四元數(shù)矩陣方程drazin逆的行列式表示

提供完整版的各專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)，四元數(shù)矩陣方程Drazin逆的行列式表示摘要：在行列式的理論中，我們知道在四元數(shù)域上，Hermitian和任意矩陣的Drazin逆的行列式表示。利用已知的行列式理論，我們得到矩陣方程Drazin逆的表示公式（克萊默法則），從而解出四元數(shù)矩陣方程AXB=D的Drazin逆。如果A，B是hermitia矩陣或其他任意一般矩陣，我們也可以得到AX=D和XB=D的解法。關(guān)鍵詞：矩陣式，Drazin逆，四元矩陣，克萊默法則，行列式表示引言在本文里，我們用R表示實(shí)域，用Hm×n表示四元代數(shù)域上全體m×n用I表示適當(dāng)階數(shù)的單位矩陣。用M（n,H）表示n×n四元矩陣的環(huán)域。對于A∈Hm×n，A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置作為矩陣求逆運(yùn)算的重要類型之一，Drazin求逆運(yùn)算以及應(yīng)用在文獻(xiàn)（1-6）中得到了很好的證明，Stanimirovic和Djordjevic提出了基于滿秩矩陣下的Drazin求逆運(yùn)算。在[8,9]中，我們得到了復(fù)雜矩陣的有限D(zhuǎn)razin逆的行列式表達(dá)式。Drazin求逆運(yùn)算的矩陣等式：AX=DXB=DAXB=D這篇論文對[8,9]提出的有關(guān)對四元數(shù)矩陣方程的運(yùn)算進(jìn)行了拓展?？紤]到四元數(shù)矩陣的特點(diǎn)，我們主要解決了求四元矩陣方程平方的行列式運(yùn)算。最近有關(guān)四元數(shù)矩陣的行列運(yùn)算理論得到了發(fā)展。在該理論下，Moore-Penrose廣義逆的行列式表示通過經(jīng)典伴隨矩陣算法得出，對于階數(shù)較小的矩陣可以根據(jù)克萊默準(zhǔn)則計(jì)算其行列式的值。（根據(jù)克萊默準(zhǔn)則，基于二乘法計(jì)算矩陣等式的情況同樣被考慮。在[15-17]中，作者得出一般矩陣ArT1,s12，AlT2在本文中，我們主要得出了關(guān)于Hermitian和一般矩陣的Drazin逆的行列式表示。這篇論文的剩余部分安排如下：我們首先介紹了基本的有關(guān)行列式的概念和結(jié)論，第二章主要介紹了四元矩陣?yán)碚摚谌轮校?.1節(jié)我們給出了Hermitian矩陣的Drazin逆的行列式表示，3.2節(jié)給出了一般任意矩陣的Drazin逆的行列式表示。在第四章，我們具體分析了四元數(shù)矩陣方程的表達(dá)式.最后，在第五章，我們給出了一些具體的例子驗(yàn)證我們的求解方法。2.行列式的基本理論用Sn表示In={定義2.1：行列式A=（aij）∈M(n,H其中滿足jk2<jk3<…<定義2.2：行列式A=（a其中滿足jk2<jk3<…<假定Aij是矩陣A去掉i行j列的余子式。我們用aj表示A的第j列，ai表示A的第i行。假定用A我們得出一些有關(guān)四元數(shù)矩陣A=（aij）的性質(zhì)，其中命題2.1：如果b∈H,則對于所有的i=1,….,n滿足命題2.2：如果b∈H,則對于所有的j=1,….,n滿足命題2.3：如果矩陣A∈Mn,Η,則對于所有的j=1,….,n，存在t∈其中b=b1命題2.4：如果矩陣A∈Mn,H,則對于所有的i=1,….,n，存在t∈其中b=b1命題2.5：假定A*是Hermitian矩陣A∈Mn,H的伴隨矩陣，即對于所有的下面的引理可以幫助我們對矩陣A第i行和第j列（i,引理2.1：用Rij表示矩陣A∈Mn,H對應(yīng)于i行j列的伴隨余子式，對于所有的其中A.jii(a.i引理2.2：用Lij表示矩陣A∈Mn,H對應(yīng)于i行j列的伴隨余子式，對于所有的其中Ai.jj(aj.)是由矩陣A的第以下的理論對于研究行列式的性質(zhì)和特征有著重要的意義。理論2.1.假定A=（aij）推理2.1.在H域上，Hermitian矩陣的各行和各列的行列式值是相等的，我們定義Hermitian矩陣A∈Mn,H的行列式detA。