第二章單跨梁的彎曲理論

第二章單跨梁的彎曲理論Bending

TheoryofSingle-SpanBeam

幾何特性：受外荷作用而發(fā)生彎曲的桿件叫作梁，僅在梁的兩端有支座的梁叫單跨梁。懸臂梁是單跨梁的一種特殊情形。船體骨架是復(fù)雜的空間桿件系統(tǒng)，組成骨架的每一根桿件都可看作梁。以后在分析桿件系統(tǒng)時(shí)，總是根據(jù)一定的法那么把他們拆開為一根一根桿件進(jìn)行分析。每一根桿件都是單跨梁。一般為斜直線水平線拋物線下凸有極值為零處有尖角(向下）有突變(突變值=

FP)有極值變號(hào)無變化

有突變（突變值=M）剪力圖彎矩圖梁上情況無外力均布力作用(q向下)集中力作用處(FP向下)集中力偶M作用處鉸處無影響為零斜直線剪力圖與彎矩圖之間的關(guān)系§2-1梁的彎曲微分方程式及其通解1.梁的彎曲微分方程式現(xiàn)考慮一單跨直梁:規(guī)定:梁的載荷q——向下為正；梁的撓度v——向下為正;梁的轉(zhuǎn)角θ——順時(shí)針方向?yàn)檎?圖2.1圖2.2梁的彎矩M——左逆右順為正；梁的剪力N——左下右上為正;c根據(jù)微段的平衡條件得到：有下式：〔2－1〕〔2－4〕〔2－3〕〔2－2〕利用式〔2－1〕～〔2－4〕，就可得到梁的彎曲微分方程式：〔2－5〕〔2－6〕〔2－7〕式〔2－7〕就是等截面直梁的彎曲微分方程式。2.梁的彎曲微分方程式的通解，初參數(shù)法式〔2－7〕是簡單的常微分方程，逐次積分可得到：（a）（d）（b）（c）梁左端的彎曲要素稱為初始彎曲要素，或簡稱為初參數(shù)。式〔d〕就是微分方程式〔2－7〕的通解可見，積分常數(shù)就是梁的初參數(shù)。于是通解式（d）可用梁的初參數(shù)表示為：（e）由初參數(shù)引起的撓度由分布載荷如果沒有分布載荷項(xiàng)，上式變?yōu)椋海?-8）這說明，梁的撓度取決于梁端四個(gè)初參數(shù)。討論：〔1〕集中力作用下的梁。pblxyxpblxyx將梁分成兩段：由邊界條件確定由連續(xù)性條件確定由連續(xù)性條件：布勃諾夫?qū)⒑瘮?shù)斷子符號(hào)‖b引入船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)，從而梁全長的撓曲線可以表示為斷子函數(shù)將梁分成兩段：為第一段，為第二段，并把集中力看作是作用在第二段的初始點(diǎn)。于是對(duì)于第一段，梁的撓曲線可寫為：第二段相對(duì)與第一段來說，它在端點(diǎn)多了一個(gè)集中力，這個(gè)集中力相當(dāng)于第二段的一個(gè)初始剪力，且為正。所以梁的撓度在第一段過渡到第二段時(shí)僅增加一項(xiàng)與P有關(guān)的項(xiàng)：此處為自第二段開始算起的坐標(biāo)再在加符號(hào)，表示此項(xiàng)在時(shí)才起作用，于是得到梁的撓曲線為:同理：〔2〕在集中彎距作用下的梁。blxyxm圖2.3（2-9）（2-10）同理：〔3〕在任意分布載荷作用下的梁。blxyxq(x)圖2.4（2-11）綜上所述，在任意載荷作用下梁的撓曲線方方程為：blxyxq(x)caPm圖2.5（2-12）通用方程式§2-2梁的支座和邊界條件1.梁的支座及相應(yīng)的邊界條件〔1〕自由支持在剛性支座上邊界條件為:圖2.6活動(dòng)鉸支座固定鉸支座〔2〕剛性固定在剛性支座上，剛固端邊界條件為:圖2.7〔3〕彈性支座彈性支座，v∝P剛性系數(shù)自由支持在彈性支座上梁端的邊界條件為:vvEIxyP圖2.8柔性系數(shù)

