彈性體的應力和應變

彈性體的應力和應變1第1頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變彈性力學的發(fā)展簡史人類從很早時就已經知道利用物體的彈性性質了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例子。當時人們還是不自覺的運用彈性原理，而人們有系統(tǒng)、定量地研究彈性力學，是從17世紀開始的。彈性力學的發(fā)展初期主要是通過實踐，尤其是通過實驗來探索彈性力學的基本規(guī)律。英國的胡克和法國的馬略特于1680年分別獨立地提出了彈性體的變形和所受外力成正比的定律，后被稱為胡克定律。牛頓于1687年確立了力學三定律。同時，數學的發(fā)展，使得建立彈性力學數學理論的條件已大體具備，從而推動彈性力學進入第二個時期。在這個階段除實驗外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來處理一些簡單構件的力學問題。這些理論在后來都被指出有或多或少的缺點，有些甚至是完全錯誤的。在17世紀末第二個時期開始時，人們主要研究粱的理論。到19世紀20年代法國的納維和柯西才基本上建立了彈性力學的數學理論。柯西在1822～1828年間發(fā)表的一系列論文中，明確地提出了應變、應變分量、應力和應力分量的概念，建立了彈性力學的幾何方程、運動(平衡)方程、各向同性以及各向異性材料的廣義胡克定律，從而奠定了彈性力學的理論基礎，打開了彈性力學向縱深發(fā)展的突破口。

第三個時期是線性各向同性彈性力學大發(fā)展的時期。這一時期的主要標志是彈性力學廣泛應用于解決工程問題。同時在理論方面建立了許多重要的定理或原理，并提出了許多有效的計算方法。2第2頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變

1855～1858年間法國的圣維南發(fā)表了關于柱體扭轉和彎曲的論文，可以說是第三個時期的開始。在他的論文中，理論結果和實驗結果密切吻合，為彈性力學的正確性提供了有力的證據；1881年德國的赫茲解出了兩彈性體局部接觸時彈性體內的應力分布；1898年德國的基爾施在計算圓孔附近的應力分布時，發(fā)現了應力集中。這些成就解釋了過去無法解釋的實驗現象，在提高機械、結構等零件的設計水平方面起了重要作用，使彈性力學得到工程界的重視。在這個時期，彈性力學的一般理論也有很大的發(fā)展。一方面建立了各種關于能量的定理(原理)。另一方面發(fā)展了許多有效的近似計算、數值計算和其他計算方法，如著名的瑞利——里茲法，為直接求解泛函極值問題開辟了道路，推動了力學、物理、工程中近似計算的蓬勃發(fā)展。從20世紀20年代起，彈性力學在發(fā)展經典理論的同時，廣泛地探討了許多復雜的問題，出現了許多邊緣分支：各向異性和非均勻體的理論，非線性板殼理論和非線性彈性力學，考慮溫度影響的熱彈性力學，研究固體同氣體和液體相互作用的氣動彈性力學和水彈性理論以及粘彈性理論等。磁彈性和微結構彈性理論也開始建立起來。此外，還建立了彈性力學廣義變分原理。這些新領域的發(fā)展，豐富了彈性力學的內容，促進了有關工程技術的發(fā)展。3第3頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變彈性力學的基本內容彈性力學所依據的基本規(guī)律有三個：變形連續(xù)規(guī)律、應力-應變關系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學三大基本規(guī)律。彈性力學中許多定理、公式和結論等，都可以從三大基本規(guī)律推導出來。連續(xù)變形規(guī)律是指彈性力學在考慮物體的變形時，只考慮經過連續(xù)變形后仍為連續(xù)的物體，如果物體中本來就有裂紋，則只考慮裂紋不擴展的情況。這里主要使用數學中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識。求解一個彈性力學問題，就是設法確定彈性體中各點的位移、應變和應力共15個函數。從理論上講，只有15個函數全部確定后，問題才算解決。但在各種實際問題中，起主要作用的常常只是其中的幾個函數，有時甚至只是物體的某些部位的某幾個函數。所以常常用實驗和數學相結合的方法，就可求解。4第4頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變

