絕對值 【 學(xué)霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升 （ 含答案解析 ）

專題2絕對值一、絕對值的化簡【學(xué)霸筆記】1. 一個正數(shù)的絕對值是它的本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，關(guān)系如下：；2. 絕對值可以與數(shù)軸結(jié)合起來，可用于表示距離，如：表示數(shù)a到原點的距離，表示數(shù)a與數(shù)b間的距離；3. 絕對值的性質(zhì)①；②；③；④；⑤【典例】若a+b+c＝0，則|a|aA．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a，b，c中兩正一負(fù)或一正兩負(fù)，假設(shè)a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情況同理值為﹣1；假設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情況同理值為﹣1，故選：B．【鞏固】數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)方法，如在化簡|a|時，當(dāng)a在數(shù)軸上位于原點的右側(cè)時，|a|＝a；當(dāng)a在數(shù)軸上位于原點時，|a|＝0；當(dāng)a在數(shù)軸上位于原點的左側(cè)時，|a|＝﹣a．當(dāng)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，試用這種方法解決下列問題．（1）當(dāng)a＝1時，求|a|a=，當(dāng)b＝﹣2時，求|b|b=（2）請根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置，求|a|a（3）請根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置，化簡：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時，|a|a=|1|1=1，當(dāng)b＝﹣故答案為1，﹣1；（2）根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置可知，b＜c＜0＜a，∴|a|a（3）根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置可知，b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，∴|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|＝a+c+（﹣c）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）＝a+c﹣c﹣a﹣b﹣c+b＝﹣c．二、絕對值的非負(fù)性【學(xué)霸筆記】 不小于0的數(shù)（或大于等于0的數(shù)）稱為非負(fù)數(shù)，具有以下性質(zhì)：（1）非負(fù)數(shù)具有最小值0；（2）若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，那么每個非負(fù)數(shù)均為0；（3）任何數(shù)的絕對值都大于等于0，即任何數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù).【典例】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，給出下面四個命題：（1）abc＜0（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0（4）|a|＜1﹣bc其中正確的命題有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：由圖可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，（1）命題abc＜0正確；（2）在命題中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．又因為a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左邊≠右邊，故錯誤；（3）在該命題中，因為a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正確；（4）在命題中，|a|＜1，bc＜0，∴1﹣bc＞1，所以|a|＜1﹣bc，故該命題正確．所以正確的有命題①③④這三個．故選：B．【鞏固】如果有理數(shù)a，b滿足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，試求：1ab+1(a+1)(b+1)+1【解答】解：∵|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，∴ab﹣2＝0，1﹣b＝0，解得b＝1，a＝2，∴原式=＝1-＝1-=202故答案為：20232024三、絕對值的最值【學(xué)霸筆記】1. 的幾何意義就是數(shù)軸上數(shù)a與數(shù)b兩點間的距離；2. 一般地，設(shè)分別是數(shù)軸上依次排列的表示有理數(shù)的點，若n為奇數(shù)，當(dāng)時，的值最小；若n為偶數(shù)，當(dāng)時，的值最小.【典例】閱讀：已知點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）數(shù)軸上表示2和﹣3的兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和﹣5的兩點A和B之間的距離是；（3）當(dāng)代數(shù)式|x﹣1|+|x+3|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是，最小值是；（4）當(dāng)x在何范圍，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并寫出它的最大值．