根據(jù)定義，detHermitian矩陣的行列式性質(zhì)在[10]中有詳細(xì)的探討，我們將這些性質(zhì)總結(jié)于下：理論2.2.如果Hermitian矩陣A∈M(n,H)的第i行被替換為其他行的線性組合：ai.=c1理論2.3.如果Hermitian矩陣A∈M(n,H)的第j列被替換為其他列行的線性組合：a.j=a.j以下各項(xiàng)理論主要直接探討了有關(guān)于Hermitian矩陣逆的行列式表示的性質(zhì)。理論2.4.如果一個(gè)Hermitian矩陣A∈M(n,H)，則存在一個(gè)唯一的右逆矩陣（RA）-1和一個(gè)唯一的左逆矩陣（LA）-其中Rij,Lij根據(jù)定理，我們知道Hermitian矩陣的子式也是Hermitian矩陣，所以我們主要工作就是分析Hermitian的代換子式。我們引入了Hermitian矩陣的非零主子式的秩。理論2.5.如果A∈Mn,H是Hermitian矩陣因?yàn)樗脑獢?shù)矩陣是可交換的，所以將Hermitian矩陣的特征值分為兩類。如果四元域上λ滿足A?x=λ?x，則λ定義2.3.如果t∈R,則對于Hermitian矩陣A的多項(xiàng)式pHermitian矩陣的特征多項(xiàng)式的根就是它的左實(shí)特征值，同時(shí)也是它的右實(shí)特征值。我們通過類比分析可以證明下面的理論。（詳見[28]）理論2.6.如果A∈Mn,Η是Hermitian矩陣，則pAt=tn-3.Drazin逆的行列式表示對于任意的矩陣A∈Hn×n,Ind則Drazin逆矩陣X是唯一的，且滿足：Ak+1XAX=X;AX=XA.其中矩陣X可以記作X=A當(dāng)滿足特殊情況IndA=1時(shí)，矩陣X被稱作群逆，記為X=Ag.如果IndA=0時(shí)，推理3.1.根據(jù)上述等式，我們可以得出等式（1）也可以表示為（1a）XAk+13.1對矩陣Drazin逆的近似分析我們可以借助研究Hermitian矩陣的方法來分析矩陣Drazin逆的一些理論，例如可以借助有關(guān)矩陣的秩和特征值的理論。我們在[8]中第一次使用這種分析方法，然后在[12,29]中也使用了這種方法。根據(jù)復(fù)雜問題的近似分析，我們得出了以下有關(guān)矩陣Drazin逆的結(jié)論。理論3.1.如果A∈Ηn×n且Ind其中，λ∈R，且R+a.j(m)表示矩陣Am的第j列，ai.(m)引理3.1.如果A∈Mn,Η且IndA證明.該證明方法可參照文獻(xiàn)[8]中引理2.2的證明。下一條引理同樣參照其證明。引理3.2.如果A∈Mn,Η且IndA=我們假設(shè)α?α1,…,αk?{1,…,m},β?β1,…,βk?{1,…,n}，其中1≤k<minm,n.用Aβα表示矩陣A的第α行第β列的代數(shù)余子式。則Aα下面兩個(gè)引理主要分析了特征值的有關(guān)問題。引理3.3.如果A∈Mn,H，IndA=k其中，cn(ij)=cdeti證明：用b.i記作Hermitian矩陣Ak+1=:(bij其中，ds=β∈Js,n(i)|(A其中a.I(k)是Ak的第考慮到理論2.1，引理2.2，和命題2.2我們可以得出以下等式：同時(shí)我們也可以得出：對于所有的s=1,n-1當(dāng)l=j時(shí)，我們可以得出上述等式。引理3.4.如果A∈Mn,H，IndA=k,其中，rn(ij)=rdetjA理論3.2.如果A∈Mn,H，IndA=k,randA或者證明.我們根據(jù)理論3.1證明了A+=lim其中Lij是矩陣αI+A根據(jù)左伴隨子式的定義，我們可以得到：根據(jù)理論2.6，我們得知其中，ds=β∈Js,n(i)|(A由于randAk+1=rand根據(jù)等式（8），我們得知其中cs(ij)=cn(ij)=c根據(jù)引理3.1，(Ak+1).ia.jk≤r,對于所有的,i,j=1,n，考慮到((Ak+1).i((a.jk))ββ,當(dāng)β∈Js,ni設(shè)s=r+1,且detM≠0.這種情況下，矩陣M的所有右列向量都是線性無關(guān)的。它們相加得到的一維列向量((Ak+1).i((a.jk如果讓s=r+1,且detM=0.