=

lim

2

xfi

0再如：求lim

tan

x

-sin

x

.解:原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)無窮小與無窮大的定義無窮小與函數(shù)極限的關系無窮小與無窮大的關系等價無窮