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示2和﹣3的兩點之間的距離是2﹣（﹣3）＝5．故答案為：5；（2）數(shù)軸上表示x和﹣5的兩點A和B之間的距離是|x+5|．故答案為：|x+5|；（3）在數(shù)軸上，|x﹣1|+|x+3|表示數(shù)軸上x和1的兩點之間與x和﹣3的兩點之間距離和，當(dāng)代數(shù)式|x﹣1|+|x+3|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是﹣3≤x≤1，最小值是4．故答案為：﹣3≤x≤1，4；（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距離與x到2的距離的差與x到3的距離與x到4的距離的差的和，∴x≥4時有最大值1+1＝2．【鞏固】已知數(shù)軸上表示數(shù)a的A與表示數(shù)b的點B之間的距離|AB|＝|a﹣b|．（1）當(dāng)x＝時，|x﹣3|有最小值，這個最小值是．（2）當(dāng)x＝時，5﹣|x﹣2|有最大值，這個最大值是．（3）當(dāng)整數(shù)x＝時，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，這個值是．（4）當(dāng)整數(shù)x＝時，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，這個值是．（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，這個值是；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，這個最小值是；（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，則（x+y）有最值（填“大”，“小”），這個值是．【解答】解：（1）∵|x﹣3|≥0，∴當(dāng)x＝3時，|x﹣3|＝0為最小值，故答案為：3，0；（2）∵|x﹣2|≥0，∴當(dāng)x＝2時，|x﹣2|有最小值，故5﹣|x﹣2|有最大值為5，故答案為2，5；（3）∵|x﹣3|+|x﹣6|表示數(shù)軸上表示x的數(shù)到3和6的距離和，∴當(dāng)整數(shù)x＝3或4或5或6時，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值為3，故答案為：3或4或5或6，3；（4）∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|表示數(shù)軸上表示x的數(shù)到1和2以及5的距離和，∴當(dāng)整數(shù)x＝2時，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值為4，故答案為：2，4；（5）當(dāng)x＞5時，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝x﹣1﹣（x﹣5）＝4，當(dāng)1≤x≤5時，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝x﹣1﹣（5﹣x）＝2x﹣6，∴﹣4≤2x﹣6≤4，當(dāng)x＜1時，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝1﹣x﹣（5﹣x）＝﹣4，∴|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值為4，最小值為﹣4，故答案為：4，﹣4；（6）∵|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，∴2≤x≤4，y≤1，∴x+y≤5，∴x+y有最大值為5，故答案為：大，5．鞏固練習(xí)1．設(shè)x是有理數(shù)，y＝|x﹣1|+|x+1|，則下面四個結(jié)論中正確的是（）A．y沒有最小值 B．只有一個x的值使y取最小值 C．有有限個（不止一個）x的值使y取最小值 D．有無數(shù)多個x的值使y取最小值【解答】解：由題意得：當(dāng)x＜﹣1時，y＝﹣x+1﹣1﹣x＝﹣2x；當(dāng)﹣1≤x≤1時，y＝﹣x+1+1+x＝2；當(dāng)x＞1時，y＝x﹣1+1+x＝2x；故由上得當(dāng)﹣1≤x≤1時，y有最小值為2；故選：D．2．已知整數(shù)a1、a2、a3、a4，…滿足下列條件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此類推，則a2022的值為（）A．﹣2021 B．﹣1010 C．﹣1011 D．﹣1009【解答】解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣3，…∴當(dāng)n為偶數(shù)時，an=-n2，當(dāng)n為奇數(shù)時，a∴a2022=-2022故選：C．3．如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒為一常數(shù)，則此值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵P為定值，∴P的表達(dá)式化簡后x的系數(shù)為0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x的取值范圍是：1﹣7x＞0且1﹣8x＜0，即18＜x所以P＝（1﹣2x）+（1﹣3x）+…+（1﹣7x）﹣（1﹣8x）﹣（1﹣9x）﹣（1﹣10x）＝6﹣3＝3．故選：B．4．設(shè)有理數(shù)a、b、c滿足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，則|x-a+b2|+|x-b+c2A．a(chǎn)-c2 B．a(chǎn)+b+2c2 C．2a+b+c2 【解答】解：∵ac＜0，∴a，c異號，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，又∵|c|＜|b|＜|a|，∴﹣a＜﹣b＜c＜0＜﹣c＜b＜a，又∵|x-a+b2|+|x-b+c2|+|x+a+c2|表示到當(dāng)x在b+c2即|x-a+b2|+|x-b+c2|+|x+a+c2|最小，最小值是故選：C．