數(shù)理統(tǒng)計(jì)第九章方差分析

數(shù)理統(tǒng)計(jì)第九章方差分析第1頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月概論

在生產(chǎn)及科研工作中，人們常常需要了解哪些因素對試驗(yàn)結(jié)果有顯著作用，哪些因素沒有顯著作用。例如：施肥品種、施肥量、種子品種、下種量、土質(zhì)、水份等諸因素中哪些對小麥的產(chǎn)量有顯著影響，哪些又沒有。這類問題可通過方差分析的方法予以解決。第2頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月§9﹒1單因子方差分析

Ⅰ概念及例子

Ⅱ數(shù)學(xué)模型

Ⅲ離差分解

ⅣH0的檢驗(yàn)

Ⅴ

ij的區(qū)間估計(jì)第3頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月一、概念及例子

方差分析是對試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)作分析的一種常用的統(tǒng)計(jì)方法。我們在顯著性假設(shè)檢驗(yàn)中已討論過兩總體均值是否相等的檢驗(yàn)，這種問題可稱為單因子（素）二水平的試驗(yàn)。

在本小節(jié)中我們要討論單因子（素）多水平的試驗(yàn)，我們將發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是多個總體的均值是否相等的顯著性檢驗(yàn)。

在正態(tài)總體和方差相等的基本假定下，這類假設(shè)檢驗(yàn)問題稱為單因子方差分析或一元方差分析。第4頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.1

為了比較四種不同的肥料對小麥產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉條件差不多的土地，分成16塊。肥料品種記為A1，A2，A3，A4，每種肥料均按比例施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下：

畝產(chǎn)品種田塊A1A2A3A41981607791901296469364270339175068107924669358705883問施肥品種對小麥畝產(chǎn)有無顯著性影響？第5頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.2

某燈泡廠用四種不同的配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每一批中任取若干個作壽命試驗(yàn)，得如下數(shù)據(jù)（單位：小時）

壽命燈泡燈絲12345678

甲(A1)

1600161016501680170017201800

乙(A2)

15801640164017001750

丙(A3)

14601550160016201640166017401820

丁(A4)

151015201530157016001680

問燈絲的不同的配料方案對燈泡壽命有無顯著影響？第6頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9.1中的肥料品種和例9.2中的不同配料的燈絲稱為因子或因素，記為A，這里都只有一個因子。各種肥料或不同配料方案稱為水平。

一般地，因子A有r個水平A1，A2,…,Ar

.第7頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)學(xué)模型

設(shè)有r個正態(tài)總體Xi，i=1,…,r,Xi~N(i,2)，作假設(shè)H0:1=2=…=r獨(dú)立地從各總體中取出一個樣本，列成下表：總體樣本樣本均值

用以上r個樣本檢驗(yàn)上述假設(shè)H0是否成立。（水平為）第8頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

在應(yīng)用上，上述問題等價于：因子A有r個水平A1，A2,…,Ar，設(shè)在每一種水平下試驗(yàn)結(jié)果都服從正態(tài)分布，現(xiàn)在各種水平作若干次試驗(yàn)獲得一些觀測值，問因素A的各種水平對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響？

顯然，檢驗(yàn)可用t–檢驗(yàn)法：所有相鄰兩個總體的均值是否相等。共做r–1次檢驗(yàn)，

通常采用離差分解法去解決這個問題。太繁瑣！第9頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月三、離差分解將每個樣本看成一個組，記組內(nèi)平均為總平均組內(nèi)離差平方和組間離差平方和第10頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月四、H0的檢驗(yàn)離差平方和令其中令第11頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月則令則第12頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月故但在H0成立時，從而可見，一般地說，有第14頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月且即第15頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月定理9.1（柯赫倫定理見P166定理6.2.3設(shè)若Q=Q1+…+Qk，其中Qi為某些正態(tài)變量的平方和，這些正態(tài)變量分別是X1，…，Xn的線性組合，其自由度為fi

，則諸相互獨(dú)立，且為第16頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析表來源離差平方和自由度均方離差F值組間(因子A)組內(nèi)(誤差e)總和第17頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月五.ik的區(qū)間估計(jì)

由于故，給定信度1，可得ik的置信區(qū)間其中第18頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.3

在例9.2中給定=5%，問燈絲的不同的配料方案對燈泡壽命有無顯著影響？

解：已知r=4,n1=7,n2=5,n3=8,n4=6,n=26.計(jì)算的下列方差分析表

來源離差平方和自由度均方離差F值

因子A44,374.6314,791.52.17

誤差e149,970.8226,816.8

總和194,345.425第19頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月查表知故，接受H0.