討論：剛性系數(shù)為0時(shí)，和柔性系數(shù)為0時(shí)各代表哪種邊界條件？〔4〕彈性固定端所謂彈性固定端。xyAAEIMM圖2.9梁端力矩柔性系數(shù)剛性系數(shù)梁兩端受到的支座反力矩即梁端彎距，根據(jù)上節(jié)彎距正負(fù)號(hào)的規(guī)定，他們均為正。由轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定，左端為正，右端為負(fù)。由彎距與撓度之間的微分關(guān)系：＝EIv’’,將其代入式〔2-14〕得這就是彈性固定端得邊界條件。由此可得彈性固定在剛性支座上梁端的邊界條件：討論：剛性系數(shù)為0時(shí)，和柔性系數(shù)為0時(shí)各代表哪種邊界條件？xyAAEIy圖2.10圖2.112.撓曲線通用方程式的應(yīng)用例1:求圖2.12所示的撓曲線方程及左右端處的轉(zhuǎn)角。xyAEIm圖2.12l當(dāng)梁端有集中力或彎距作用時(shí)，梁端的邊界條件都應(yīng)當(dāng)把他們考慮在內(nèi)。對(duì)于給定撓度或轉(zhuǎn)角，在寫邊界條件時(shí)，也應(yīng)把他們考慮在內(nèi)。有了邊界條件，就可以應(yīng)用撓曲線通用方程式確定單跨梁的撓曲線方程和其它彎曲要素。解：從圖中可以看出，除了在梁的右端有一集中彎距外，梁上沒有任何載荷。由式〔2-8〕得：根據(jù)梁右端的邊界條件：將兩端的邊界條件代入到上式得：4個(gè)未知數(shù)，要列4個(gè)平衡方程：根據(jù)梁左端的邊界條件：〔a〕從而解得：將其帶入到通用撓曲線方程式〔a〕從而得到梁的撓曲線方程，繼而可以得到梁的轉(zhuǎn)角方程。從而可以計(jì)算梁左端和右端的轉(zhuǎn)角。梁的撓曲線方程為：梁的轉(zhuǎn)角方程為：梁的左端轉(zhuǎn)角為：梁的右端轉(zhuǎn)角為：當(dāng)A＝時(shí)，實(shí)際上就是固定鉸支座mx圖2.13myEIl當(dāng)A＝0時(shí)，就是固定端。mxyEI圖2.14l例2:求圖2.15所示的梁的撓曲線方程xy解：從圖中可以看出，本梁只受到均布載荷q的作用。由式〔2-11〕得：圖2.154個(gè)未知數(shù)，要列4個(gè)平衡方程：根據(jù)梁右端的邊界條件：將兩端的邊界條件代入到上式得：根據(jù)梁左端的邊界條件：又：從而解得：例3:求圖2.16所示的梁的撓曲線方程xyAEIm圖2.16l/2l/2P左端彈性固定端柔性系數(shù)，右端彈性支座柔性系數(shù)解：從圖中可以看出，本梁只受到集中載荷P的作用。由式〔2-9〕得：4個(gè)未知數(shù)，要列4個(gè)平衡方程：根據(jù)梁右端的邊界條件：根據(jù)梁左端的邊界條件：解得：§2-3梁的彎曲要素表及其應(yīng)用從上節(jié)看出，利用梁的撓曲線通用方程式及邊界條件可以確定各種單跨梁的撓曲線方程，從而進(jìn)一步確定梁的彎曲要素。在教材附錄A中給出了各種邊界條件下梁的彎曲要素表。目前我們考慮的彎曲公式是在小變形及材料符合虎克定律的前提下推導(dǎo)的，所以梁的彎曲要素與梁上的外力成線性關(guān)系，從而可以采用疊加原理計(jì)算單跨梁上同時(shí)受到幾種不同外載荷作用下的彎曲要素。由附錄A可見，各種彎曲要素表的詳細(xì)程度不相同，其中兩端自由支持梁的彎曲要素表最詳細(xì)。此外，各種彎曲要素表中的載荷種類也不盡相同。因此，當(dāng)利用這些彎曲要素表及疊加原理來確定某一特定單跨梁的彎曲要素時(shí)，還存在一些技巧。下面舉例進(jìn)行說明。例1:求圖2.17所示的梁的中點(diǎn)撓度，右端轉(zhuǎn)角，并作出梁的剪力圖和彎距圖。圖2.17解：使用疊加法，將受到分布載荷和集中載荷的單跨梁AB，拆開為單獨(dú)受到均布載荷和集中載荷的兩根單跨梁，如圖〔a〕和〔b〕所示：圖2.17a圖2.17b(1)計(jì)算中點(diǎn)撓度。從附錄表A－3中的1和2很容易計(jì)算得到每根梁中點(diǎn)的撓度得：從附錄表A-3中，利用疊加原理可以得到右支座反力和固定端彎距的大小。