，在矩陣M和((Ak+1).i因此對于所有的情況，當(dāng)滿足β∈Js,ni和r+1≤s<n的條件下，我們都能夠得出c而且當(dāng)i,j=1,n時(shí)，因此，當(dāng)i,j=1,n時(shí)，通過計(jì)算矩陣（14）的余子式的值，我們可以得到：因此，cr(ij)=β∈Js,n推論3.1如果IndA=1,rankA2=rankA=r≤n.證明.根據(jù)理論3.2，當(dāng)k=1推論3.2.如果IndA=1,rankA2證明.假設(shè)ADA=(同樣的，我們也可以得到矩陣Drazin逆。對于任意矩陣的Drazin逆的行列式表示對于任意矩陣A∈Mn,H命題3.1.如果lndA=k,則理論3.3.如果A∈Hrm×n,則矩陣A的Moore其中i=1,…,n,j=1,…,m.從而得出矩陣Drazin逆的表示為：其中i,j=1,n.我們用a.s表示(A2k+1矩陣A的Drazin逆AD的各項(xiàng)行列可以表示為：我們用我們用at.表示(A2k+1)*A矩陣A的Drazin逆AD理論3.4.如果IndA=k,rankAk+1=rank4.克萊默法則對于矩陣方程Drazin逆的求解求逆矩陣時(shí)，最經(jīng)典的方法之一便是運(yùn)用克萊默法則求出行列式的值，然后求出逆矩陣。這里，針對求Drazin逆，我們提出了類似于克萊默法則的一些求解方法。矩陣方程AXB=D，其中A∈Hn×n,B∈Hm×m,D存在唯一解，X=A4.1.Hermitian矩陣的Drazin逆記作A理論4.1.如果A,B都是Hermitian矩陣，且對于A∈Hn×n，有rankAk1+1=rank其中分別表示其列向量和行向量，對于i=1,n,j=1,m,di.和證明.對于Drazin逆的解X=ADx對于所有的i=1,n,j=1,m我們用d.s記作Ak1D=:D假定es.和e.s分別代表單位行向量和單位列向量，即除了第s項(xiàng)為1之外各項(xiàng)都為0。因此對于t=1,m,列向量di.A的第t項(xiàng)為di.A因此t=1如果我們用dijB表示列向量d.j將其代入式(31),我們得到：因此l=1考慮到矩陣方程AX=D,其中A∈Hn×n,D∈Hn×m都是已知的，求未知矩陣X∈H推論4.1.對于A∈Hn×n，如果rankAk+1=rankA其中d.j為D的第j列向量，考慮矩陣方程XB=D,其中B∈Hm×m,D∈Hn×m都是已知的，求未知矩陣X∈H推論4.1.對于B∈Hm×m，如果rankBk+1=rankB其中di.為D的第i行向量，i=4.2任意矩陣的Drazin逆利用理論4.1，推論4.1和4.2，對于任意矩陣A∈Hn×n，存在矩陣記(理論4.2.存在矩陣A∈Hn×n，有rankAk1+1=rank其中對于所有的q=1,…,n,p=1,…,m.分別代表其列向量和行向量。，對于i=1,n,j=1,m,di.和推論4.3.對于A∈Hn×n，如果rankAk+1=rankA其中d.j為D的第j列向量，推論4.2.對于B∈Hm×m，如果rankBk+1=rankB其中di.為D的第i行向量，i=5.實(shí)例在本章，我們給出驗(yàn)證以上理論的結(jié)果?？紤]矩陣方程AXB=D,其中因此可以得出A2=34k-3i-4k6我們可以根據(jù)上述等式得出Drazin逆的解為Xd因此最終我們可以得出：同樣地，因此，是該方程式Drazin逆的解?？紤]矩陣方程AX=D，其中：，detA*A=我們可以得出上述方程Drazin逆的解Xd從而我們得到因此最終我們得出：同樣地，因此，是上述方程Drazin逆的解。參考文獻(xiàn)[1]M.P.Drazin,Pseudoinverseinassociativeringsandsemigroups,Am.Math.Mon.65(1958)506–514.[2]S.L.Campbell,C.D.Meyer,Generalizedinverseoflineartransformations,correctedreprintofthe1979original,DoverPublicationsInc,NewYork,1991.[3]A.Ben-Israel,T.N.E.Greville,GeneralizedInverses:TheoryandApplications,seconded.,Springer,NewYork,2003.[4]L.Zhang,AcharacterizationoftheDrazininverse,LinearAlgebraAppl.335(2001)183–188.