5．若有理數(shù)m，n，p滿足|m|m+|n|n+|p|【解答】解：有理數(shù)m，n，p滿足|m|m+|n|n+|p|p=1，所以根據(jù)絕對值的性質(zhì)：①當(dāng)m＞0，n＞0，p＜0時，原式＝1+1﹣1＝1，則2mnp|3mnp|②當(dāng)m＞0，n＜0，p＞0時，原式＝1﹣1+1＝1，則2mnp|3mnp|③當(dāng)m＜0，n＞0，p＞0時，原式＝﹣1+1+1＝1，則2mnp|3mnp|故答案為-6．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，則x+y的最小值為，最大值為．【解答】解：|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，∴|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，當(dāng)x≥1，y≥5時，x+2+x﹣1+y﹣5+y+1＝9，2x+2y＝12，x+y＝6，當(dāng)﹣2≤x＜1，﹣1≤y＜5時，x+2+1﹣x+5﹣y+y+1＝9，但﹣3≤x+y＜6，當(dāng)x＜﹣2，y＜﹣1時，﹣x﹣2+1﹣x+5﹣y﹣1﹣y＝9，﹣2x﹣2y＝6，x+y＝﹣3，故x+y最小值為﹣3，最大值為6．故答案為：﹣3，6．7．有理數(shù)a、b、c均不為0，且a+b+c＝0，設(shè)x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b，則代數(shù)式x2021+2021x【解答】解：∵有理數(shù)a、b、c均不為0，且a+b+c＝0，∴a，b，c中不能同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)，①三個數(shù)中兩個正數(shù)一個負(fù)數(shù)，設(shè)a＞0，b＞0，c＜0，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b．a(chǎn)+b＝﹣c．∴x=|a|-a+|b|-b+|c|-c②三個數(shù)中兩個負(fù)數(shù)一個正數(shù)，設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b．a(chǎn)+b＝﹣c．∴x=|a|-a+|b|-b+|c|-c當(dāng)x＝﹣1時，原式＝（﹣1）2021+2021×（﹣1）﹣2021＝﹣1﹣2021﹣2021＝﹣4043；當(dāng)x＝1時，原式＝12021+2021×1﹣2021＝1+2021﹣2021＝1．綜上，代數(shù)式x2021+2021x﹣2021的值為1或﹣4043．故答案為：1或﹣4043．8．設(shè)abcd是一個四位數(shù)，a、b、c、d是阿拉伯?dāng)?shù)字，且a≤b≤c≤d，則式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是．【解答】解：若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，則最低位數(shù)字最大d＝9，最高位數(shù)字最小a＝1即可，同時為使式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|最大，則c應(yīng)最小，且使低位上的數(shù)字不小于高位上的數(shù)字，故c＝1，此時b只能為1，所以此數(shù)為1119，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值＝0+0+8+8＝16．故答案為：16．9．如果a，b，c是非零有理數(shù)，求a|a|【解答】解：對a，b，c的取值情況分類討論如下：①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)時，a|a|+②當(dāng)a，b，c都是負(fù)數(shù)時，a|a|=b|b|=c|c|=-1，所以和為﹣3；③當(dāng)a，b，c中有兩個正數(shù)，一個負(fù)數(shù)時，a|a|、b④當(dāng)a，b，c中有一個正數(shù)、兩個負(fù)數(shù)時，a|a|、b|b|、c|c|中有兩個﹣1，一個+1總之，a|a|+b|b|+10．設(shè)x1，x2，x3，x4，x5，x6是六個不同的正整數(shù)，取值于1，2，3，4，5，6，記S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．【解答】解：S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，S最小值＝1+1+1+1+1+5＝10，則S的最小值是10．11．已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|【解答】解：由有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置知：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|因為|a|＞|b|，a＜0，b＞0所以﹣a＞b，即﹣a﹣b＞0所以a+b＜0因為a＜0＜b＜c所以a﹣c＜0，c﹣b＞0．所以2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|＝2×（﹣a﹣b）﹣3（c﹣a）+2（c﹣b）＝﹣2a﹣2b﹣3c+3a+2c﹣2b＝a﹣4b﹣c12．有一正整數(shù)列1，2，3，…，2n﹣1、2n，現(xiàn)從中挑出n個數(shù)，從大到小排列依次為a1，a2，…，an，另n個數(shù)從小到大排列依次為b1，b2，…，bn．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|之所有可能的值．【解答】解：令n+1、n+2、n+3、…、2n為大數(shù)，1、2、3、…、n為小數(shù)．設(shè)ai中必也有n﹣