省考數(shù)字推理八大類數(shù)列及變式2

數(shù)字推理題型的7種類型28種形式數(shù)字推理由題干和選項(xiàng)兩部分組成，題干是一個(gè)有某種規(guī)律的數(shù)列，但其中缺少一項(xiàng)，要求考生仔細(xì)觀察這個(gè)數(shù)列各數(shù)字之間的關(guān)系，找出其中的規(guī)律，然后從四個(gè)供選擇的答案中選出你認(rèn)為最合適、最合理的一個(gè)，使之符合數(shù)列的排列規(guī)律。其不同于其他形式的推理，題目中全部是數(shù)字，沒有文字可供應(yīng)試者理解題意，真實(shí)地考查了應(yīng)試者的抽象思維能力。第一種情形----等差數(shù)列：是指相鄰之間的差值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減的一組數(shù)。１、等差數(shù)列的常規(guī)公式。設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d(n為自然數(shù))。[例1]1，3，5，7，9，（）A.7B.8C.11D.13[解析]這是一種很簡單的排列方式：其特征是相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的差是一個(gè)常數(shù)。從該題中我們很容易發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)數(shù)字的差均為2，所以括號內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為11。故選C。２、二級等差數(shù)列。是指等差數(shù)列的變式，相鄰兩項(xiàng)之差之間有著明顯的規(guī)律性,往往構(gòu)成等差數(shù)列.[例2]2,5,10,17,26,(),50A.35B.33C.37D.36[解析]相鄰兩位數(shù)之差分別為3,5,7,9,是一個(gè)差值為2的等差數(shù)列,所以括號內(nèi)的數(shù)與26的差值應(yīng)為11,即括號內(nèi)的數(shù)為26+11=37.故選C。３、分子分母的等差數(shù)列。是指一組分?jǐn)?shù)中，分子或分母、分子和分母分別呈現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律性。[例3]2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（）A、8/9B、9/10C、9/11D、7/8[解析]數(shù)列分母依次為3，4，5，6，7；分子依次為2，3，4，5，6，故括號應(yīng)為7/8。故選D。４、混合等差數(shù)列。是指一組數(shù)中，相鄰的奇數(shù)項(xiàng)與相鄰的偶數(shù)項(xiàng)呈現(xiàn)等差數(shù)列。[例4]1，3，3，5，7，9，13，15，，（），（）。A、1921B、1923C、2123D、2730[解析]相鄰奇數(shù)項(xiàng)之間的差是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，相鄰偶數(shù)項(xiàng)之間的差是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列。提示：熟練掌握基本題型及其簡單變化是保證數(shù)字推理題不丟分的關(guān)鍵。第二種情形---等比數(shù)列：是指相鄰數(shù)列之間的比值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減的一組數(shù)。5、等比數(shù)列的常規(guī)公式。設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q(q不等于0)，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1(n為自然數(shù))。[例5]12，4，4/3，4/9，（）A、2/9B、1/9C、1/27D、4/27[解析]很明顯，這是一個(gè)典型的等比數(shù)列，公比為1/3。故選D。6、二級等比數(shù)列。是指等比數(shù)列的變式，相鄰兩項(xiàng)之比有著明顯的規(guī)律性，往往構(gòu)成等比數(shù)列。[例6]4，6，10，18，34，（）A、50B、64C、66D、68[解析]此數(shù)列表面上看沒有規(guī)律，但它們后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別為2，4，6，8，16，是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，故括號內(nèi)的值應(yīng)為34+16Ⅹ2=66故選C。7、等比數(shù)列的特殊變式。[例7]8，12，24，60，（）A、90B、120C、180D、240[解析]該題有一定的難度。題目中相鄰兩個(gè)數(shù)字之間后一項(xiàng)除以前一項(xiàng)得到的商并不是一個(gè)常數(shù)，但它們是按照一定規(guī)律排列的：3/2，4/2，5/2，因此，括號內(nèi)數(shù)字應(yīng)為60Ⅹ6/2=180。