[5]R.E.Hartwig,G.Wang,Y.M.Wei,SomeadditiveresultsonDrazininverse,Appl.Math.Comput.322(2001)207–217.[6]IsrarAliKhan,Q.W.Wang,TheDrazininversesinanarbitrarysemiring,LinearMultilinearAlgebra59(9)(2011)1019–1029.[7]P.S.Stanimirovic,D.S.Djordjevic,Full-rankanddeterminantalrepresentationoftheDrazininverse,LinearAlgebraAppl.311(2000)131–151.[8]I.I.Kyrchei,AnalogsoftheadjointmatrixforgeneralizedinversesandcorrespondingCramerrules,LinearMultilinearalgebra56(4)(2008)453–469.[9]IvanKyrchei,ExplicitformulasfordeterminantalrepresentationsoftheDrazininversesolutionsofsomematrixanddifferentialmatrixequations,Appl.Math.Comput.219(2013)7632–7644.[10]I.I.Kyrchei,Cramer’sruleforquaternionsystemsoflinearequations,J.Math.Sci.155(6)(2008)839–858.206I.Kyrchei/AppliedMathematicsandComputation238(2014)193–207[11]IvanI.Kyrchei,Thetheoryofthecolumnandrowdeterminantsinaquaternionlinearalgebra,in:AlbertR.Baswell(Ed.),AdvancesinMathematicsResearch,15,NovaSci.Publ.,NewYork,2012,pp.301–359.[12]I.I.Kyrchei,DeterminantalrepresentationsoftheMoore–PenroseinverseoverthequaternionskewfieldandcorrespondingCramer’srules,LinearMultilinearAlgebra59(2011)413–431.[13]IvanKyrchei,Explicitrepresentationformulasfortheminimumnormleastsquaressolutionsofsomequaternionmatrixequations,LinearAlgebra,Appl.438(2013)136–152.[14]IvanKyrchei,AnalogsofCramer’srulefortheminimumnormleastsquaressolutionsofsomematrixequations,Appl.Math.Comput.218(11)(2012),6375–6384.[15]G.J.Song,Q.W.Wang,CondensedCramerruleforsomerestrictedquaternionlinearequations,Appl.Math.Comput.21(7),(2011),3110–3121.[16]G.Song,Q.Wang,H.Chang,Cramerrulefortheuniquesolutionofrestrictedmatrixequationsoverthequaternionskewfield,ComputMath.Appl.61,(2011)1576–1589.[17]G.J.Song,Determinantalrepresentationofthegeneralizedinversesoverthequaternionskewfieldwithapplications,Appl.Math.Comput.219(2012),656–667.[18]L.Huang,W.So,Onlefteigenvaluesofaquaternionicmatrix,LinearAlgebraAppl.323(2001)105–116.