(2)計(jì)算右端轉(zhuǎn)角。附錄表A-3中并沒有給出右端轉(zhuǎn)角。但是附錄表A-2給出了兩端自由支持梁在各種載荷下的彎曲要素。這樣，我們就可以將圖2-17等效為兩端自由支持梁分別受到集中力、分布載荷和集中力矩來處理。MRb=5P/16+3ql/8=23ql/48Ma=ql2/8+3pl/16=ql2/8+ql2/16=3ql2/16圖2.17cMM圖2.17d圖2.17e圖2.17f查附錄表A-2，應(yīng)用疊加原理很容易就算得到梁右端的轉(zhuǎn)角為；(3)畫彎距圖和剪力圖。有兩種途徑，一種是根據(jù)附錄表A-3中的彎距圖和剪力圖直接疊加；另外一種是根據(jù)圖2-17d、2-17e、2-17f采用附錄表A-2中的彎距剪力圖疊加得到。﹢﹣﹢﹣﹢﹣﹣﹢

剪力和彎距為0時(shí)的x坐標(biāo)值一定要計(jì)算準(zhǔn)確；﹢﹣﹢﹣﹢﹣﹣﹢注意:是豎標(biāo)相加,不是圖形的簡單拼合.例2:計(jì)算以下圖所示的兩端剛性固定梁的彎曲要素xyl/2l/2Pyl/2l/2mx例3:計(jì)算以下圖所示的一端彈性固定，另一端彈性支座梁的中點(diǎn)撓度、端點(diǎn)轉(zhuǎn)角并畫彎矩圖和剪力圖.α=l/3EI,β=l3/48EI,βxyl/2l/2mm1m2xyl/2l/2Pβ§2-4梁的復(fù)雜彎曲如圖2-18所示。EI較小，軸向力很大，那么軸向力所引起的彎曲要素就不能忽略。梁的復(fù)雜彎曲——同時(shí)考慮橫向和軸向這兩種載荷作用梁的彎曲xyTT圖2-18在梁的任一截面上除了有彎距、剪力外還有軸向力。1.梁的復(fù)雜彎曲微分方程推導(dǎo)梁在復(fù)雜彎曲時(shí)，我們?nèi)哉J(rèn)為梁截面符合材料力學(xué)中的平斷面假定，材料仍然服從虎克定律，MTqM+dMNN+dNTdxdv圖2-19列出微段的平衡方程式：yx略去高階微量后，得：(2-13)將式（2-13）再微分一次，并將關(guān)系式：帶入后，得到：對(duì)于等截面和軸向力沿梁長不變的情況，得：(2-15)(2-14)這就是梁在復(fù)雜彎曲〔軸向力為拉力〕時(shí)的彎曲微分方程式。如果軸向力為壓力，只要在上式中用〔-T〕代替〔T〕即可。為了表達(dá)清晰起見，令軸向壓力的絕對(duì)值為T﹡，這樣用〔-T﹡〕代替上式中的T，便可得到梁在復(fù)雜彎曲〔軸向力為壓力〕時(shí)的彎曲微分方程式：(2-16)2.微分方程式的解，初參數(shù)法微分方程式〔2-15〕的解分為相應(yīng)的齊次方程式的通解和非齊次方程式的特解兩局部。先考慮軸向拉力的情況，即方程式〔2-15〕，其齊次方程式為：此式可改寫為：式中：(2-17)(2-18)于是，可將方程式〔2-18〕的解寫作：(2-19)將式〔2-19〕代入到〔2-18〕中得特征方程為：(2-20)此特征方程有4個(gè)根，分別為：所以方程式〔2-18〕的解為：式中為積分常數(shù)仿照§2-1中的方法，直接將此解推廣到梁上受任意橫向載荷的情況而無須求其特解，為此將上式逐次積分：(2-21)并利用式〔2-13〕，有：設(shè)為x＝0時(shí)梁的四個(gè)初始彎曲要素從而解得：代入式〔2-21〕得：仿照〔2-12〕式，就可以將〔2-21〕推廣到梁上受任意橫向載荷得一般情形：(2-22)bdTyxq(x)caPmxT(2-23)圖2-20當(dāng)x>d時(shí)，積分上限為d。如果是軸向壓力，只要將軸向拉力公是中得T用〔-T＊〕代替，或k用〔ik＊〕代替即可，其中：(2-24)當(dāng)x>d時(shí)，積分上限為d。利用撓曲線通用方程式〔2-24〕及梁端的邊界條件，就可以確定相應(yīng)梁復(fù)雜彎曲時(shí)的撓曲線方程，從而由彎距與撓度的關(guān)系式確定彎距方程。進(jìn)一步可以確定梁在復(fù)雜彎曲時(shí)任一橫截面上的剪力?！?