即認(rèn)為燈絲的不同的配料方案對燈泡壽命無顯著影響。第20頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月§9﹒2雙因子(二元)方差分析一、非重復(fù)試驗(yàn)情形

Ⅰ提出問題

Ⅱ一般模型

Ⅲ檢驗(yàn)法的導(dǎo)出二、重復(fù)試驗(yàn)情形

Ⅰ提出問題

Ⅱ檢驗(yàn)法的導(dǎo)出第21頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月1、提出問題一、非重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析

氧化鋅B

促進(jìn)劑AB1B2B3B4A1323535.538.5A235.536.53839.5A33637.539.543例9.4

在某種橡膠的配方中，考慮了三種不同的促進(jìn)劑，四種不同份量的氧化鋅。各種配方試驗(yàn)一次，測得300%定強(qiáng)如下表所示：第22頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

此例中有A、B二個因子，因子A有三個水平A1，A2，A3；因子B有四個水平B1，B2，B3，B4，在各種組合水平AiBj上作一次試驗(yàn)獲得一個觀測值。問因子A、B分別對試驗(yàn)結(jié)果有無顯著性影響

問不同的促進(jìn)劑，不同份量的氧化鋅分別對定強(qiáng)有無顯著性影響？第23頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月2、一般模型

設(shè)有A、B二個因子，A有r個水平A1，…,Ar；因子B有s個水平B1，…，Bs，在A、B的每一種組合水平AiBj上作一次試驗(yàn)，得結(jié)果Xij，(i=1,…,r；j=1,…,s),所有Xij都相互獨(dú)立，且假定Xij~N(ij

，2)，其中而作假設(shè)第24頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果H01成立，則ij與i無關(guān)，這表明因子A對試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響；同理，如果H02成立，則ij與j無關(guān)，這表明因子B對試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響。

另外，在式(9.7)中，i稱為因子A在水平Ai的效應(yīng)，它表示水平Ai在總體平均數(shù)上引起的偏差；同理，j稱為因子B在水平Bj的效應(yīng)，它表示水平Bj在總體平均數(shù)上引起的偏差.第25頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月3、檢驗(yàn)法的導(dǎo)出

導(dǎo)出檢驗(yàn)H01與H02的方法與一元方差分析類似，可采用離差分解法。令第26頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月則總離差第27頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月記因子A引起的離差為記因子B引起的離差為誤差為第28頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月則（離差分解為）

從直觀上看，SA是由因子A的效應(yīng)和2引起的隨機(jī)波動;SB是由因子B的效應(yīng)和2引起的隨機(jī)波動；Se則是由2引起的隨機(jī)誤差。

故可用比較SA與Se的值來檢驗(yàn)H01是否成立；而用比較SB與Se的值來檢驗(yàn)H02是否成立。這個所謂的“值”，當(dāng)然指得是數(shù)學(xué)期望。第29頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月令其中則有第30頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月故令記第31頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月則分別稱為因子A、B引起的均方離差，當(dāng)H01真時當(dāng)H02真時稱為均方誤差。當(dāng)H01、H02真時故第32頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月由于故由的分解定理（柯赫倫）知，當(dāng)H01、H02真時，第33頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月且SA、SB、Se相互獨(dú)立。由F分布r.v.的構(gòu)造知第34頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月非重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析檢驗(yàn)法1、提出假設(shè)H01：I=0;H02:j

=02、引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量4、查表、計(jì)算得統(tǒng)計(jì)量的觀測值及分位數(shù)的值5、比較大小的結(jié)論。3、由顯著性水平寫出拒絕域形式第35頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月非重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析表來源離差平方和自由度均方離差F值因子A總和因子B誤差e第36頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月二、重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析1、一般模型

設(shè)有A、B二個因子，各有r個水平A1，…,Ar；和s個水平B1，…，Bs，現(xiàn)在A、B的每一種組合水平AiBj上重復(fù)試驗(yàn)c(c>1)次，得試驗(yàn)值

Xijk，(i=1,…,r；j=1,…,s;k=1,…,c),將它們列表如下：第37頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

因子B因子AB1B2···BS

假定Xijk~N(ij

，2)，且所有的Xijk都相互獨(dú)立，則ij可表為第38頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月從而可得(9.20)式，且可驗(yàn)證(9.21)式中四個等式成立。其中滿足事實(shí)上，令，則第39頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月作假設(shè)

i或j稱為因子A或因子B在水平Ai或Bj上的效應(yīng);ij稱為因子A和B在組合水平Ai×Bj上的交互作用，即因子A、B組合起來在水平Ai

×Bj上的作用，而不是因子A或B單獨(dú)影響試驗(yàn)的結(jié)果。2、檢驗(yàn)法的導(dǎo)出第40頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

若H01成立，則表明因子A對試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響；否則，相反。若H02成立，則表明因子