數學彈性力學的典型問題主要有一般性理論、柱體扭轉和彎曲、平面問題、變截面軸扭轉，回轉體軸對稱變形等方面。在近代，經典的彈性理論得到了新的發(fā)展。例如，把切應力的成對性發(fā)展為極性物質彈性力學；把協(xié)調方程(保證物體變形后連續(xù)，各應變分量必須滿足的關系)發(fā)展為非協(xié)調彈性力學；推廣胡克定律，除機械運動本身外，還考慮其他運動形式和各種材科的物理方程稱為本構方程。對于彈性體的某一點的本構方程，除考慮該點本身外還要考慮彈性體其他點對該點的影響，發(fā)展為非局部彈性力學等。但是，由于課程所限，我們在以下幾節(jié)里僅對彈性體力學作簡單的介紹，為振動部分和波動部分作準備。

5第5頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變§8.1彈性體力學－－彈性體的應力和應變簡介

彈性體有四種形變：拉伸壓縮、剪切、扭轉和彎曲。其實，最基本的形變只有兩種：拉伸壓縮和剪切形變；扭轉和彎曲可以看作是由兩種基本形變的組成。彈性體的拉伸和壓縮形變1.正壓力（拉伸壓縮應力）（1）其中，沿作用力截面的法線方向。例：如圖示，6第6頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變2.線應變（相對伸長或壓縮）絕對伸長（或壓縮）與原長之比稱為相對伸長（或壓縮）。公式：（2）當時，為拉伸形變；時，為壓縮形變，因而，它很好地反映形變程度。如直桿拉伸壓縮時，還產生橫向形變，則對應的應變(或形變)為：（3）其中：設想直桿橫截面是正方形每邊長為，橫向形變后為。橫向形變和縱向形變之比為泊松系數：（4）7第7頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變3.胡克定律當應變較小時，應力與應變成正比：（5）或（6）其中：Y

稱為楊氏模量，反映材料對于拉伸或壓縮變形的抵抗能力。設一縱波傳播中，t

時刻

x

處媒質的變形情況，表示所取媒質的長度，x

處媒質的位移為

y(x)，處媒質的位移為，因此媒質的應變?yōu)椋海?，即為x

處媒質的應變：所以：（7）8第8頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變4.拉伸或壓縮的形變勢能——屬于形變物體本身所有（8）同時有：彈性勢能密度，即單位體積中的彈性勢能：（9）9第9頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變§8.2彈性體的剪切形變

一、剪切形變當物體受到力偶作用使物體的兩個平行截面間發(fā)生相對平行移動時的形變叫做剪切形變。例如：用剪刀剪斷物體前即發(fā)生這類形變。二、剪應力（1）其中：S為假想截面ABCD的面積，力F

在該面上均勻分布。三、剪切形變特征：表現為平行截面間的相對滑移。如圖示：切應角若很小，則（2）10第10頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變四、剪切形變的胡克定律若形變在一定限度內，剪切應力與剪切應變成正比：其中，N

為剪切模量，反映材料抵抗剪切應變的能力。（3）通過理論推導，對于各向同性的，均勻的彈性體，有：上式說明了：三個量之間只有兩個是獨立的。其中：Y

是楊氏模量，反映材料抵抗拉伸與壓縮的能力；N

是剪切模量，反映材料抵抗剪切形變的能力；是泊松系數，描寫材料橫向收縮或膨脹的特性。但幾個不同特性的量是有聯(lián)系的。11第11頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變同理，例如，在橫波中：當時：因此，12第12頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變五、剪切形變的彈性勢能密度（單位體積的彈性勢能）：（5）注意：切變只能在固體中產生，流體中不會產生。所以流體中只能傳播縱波，而固體中既能傳播縱波，也能傳播橫波。13第13頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月力學第八章彈性體的應力和應變§8.3梁的彎曲和桿的扭曲

一、梁的彎曲中性層：一根桿中處于中間的既不拉伸又不壓縮的層，如圖中的層。對于純梁彎曲形變有：其中：R

和k

分別為中性層的半徑和曲率；h