〕軸向力為拉力時(shí)〔2〕軸向力為壓力時(shí)(2-26)(2-25)由式〔2-25〕和〔2-26〕可見，梁復(fù)雜彎曲時(shí)剪力與撓度的微分關(guān)系式和梁在橫力彎曲時(shí)并不相同。當(dāng)求得梁復(fù)雜彎曲時(shí)的撓曲線方程后，應(yīng)由式〔2-25〕和〔2-26〕確定剪力方程。在寫梁端邊界條件時(shí)也應(yīng)注意式〔2-25〕和〔2-26〕，及對(duì)于復(fù)雜彎曲,從而彈性支座的邊界條件就與橫力彎曲時(shí)的不同，對(duì)于軸向力為拉力或壓力的梁，其彈性支座的邊界條件為：式中，符號(hào)的取法：左端取(-)，右端取(+)復(fù)雜彎曲時(shí)的彈性固定在彈性支座上的邊界條件也與橫力彎曲時(shí)不同。寫為：軸向拉力軸向壓力式中，符號(hào)的取法：上面的符號(hào)適用于左端，下面的符號(hào)適用于右端邊界條件為：yTT圖2-21邊界條件為：yTT圖2-21例1:如圖2-22所示，受均布載荷q，兩端自由支持并受軸向拉力的T作用的梁，計(jì)算其彎曲要素。3.例題圖2-22TxyTqEIl解：先應(yīng)用式(2-23)計(jì)算梁的撓曲線方程式。梁左端的邊界條件：(a)將邊界條件代入到(a)式得：為了算出上式中的積分，利用變量代換方法。積分上下限為0和x。(b)將積分結(jié)果代入到(b)式得：梁右端的邊界條件：代入到(c)式得：(c)(d)將(d)式代入到(c)式整理后得：式中有了撓曲線方程后，我們就不難求得梁的彎曲要素?，F(xiàn)將通常所需的梁的中點(diǎn)撓度、端點(diǎn)轉(zhuǎn)角及中點(diǎn)彎距的公式寫出如下：(e)(f)式中(g)(g)稱為復(fù)雜彎曲的輔助函數(shù)，他們的數(shù)值取決于，即取決于軸向力T，梁的抗彎剛度EI和梁長l。復(fù)雜彎曲梁的輔助函數(shù)和彎曲要素表見附錄B?，F(xiàn)討論的取值對(duì)復(fù)雜彎曲梁彎曲要素的影響：(2)>0，即T>0，(g)式中的函數(shù)隨著的增加而減少，說明軸向拉力使得梁的彎曲要素減少。(1)=0，即T=0，(g)式中的函數(shù)均為1，這時(shí)所得到的公式就是以前推導(dǎo)的僅受橫向荷重時(shí)的公式如果所討論的梁受到的是軸向壓力T＊，那么在以上公式中將(-T＊)代T，ik＊代k,i＊代。此處：即可得到相應(yīng)的公式如下：及：式中：(h)(i)(j)同樣為復(fù)雜彎曲的輔助函數(shù)?，F(xiàn)討論＊的取值對(duì)復(fù)雜彎曲梁彎曲要素的影響：(2)＊>0，(h)式中的函數(shù)隨著＊的增加而增大，說明軸向拉力使得梁的彎曲要素增大。當(dāng)＊=/2，即(1)＊=0，即T＊=0，(g)式中的函數(shù)均為1，這時(shí)所得到的公式就是以前推導(dǎo)的僅受橫向荷重時(shí)的公式時(shí)，，這說明當(dāng)軸向壓力即使梁受到非常微小的載荷，梁都會(huì)喪失其穩(wěn)定性。因而也可以把復(fù)雜彎曲中使彎曲變形趨向無窮大的軸向壓力定義為臨界壓力。我們?cè)诓牧狭W(xué)壓桿的穩(wěn)定性一章中，兩端鉸支的細(xì)長壓桿的歐拉臨界載荷也是綜上，我們可以指出：當(dāng)梁受任何橫向荷重及軸向拉力或軸向壓力作用而發(fā)生復(fù)雜彎曲時(shí)，不管兩端固定情況如何，總歸是軸向拉力使得梁的彎曲要素減??；軸向壓力使得梁的彎曲要素增大。使得彎曲變形趨向無窮大的軸向壓力就是壓桿的臨界壓力。4.復(fù)雜彎曲梁的彎曲要素及疊加原理對(duì)于受其他荷重作用和其他支撐情況的單跨復(fù)雜彎曲梁，用同樣的方法可以求出其撓曲線方程式和彎曲要素，其結(jié)果列在附錄B中：這就是復(fù)雜彎曲梁的彎曲要素表。