[19]W.So,Quaternioniclefteigenvalueproblem,SoutheastAsianBull.Math.29(2005)555–565.[20]R.M.W.Wood,Quaternioniceigenvalues,Bull.Lond.Math.Soc.17(1985)137–138.[21]J.L.Brenner,Matricesofquaternions,Pac.J.Math.1(1951)329–335.[22]E.Macías-Virgós,M.J.Pereira-Sáez,Atopologicalapproachtolefteigenvaluesofquaternionicmatrices,LinearMultilinearAlgebra(2013),/10.1080/03081087.2012.753599.[23]A.Baker,Righteigenvaluesforquaternionicmatrices:atopologicalap-proach,LinearAlgebraAppl.286(1999)303–309.[24]T.Dray,C.A.Manogue,Theoctonioniceigenvalueproblem,Adv.Appl.CliffordAlgebras8(2)(1998)341–364.[25]F.Zhang,Quaternionsandmatricesofquaternions,LinearAlgebraAppl.251(1997)21–57.[26]D.R.Farenick,B.A.F.Pidkowich,Thespectraltheoreminquaternions,LinearAlgebraAppl.371(2003)75–102.[27]F.O.Farid,Q.W.Wang,F.Zhang,Ontheeigenvaluesofquaternionmatrices,LinearMultilinearAlgebra59(4)(2011)451–473.[28]P.Lancaster,M.Tismenitsky,TheoryofMatrices,Acad.Press,NewYork,1969.[2]CarlD.MeyerJr.,Limitsandtheindexofasquarematrix,SIAMJ.Appl.Math.26(3)(1974)506–515.目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章總論 1第一節(jié)項(xiàng)目背景 1第二節(jié)項(xiàng)目概況 2第二章項(xiàng)目建設(shè)必要性 5第三章市場分析與建設(shè)規(guī)模 7第一節(jié)汽車市場需求分析 7第二節(jié)市場預(yù)測 12第三節(jié)項(xiàng)目產(chǎn)品市場分析 13第四節(jié)建設(shè)規(guī)模 16第四章場址選擇 17第一節(jié)場址所在位置現(xiàn)狀 17第二節(jié) 場址建設(shè)條件 17第五章技術(shù)方案、設(shè)備方案、工程方案 22第一節(jié)技術(shù)方案 22第二節(jié)設(shè)備方案 28第三節(jié)工程方案 33第六章原材料、燃料供應(yīng) 38第七章總圖布置與公用輔助工程 39第一節(jié)總圖布置 39第二節(jié)公用輔助工程 43第八章環(huán)境影響評價(jià) 52第一節(jié)環(huán)境保護(hù)設(shè)計(jì)依據(jù) 52第二節(jié)項(xiàng)目建設(shè)和生產(chǎn)對環(huán)境的影響 52第三節(jié)環(huán)境保護(hù)措施 54第四節(jié)環(huán)境影響評價(jià) 56第九章勞動安全衛(wèi)生與消防 57第一節(jié)勞動安全衛(wèi)生 57第二節(jié)消防 64第十章節(jié)能與節(jié)能措施 67第一節(jié)項(xiàng)目概況 67第二節(jié)項(xiàng)目綜合能耗 69第三節(jié)節(jié)約及合理利用能源的主要措施 71第十一章項(xiàng)目實(shí)施進(jìn)度與人力資源配置 PAGEREF_To