故選C。此題值得再分析一下，相鄰兩項(xiàng)的差分別為4，12，36，后一個(gè)值是前一個(gè)值的3倍，括號內(nèi)的數(shù)減去60應(yīng)為36的3倍，即108，括號數(shù)為168，如果選項(xiàng)中沒有180只有168的話，就應(yīng)選168了。同時(shí)出現(xiàn)的話就值得爭論了，這題只是一個(gè)特例。第三種情形—混合數(shù)列式：是指一組數(shù)列中，存在兩種以上的數(shù)列規(guī)律。8、雙重?cái)?shù)列式。即等差與等比數(shù)列混合，特點(diǎn)是相隔兩項(xiàng)之間的差值或比值相等。[例8]26，11，31，6，36，1，41，（）A、0B、-3C、-4D、46[解析]此題是一道典型的雙重?cái)?shù)列題。其中奇數(shù)項(xiàng)是公差為5的等差遞增數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公差為5的等差遞減數(shù)列。故選C。9、混合數(shù)列。是兩個(gè)數(shù)列交替排列在一列數(shù)中，有時(shí)是兩個(gè)相同的數(shù)列（等差或等比），有時(shí)兩個(gè)數(shù)列是按不同規(guī)律排列的，一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列。[例9]5，3，10，6，15，12，（），（）A、2018B、1820C、2024D、1832[解析]此題是一道典型的等差、等比數(shù)列混合題。其中奇數(shù)項(xiàng)是以5為首項(xiàng)、公差為5的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列。故選C。第四種情形—四則混合運(yùn)算：是指前兩（或幾）個(gè)數(shù)經(jīng)過某種四則運(yùn)算等到于下一個(gè)數(shù)，如前兩個(gè)數(shù)之和、之差、之積、之商等于第三個(gè)數(shù)。10、加法規(guī)律。之一：前兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)相加等于第三個(gè)數(shù)，相加的項(xiàng)數(shù)是固定的。[例11]2，4，6，10，16，（）A、26B、32C、35D、20[解析]首先分析相鄰兩數(shù)間數(shù)量關(guān)系進(jìn)行兩兩比較，第一個(gè)數(shù)2與第二個(gè)數(shù)4之和是第三個(gè)數(shù)，而第二個(gè)數(shù)4與第三個(gè)數(shù)6之和是10。依此類推，括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)該是第四個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)的和26。故選A。之二：前面所有的數(shù)相加等到于最后一項(xiàng)，相加的項(xiàng)數(shù)為前面所有項(xiàng)。[例12]1，3，4，8，16，（）A、22B、24C、28D、32[解析]這道題從表面上看認(rèn)為是題目出錯(cuò)了，第二位數(shù)應(yīng)是2，以為是等比數(shù)列。其實(shí)不難看出，第三項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和，第四項(xiàng)與等于前三項(xiàng)之和，括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)為前五項(xiàng)之和為32。故選D。11、減法規(guī)律。是指前一項(xiàng)減去第二項(xiàng)的差等于第三項(xiàng)。[例13]25，16，9，7，（），5A、8B、2C、3D、6[解析]此題是典型的減法規(guī)律題，前兩項(xiàng)之差等于第三項(xiàng)。故選B。12、加減混合：是指一組數(shù)中需要用加法規(guī)律的同時(shí)還要使用減法，才能得出所要的項(xiàng)。[例14]1，2，2，3，4，6，（）A、7B、8C、9D、10[解析]即前兩項(xiàng)之和減去1等于第三項(xiàng)。故選C。13、乘法規(guī)律。之一：普通常規(guī)式：前兩項(xiàng)之積等于第三項(xiàng)。[例15]3，4，12，48，（）A、96B、36C、192D、576[解析]這是一道典型的乘法規(guī)律題，仔細(xì)觀察，前兩項(xiàng)之積等于第三項(xiàng)。故選D。之二：乘法規(guī)律的變式：[例16]2，4，12，48，（）A、96B、120C、240D、480[解析]每個(gè)數(shù)都是相鄰的前面的數(shù)乘以自已所排列的位數(shù)，所以第5位數(shù)應(yīng)是5×48=240。故選D。14、除法規(guī)律。