由復(fù)雜彎曲梁的通用撓曲線方程式(2-23)和(2-24)知，撓度v與參數(shù)k或k＊不成線性關(guān)系，但是當(dāng)k或k＊為常數(shù)時(shí)，即軸向拉力T或壓力T＊保持不變，撓度v與橫向載荷之間成線性關(guān)系。故梁在一定的軸向力作用下，梁上受到不同橫向載荷時(shí)的彎曲要素仍可用疊加原理求解，即可分別求得在該軸向力作用下的各個(gè)橫向載荷作用時(shí)的彎曲要素，然后疊加。例1:如圖2-23所示的梁，兩端受到集中力矩的作用，求梁兩端面的轉(zhuǎn)角。圖2.23xyEIl解：根據(jù)附錄表B-2m1m2xyEIlm1xyEIlm2＋疊加后得到梁兩端的轉(zhuǎn)角分別為：函數(shù)值見附表B-3和B-4例2:求如圖2-24所示的梁固定端彎距xyEITTxyEITTM解：附錄表B-2并沒有提供這種支座形式，我們將其等效為圖2-25形式的梁。圖2-24圖2-25利用附錄表B-2提供的均布載荷下梁左端的轉(zhuǎn)角和集中力矩作用下梁左端的轉(zhuǎn)角，利用疊加原理。再根據(jù)固定端處，轉(zhuǎn)角為零的邊界條件，就可以求得端面彎距。疊加后利用梁左端轉(zhuǎn)角為零，得到端面彎距為：5.軸向力對(duì)梁彎曲要素的影響由附錄表B提供復(fù)雜彎曲的彎曲要素表可見，軸向力對(duì)彎曲要素的影響取決于輔助函數(shù)，而輔助函數(shù)值的大小又由參數(shù)和〔＊〕決定。因所以，軸向力對(duì)彎曲要素的影響程度取決于軸向力與梁抗彎因子4EI/l2之比值。而不僅僅取決于軸向力的大小。由附錄表B可見當(dāng)或〔＊〕≦0.5時(shí)，各輔助函數(shù)的值接近于1，說明在此范圍內(nèi)，軸向力對(duì)彎曲要素的影響很小，可以忽略在船體骨架的強(qiáng)度計(jì)算中，一般來說參數(shù)或〔＊〕之值不大，因而習(xí)慣上都不考慮軸向力對(duì)彎曲要素的影響。于是在計(jì)算受橫向載荷和軸向力同時(shí)作用的骨架橫截面上的正應(yīng)力時(shí)，可以簡單地使用材料力學(xué)中給出的公式。式中，M—由橫向載荷引起的梁橫截面上的彎距；I、A—橫截面的慣性距和橫截面面積。但是，對(duì)船體結(jié)構(gòu)中的板來說，情況就不同了，由于板的抗彎能力遠(yuǎn)比骨架小，故必須考慮板中面力對(duì)板彎曲應(yīng)力的影響?！?-5彈性根底梁的彎曲支撐于彈性根底上的梁叫彈性根底梁。彈性根底梁在受到橫向載荷而發(fā)生撓度時(shí)，彈性根底會(huì)給梁一個(gè)正比于撓度的反力。設(shè)梁的撓度為v，那么彈性根底給梁的單位長度上的反力為Kv，其中K是比例系數(shù)，簡稱為彈性根底的剛性系數(shù)。在對(duì)某些工程結(jié)構(gòu)物進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，有時(shí)可將其簡化為彈性根底梁的彎曲計(jì)算。例如鐵軌和枕木的計(jì)算，房屋建筑中的鋼筋混凝土條形根底的計(jì)算。船體結(jié)構(gòu)中板架縱桁的計(jì)算以及潛艇耐壓殼體強(qiáng)度計(jì)算都可以歸結(jié)為彈性根底梁的彎曲計(jì)算。對(duì)于有橫向分布載荷q作用的彈性根底梁，假設(shè)把彈性根底給梁的單位長度上的反力Kv看作是分布載荷〔-Kv〕，那么將〔q-Kv〕代替普通梁的彎曲微分方程式中的q：1.等截面彈性根底梁的彎曲微分方程式及其解(2-27)式中彈性根底的剛性系數(shù)K不隨坐標(biāo)x變化，即再整個(gè)梁長范圍內(nèi)K是常數(shù)彈性根底梁的截面轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力與撓度的微分關(guān)系仍和普通梁一樣，即：對(duì)于微分方程式〔2-27〕，可用初參數(shù)法求解。