牛吃草問題經(jīng)典例題

牛吃草問題經(jīng)典例題英國大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這牛頓問題，俗稱“牛吃草問題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長。解題環(huán)節(jié)主3、求出每天實(shí)際消耗原有草量(牛吃的草量--生長的草量=消耗原有草量)；4、最后求出可吃天數(shù)22天吃的總量與均分到(22-10)天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長出的草。求出了這個(gè)條(10×22-16×1O)÷(22-1O)=(220-160)÷12=60÷12=5(頭)(10-5)×22÷(25-5)=5×22÷20=5.5(天)----------------------------------------------------------------這道題太簡單了，一下就可求出：3×10÷6＝5(天)。如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定(均勻變化)的問題就是牛吃草問題。分析與解：這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀錾显械牟莺托律L出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個(gè)不變量。吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草(l0—5)×20＝100(份)或(15—5)×10＝100(份)。新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100÷20＝5(天)。(1)每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的(2)在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。(3)在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。例2一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開進(jìn)水管，等水池存了一些水后，分析：雖然表面上沒有“牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?，“水”相?dāng)于“草”進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以也是牛吃草問題，出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊模钥梢詮谋容^兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問題。 (份)，3個(gè)出水管5分鐘所排的水是3×5＝15(份)，這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在8-5=3(分)內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是16-15)/3=1/3(份)假設(shè)讓1/3個(gè)出水管專門排進(jìn)水管新進(jìn)得水,兩相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量為:(2-1/3)×8=40/3(份)或(3-1/3)×5=40/3(份)解:設(shè)出水管每分鐘排出得水為1份,每分鐘進(jìn)水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份)進(jìn)水管提前開了(2-1/3)×8÷1/3=40(分)例3由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。)，說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃所以牧場原有草(20＋10)×5＝150(份)。例4自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分級(jí)”，“?！弊兂闪恕八俣取?，也可以看成牛吃草問題。扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5＝100(級(jí))，女孩6分鐘走了15×6＝90(級(jí))，女孩比男5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有(20＋10)×5＝150(級(jí))。解：自動(dòng)扶梯每分鐘走(20×5－15×6)÷(6—5)＝10(級(jí))，自動(dòng)扶梯共有(20＋10)×5＝150(級(jí))。例5某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，“旅客”相當(dāng)于“草”，“檢票口”相當(dāng)于“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。5個(gè)檢票口20分鐘通過(5×20)份，說明在(30-20)分鐘內(nèi)新來旅客(4×30-5×20)份，所以每分鐘新來旅客(4×30-5×20)÷(30-20)=2(份)。假設(shè)讓2個(gè)檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為(4-2)×30=60(份)或(5-2)×20=60(份)。的旅客，需要60÷(7-2)=12(分)。分析與解：例1是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個(gè)問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。[5，6，8]＝120。＝264(頭)牛吃10天。＝240(頭)牛吃14天。因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋?85頭牛吃幾天”(240×14－264×10)÷(14－10)＝180(份)。草地原有草(264—180)×10＝840(份)?？晒?85頭牛吃840÷(285—180)＝8(天)。----------------------------------------------------------------(由格爾是古羅馬的面積單位，1由格爾約等于2,500平方米)。這個(gè)著名的公牛問題叫做“牛頓問題”。牛頓的解法是這樣的：在牧草不生產(chǎn)的條件下，如果12條公牛在四星期內(nèi)吃掉三又草、則按比例63頭公牛四星期內(nèi)，或16頭公牛九個(gè)星期內(nèi)，或八頭的五周內(nèi)，在10由格爾的草地上新長的牧草足夠21-16=5頭公牛四個(gè)星期)內(nèi)新長的牧草可供7頭公牛吃18個(gè)星期，因?yàn)?：14=5/2：7。前已算出，如格爾草地牧草可供八頭公牛吃18個(gè)星期，現(xiàn)考慮牧草生長，故應(yīng)加上面積為y由格爾，由于每頭公牛每個(gè)星期所吃牧草所占的面積看成是相等的，根據(jù)題意，設(shè)若所求的公牛頭數(shù)為x，則(10/3+10/3)*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x————————————————————————————————⑴每天新長的草：(23×9-27×6)÷(9-6)=15⑵牧場原有的牧草：27×6-15×6=72⑵21頭牛幾天把草吃盡：72÷(21-15)=12計(jì)算這種牛頓問題，必須明確一個(gè)道理，就是牧場上的草不是固定不變的，而是在不斷地生長，計(jì)算時(shí)要把這一點(diǎn)考慮進(jìn)去。(江蘇人民出版社《小學(xué)數(shù)學(xué)袖珍手冊》)沒看吧主的解，試做了一下：2、X+9Y=Z*23*93、X+Y=Z*21*得到:72Z+15Z=21Z得到:=12.小明步行從甲地出發(fā)到乙地，李剛騎摩托車同時(shí)從乙地出發(fā)到甲地.48分鐘后兩人相遇，李剛到達(dá)甲地后馬上返回乙地，在第一次相遇后16分鐘追上小明.如果李剛不停地往返于甲、乙兩地，那么當(dāng)小明到達(dá)乙地時(shí)，李剛共追上小明幾次？李剛走完了七個(gè)全程的距離，到達(dá)甲地，可知，中途和小明相會(huì)7次，其中“追上”3————————————————————————————————牛吃草問題解答這類問題，困難在于草的總量在變，它每天，每周都在均勻地生長，時(shí)間愈長，草的總量越多.草的總量是由兩部分組成的：某個(gè)時(shí)間期限前草場上原有的草量；這個(gè)時(shí)間期限后草場每天(周)生長而新增的草量.因此，必須設(shè)法找出這兩個(gè)量來。假設(shè)一頭牛一周吃草一份所以每周新生長的草量：(207-162)÷(9-6)=15份牧場上原有草量：1×27×6-15×6=72份，(或1×23×9-15×9=72份)牛幾周才能吃完呢？解決這個(gè)問題相當(dāng)于把21頭牛分成兩部分：一部分看成專吃牧場上原有的草，另一部分看成專吃新生長的草.2.由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少。已知某草地上的草可供20頭假設(shè)一頭牛一天吃草一份所以每天枯草量：(100-90)÷(6-5)=10份牧場上原有草量：1×20×5+10×5=150份(150-10×10)÷10=5頭牛(10+15)=25頭牛可以吃多少天設(shè)一牛一天吃草一份則每天長草(1×16×20-1×20×12)÷(20-12)=10份份所以每小時(shí)漏進(jìn)水：(50-36)÷(10-3)=2份所以如果要求2小時(shí)淘完，要安排(30+2×2)÷2=17人淘水每天進(jìn)水(100-90)÷(20-15)=2份所以若6天抽完，共需抽水機(jī)(60+2×6)÷6=12臺(tái)8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一將三塊草地的面積統(tǒng)一起來：即[5，6，8]=120于是，假設(shè)一頭牛一天吃草一份所以120公頃草地每天新生長的草：(240×14-264×10)÷(14-10)=180份=840份所以可供285頭牛吃840÷(285-180)=8天新生資源速度一定，那么為滿足人類不斷發(fā)展需要，地球最多能養(yǎng)活多少億人？所以每年新生資源(24000-10000)÷(300-100)=70份為滿足人類不斷發(fā)展需要，應(yīng)使每年消費(fèi)的總資源不超過每年新生資源8.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候所以每分鐘來的旅客：(120-100)÷(30-20)=2組所以如果同時(shí)開7個(gè)檢票口，那么