[例17]60，30，2，15，（）A、5B、1C、1/5D、2/15[解析]本題中的數(shù)是具有典型的除法規(guī)律，前兩項(xiàng)之商等于第三項(xiàng)，故第五項(xiàng)應(yīng)是第三項(xiàng)與第四項(xiàng)的商。故選D。15、除法規(guī)律與等差數(shù)列混合式。[例18]3，3，6，18，（）A、36B、54C、72D、108[解析]數(shù)列中后個(gè)數(shù)字與前一個(gè)數(shù)字之間的商形成一個(gè)等差數(shù)列，以此類推，第5個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)之間的商應(yīng)該是4，所以18×4=72。故選C。思路引導(dǎo)：快速掃描已給出的幾個(gè)數(shù)字，仔細(xì)觀察和分析各數(shù)之間的關(guān)系，大膽提出假設(shè)，并迅速將這種假設(shè)延伸到下面的數(shù)。如果假設(shè)被否定，立刻換一種假設(shè)，這樣可以極大地提高解題速度。第五種情形—平方規(guī)律：是指數(shù)列中包含一個(gè)完全平方數(shù)列，有的明顯，有的隱含。16、平方規(guī)律的常規(guī)式。[例19]49，64，91，（），121A、98B、100C、108D、116[解析]這組數(shù)列可變形為72，82，92，（），112，不難看出這是一組具有平方規(guī)律的數(shù)列，所以括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)是102。故選B。17、平方規(guī)律的變式。之一、n2-n[例20]0，3，8，15，24，（）A、28B、32C、35D、40[解析]這個(gè)數(shù)列沒有直接規(guī)律，經(jīng)過變形后就可以看出規(guī)律。由于所給數(shù)列各項(xiàng)分別加1，可得1，4，9，16，25，即12，22，32，42，52，故括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)為62-1=35，其實(shí)就是n2-n。故選C。之二、n2+n[例21]2，5，10，17，26，（）A、43B、34C、35D、37[解析]這個(gè)數(shù)是一個(gè)二級等差數(shù)列，相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，括號內(nèi)的數(shù)是26=11=37。如將所給的數(shù)列分別減1，可得1，4，9，16，25，即12，22，32，42，52，故括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)為62+1=37，，其實(shí)就是n2+n。故選D。之三、每項(xiàng)自身的平方減去前一項(xiàng)的差等于下一項(xiàng)。[例22]1，2，3，7，46，（）A、2109B、1289C、322D、147[解析]本數(shù)列規(guī)律為第項(xiàng)自身的平方減去前一項(xiàng)的差等于下一項(xiàng)，即12-0，22-1=3，32-2=7，72-3=46，462-7=2109，故選A。第六種情形—立方規(guī)律：是指數(shù)列中包含一個(gè)立方數(shù)列，有的明顯，有的隱含。16、立方規(guī)律的常規(guī)式：[例23]1/343，1/216，1/125，（）A、1/36B、1/49C、1/64D、1/27[解析]仔細(xì)觀察可以看出，上面的數(shù)列分別是1/73，1/63，1/53的變形，因此，括號內(nèi)應(yīng)該是1/43，即1/64。故選C。17、立方規(guī)律的變式：之一、n3-n[例24]0，6，24，60，120，（）A、280B、320C、729D、336[解析]數(shù)列中各項(xiàng)可以變形為13-1，23-2，33-3，43-4，53-5，63-6，故后面的項(xiàng)應(yīng)為73-7=336，其排列規(guī)律可概括為n3-n。故選D。之二、n3+n[例25]2，10，30，68，（）A、70B、90C、130D、225[解析]數(shù)列可變形為13+1，23+1，33+1，43+1，故第5項(xiàng)為53+=130，其排列規(guī)律可概括為n3+n。故選C。之三、從第二項(xiàng)起后項(xiàng)是相鄰前一項(xiàng)的立方加1。[例26]-1，0，1，2，9，（）A、11B、82C、729D、730[解析]從第二項(xiàng)起后項(xiàng)分別是相鄰前一項(xiàng)的立方加1，故括號內(nèi)應(yīng)為93+1=730。故選D。思路引導(dǎo)：做立方型變式這類題時(shí)應(yīng)從前面幾種排列中跳出來，想到這種新的排列思路，再通過分析比較嘗試尋找，才能找到正確答案。第七種情形—特殊類型：18、需經(jīng)變形后方可看出規(guī)律的題型：[例27]1，1/16，（），1/256，1/625A、1/27B、1/81C、1/100D、1/121[解析]此題數(shù)列可變形為1/12，1/42，（），1/162，1/252，可以看出分母各項(xiàng)分別為1，4，（），16，25的平方，而1，4，16，25，分別是1，2，4，5的平方，由此可以判斷這個(gè)數(shù)列是1，2，3，4，5的平方的平方，由此可以判斷括號內(nèi)所缺項(xiàng)應(yīng)為1/（32）2=1/81。