即先求出〔2-27〕的齊次方程的通解，然后推廣到受任意載荷作用時(shí)彈性根底梁的解。將式〔2-27〕的齊次方程式改寫為：(2-28)(2-29)式中對(duì)于齊次微分方程式〔2-29〕的解，根據(jù)高等數(shù)學(xué)微分方程的解法，其通解為：(2-30)式中C1～C4為積分常數(shù)。需要找出這4個(gè)積分常數(shù)與梁端截面的彎曲要素之間的關(guān)系，為此，將式〔2-30〕逐次微分，得：由式〔2-30〕及上面三式，當(dāng)x=0時(shí)，根據(jù)式〔2-28〕，可得：(2-31)將他們代入通解式〔2-30〕得：(2-32)式中v0、0、M0、N0——梁截面的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力。由上式可解得：他們稱為普日列夫斯基函數(shù)。于是式(2-32)就可寫成：(2-33)令函數(shù)：(2-34)普日列夫斯基函數(shù)之間有下面的循環(huán)微分關(guān)系和一些特殊數(shù)值：(2-35)(2-36)現(xiàn)將式〔2-34〕推廣到受任意載荷作用的彈性根底梁〔圖2-26〕。由§2-1所述初參數(shù)法，仿照式〔2-8〕，由式〔2-34〕可寫出yxmPqabcdK圖2-26(2-37)現(xiàn)將式〔2-38〕稱為彈性根底梁的撓曲線通用方程式。有了該方程式和邊界條件就能求出相應(yīng)的彈性根底梁的撓曲線方程，繼而根據(jù)〔2-28〕可以求出其他彎曲要素。例3:對(duì)于受均布載荷q作用的兩端剛性固定的彈性根底梁〔圖2-27〕，求梁的撓曲線方程、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。xqKyl/2l/2解：由于梁的結(jié)構(gòu)和載荷都對(duì)稱于跨中，故取跨度中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，在x=0處，0=0，N0=0。由式〔2-37〕可知，梁的撓曲線方程為：上式等號(hào)右邊最后項(xiàng)的積分，利用函數(shù)V3與V0之間的微分關(guān)系〔式2-35〕，可以得到：從而梁的撓曲線方程式可以寫成：由式〔2-50〕可知4α4EI=K,再將上式中的同類項(xiàng)合并，得到：上式的積分常數(shù)D0和D1根據(jù)邊界條件確定：(2-38)式中,求解上述方程組得到：將積分常數(shù)D0和D1的表達(dá)式代入到〔2-38〕，得到梁的撓曲線方程為(2-39)根據(jù)式〔2-28〕及〔2-35〕，可求出梁的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的表達(dá)式：(2-40)(2-41)(2-42)(2-43)由式〔2-40〕～〔2-43〕，可算出梁中點(diǎn)(x=0)的撓度、彎矩及梁端點(diǎn)(x=l/2)的彎矩、剪力：(2-44)(2-45)(2-46)(2-47)式中稱為彈性根底梁的輔助函數(shù)。(2-48)彈性根底梁的輔助函數(shù)反映了彈性根底對(duì)梁彎曲要素的影響。當(dāng)u=0〔即K=0〕時(shí)，表示不存在彈性根底，此時(shí)，上述輔助函數(shù)值均為1；當(dāng)u>0(即k>0)時(shí)，輔助函數(shù)值隨u的增大而減小，這說明彈性根底的剛性系數(shù)增大，梁的彎曲要素將減小。由式〔2-37〕及以上分析可知，當(dāng)彈性根底的剛性系數(shù)K一定即參數(shù)u一定時(shí)，梁的彎曲要素與外載荷之間成線性關(guān)系，因此，當(dāng)彈性根底梁受到幾種不同外載荷作用時(shí)，仍可采用疊加法，分別求出各個(gè)外載荷單獨(dú)作用下時(shí)的