三角形中的邊和角【 學(xué)霸筆記+典例精析+競(jìng)賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升

專題30三角形中的邊和角一、三角形三邊的不等關(guān)系【典例】周長為P的三角形中，最長邊m的取值范圍是（）A．p3≤m＜p2 B．p3＜m＜p2 C．p【解答】解：三邊相等時(shí)，m=p三邊不相等時(shí)，最長邊m＜p所以，p3≤m故選：A．【鞏固】已知等腰三角形ABC．（1）若其兩邊長分別為2和3，求△ABC的周長；（2）若一腰上的中線將此三角形的周長分為9和18，求△ABC的腰長．二、三角形的三線【學(xué)霸筆記】1. 三角形的高：從頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊畫垂線段，則頂點(diǎn)到垂足間的線段叫作這條邊上的高，且三條高或其延長線相交于同一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫作垂心；2. 三角形的中線：頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)間的線段，且三角形三條中線相交于同一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫作重心；3. 三角形的角平分線：頂點(diǎn)與角平分線和對(duì)邊交點(diǎn)間的線段，三角形的三條角平分線相交于同一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫作內(nèi)心.【典例】如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．若△ABC的面積為60，BD＝5，則△BDE的BD邊上的高是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵AD是△ABC的中線，S△ABC＝60，∴S△ABD=12S△ABC=12∵BE是△ABD的中線，∴S△BDE=12S△ABD=12設(shè)BD邊上的高為h，BD＝5，∴12?BD?h=12×5∴h＝6．故選：D．【鞏固】如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點(diǎn)為G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是．三、三角形的角平分線【典例】如圖，BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線且∠DBC＝∠ECB＝31°．求∠ABC和∠ACB的度數(shù)，它們相等嗎？（寫出簡(jiǎn)單過程）【解答】解：相等，由BD與CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，可得∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACE＝∠ECB=1由∠DBC＝∠ECB＝31°，可得∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠ABC＝∠ACB．【鞏固】如圖，點(diǎn)D是∠ABC的角平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作EF∥BC，DG∥AB．（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度數(shù)．（2）DO是△DEG的角平分線嗎？請(qǐng)說明理由．鞏固練習(xí)1．已知三角形三邊長a，b，c都是整數(shù)，并且a≤b＜c，若b＝7，那么這樣的三角形共有（）個(gè)．A．21 B．28 C．49 D．142．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，則∠B的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°3．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面積分別是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是．4．如圖，在銳角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分別是△ABC的高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F=12（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．其中正確的是5．當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角β是另外一個(gè)內(nèi)角α的12時(shí)，我們稱此三角形為“友好三角形”，α為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為54°，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角α”的度數(shù)為6．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AD以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到B．當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝秒時(shí)，△PCD的面積為6cm2．7．如圖1，AD是△ABC的角平分線，E是AD延長線上一點(diǎn)，∠EBC＝90°-12∠ABC，∠ECB＝90°-1（1）若∠BAC＝78°，求∠BEC的度數(shù)；（2）若∠ABC＝42°，則∠AEC＝度，若∠ACB＝64°，則∠AEB＝度；（3）如圖2．若CF平分∠ACB交AD于點(diǎn)F，求證：CF⊥CE．8．如圖所示，在△ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，E是AC延長線上的一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)M，∠ADE的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)P，∠ACB的平分線與∠DEC的平分線交于點(diǎn)Q，求證：∠P＝∠Q．9．（1）如圖1，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，則∠AEC的大小是；（2）如圖2，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大小；（用含α，β的代數(shù)式表示）（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E是AD延長線上一點(diǎn)，作EF⊥BC與點(diǎn)F，請(qǐng)問∠AEFα-β10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別是△ABC邊AC，BC上的點(diǎn)，P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠a．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖1，且∠a＝40°，則∠1+∠2＝；（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖2，則∠a，∠1，∠2之間的關(guān)系為；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長線上，如圖3，則∠a，∠1，∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC外部，如圖4，則∠a，∠1，∠2之間的關(guān)系為．11．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），OC＝4OB．（1）若△ABC的面積為20，分別求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）如圖②，向x軸正方向移動(dòng)點(diǎn)B，使∠ABC﹣∠ACB