故選B。19、容易出錯(cuò)規(guī)律的題。[例28]12，34，56，78，（）A、90B、100C、910D、901[解析]這道題表面看起來起來似乎有著明顯的規(guī)律，12后是34，然后是56，78，后面一項(xiàng)似乎應(yīng)該是910，其實(shí)，這是一個(gè)等差數(shù)列，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)均為22，所以括號內(nèi)的數(shù)字應(yīng)該是78+22=100。故選B。簡單數(shù)列自然數(shù)列：1，2，3，4，5，6，7，……奇數(shù)列：1，3，5，7，9，……偶數(shù)列：2，4，6，8，10，……自然數(shù)平方數(shù)列：1，4，9，16，25，36，……自然數(shù)立方數(shù)列：1，8，27，64，125，216，……等差數(shù)列：1，6，11，16，21，26，……等比數(shù)列：1，3，9，27，81，243，……等差數(shù)列1.等差數(shù)列：后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一個(gè)常數(shù)數(shù)列。例題：12，17，22，27，（），37解析：17-12=5，22-17=5，……2.二級等差數(shù)列：后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一個(gè)新的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。例題1：9，13，18，24，31，（）解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，……例題2.：66，83，102，123，（）解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……3.二級等差數(shù)列變化：后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新的數(shù)列可能是自然數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列、或者與加減“1”、“2”的形式有關(guān)。例題1：0，1，4，13，40，（）解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，……公比為3的等比數(shù)列例題2：20，22，25，30，37，（）解析：22-20=2，25-22=3，30-25=5，37-30=7，…….二級為質(zhì)數(shù)列4.三級等差數(shù)列及變化：后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一個(gè)新的數(shù)列，再在這個(gè)新的數(shù)列中，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新的數(shù)列可能是自然數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列、或者與加減“1”、“2”的形式有關(guān)。例題1：1，9，18，29，43，61，（）解析：9-1=8，18-9=9，29-18=11，43-29=14，61-43=18，……二級特征不明顯9-8=1，11-9=2，14-11=3，18-14=4，……三級為公差為1的等差數(shù)列例題2.：1，4，8，14，24，42，（）解析：4-1=3，8-4=4，14-8=6，24-14=10，42-24=18，……二級特征不明顯4-3=1，6-4=2，10-6=4，18-10=8，……三級為等比數(shù)列例題3：（），40，23，14，9，6解析：40-23=17，23-14=9，14-9=5，9-6=3，……二級特征不明顯17-9=8，9-5=4，5-3=2，……三級為等比數(shù)列三、等比數(shù)列1，等比數(shù)列：后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為固定的值叫做等比數(shù)列例題：36，24，（）32/3，64/9解析：公比為2/3的等比數(shù)列。2，二級等比數(shù)列變化：后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比所得的新的數(shù)列可能是自然數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列、或者與加減“1”、“2”的形式有關(guān)。例題1：1，6，30，（），360解析：6/1=6，30/6=5，（）/30=4，360/（）=3，……二級為等差數(shù)列例題2：10，9，17，50，（）解析：1*10-1=9，2*9-1=18，3*17-1=50，……例題3：16，8，8，12，24，60，（）解析：8/16=0.5，8/8=1，12/8=1.5，24/12=2，60*24=2.5，……二級為等差數(shù)列例題4：60，30，20，15，12，（）解析：60/30=2/1，30/20=3/2，20/15=4/3，15/12=5/4，……重點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列是最基本、最典型、最常見的數(shù)字推理題型。必須熟練掌握其基本形式及其變式。四、和數(shù)列1，典型（兩項(xiàng)求和）和數(shù)列：前兩項(xiàng)的加和得到第三項(xiàng)。例題1：85，52，（），19，14解析：85=52+（），52=（）+19，（）=19+14，……例題2：17，10，（），3，4，-1解析：17-10=7，10-7=3，7-3=4，3-4=-1，……例題3：1/3，1/6，1/2，2/3，（）解析：前兩項(xiàng)的加和得到第三項(xiàng)。2，典型（兩項(xiàng)求和）和數(shù)列變式：前兩項(xiàng)的和，經(jīng)過變化之后得到第三項(xiàng)，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(shù)；或者是每兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)之間具有某種關(guān)系。例題1：22，35，56，90，（），234解析：前兩項(xiàng)相加和再減1得到第三項(xiàng)。例題2：4，12，8，10，（）解析：前兩項(xiàng)相加和再除2得到第三項(xiàng)。例題3：2，1，9，30，117，441，（）解析：前兩項(xiàng)相加和再乘3得到第三項(xiàng)。3，三項(xiàng)和數(shù)列變式：前三項(xiàng)的和，經(jīng)過變化之后得到第四項(xiàng)，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(shù)；或者是每兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)之間具有某種關(guān)系。例題1：1，1，1，2，3，5，9，（）解析：前三項(xiàng)相加和再減1得到第四項(xiàng)。例題2：2，3，4，9，12，25，22，（）解析：前三項(xiàng)相加和得到自然數(shù)平方數(shù)列。例題：-4/9，10/9，4/3，7/9，1/9，（）解析：前三項(xiàng)相加和得到第四項(xiàng)。五、積數(shù)列1，典型（兩項(xiàng)求積）積數(shù)列：前兩項(xiàng)相乘得到第三項(xiàng)。例題：1，2，2，4，（），32解析：前兩項(xiàng)相乘得到第三項(xiàng)。2，積數(shù)列變式：前兩項(xiàng)相乘經(jīng)過變化之后得到第三項(xiàng)，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(shù)；或者是每兩項(xiàng)的乘與項(xiàng)數(shù)之間具有某種關(guān)系。例題1：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，（）解析：兩項(xiàng)相乘得到1，1/2，1/4，1/8，……例題2：1，2，3，35，（）解析：前兩項(xiàng)的積的平方減1得到第三項(xiàng)。例題3：2，3，9，30，273，（）解析：前兩項(xiàng)的積加3得到第三項(xiàng)。六、平方數(shù)列1，典型平方數(shù)列（遞增或遞減）例題：196，169，144，（），100解析：14立方，13立方，……2，平方數(shù)列變式：這一數(shù)列特點(diǎn)不是簡單的平方或立方數(shù)列，而是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行“加減乘除”的變化。例題1：0，5，8，17，（），37解析：0=1*1-1，5=2*2+1，8=3*3-1，17=4*4+1，（）=5*5-1，37=6*6+1例題2：3，2，11，14，27，（）解析：12+2，22-2，32+2，42-2，52+2，……例題3：0.5，2，9/2，8，（）解析：等同于1/2，4/2，9/2，16/2，分子為12，22，32，42，……例題4：17，27，39，（），69解析：17=42+1，27=52+2，39=62+3，……3，平方數(shù)列最新變化------二級平方數(shù)列例題1：1，4，16，49，121，（）解析：12，22，42，72，112，……二級不看平方1，2，3，4，……三級為自然數(shù)列例題2：9，16，36，100，（）解析：32，42，62，102，……二級不看平方1，2，4，……三級為等比數(shù)列]七、立方數(shù)列1，典型立方數(shù)列（遞增或遞減）：不寫例題了。2，立方數(shù)列變化：這一數(shù)列特點(diǎn)不是簡單的立方數(shù)列，而是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行“加減乘除”的變化。例題1：0，9，26，65，124，（）解析：項(xiàng)數(shù)