半群與群環(huán)與域

半群與群環(huán)與域第1頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月13.1半群和獨異點的定義及性質(zhì)定義13.1.1

給定<S，⊙>，若⊙滿足結(jié)合律，則稱<S，⊙>為半群。即對S中的任意元素x,y,z，有(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)?？梢姡肴壕褪怯杉霞捌渖隙x的一個可結(jié)合的二元運(yùn)算組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)。第2頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定義13.1.2

給定<M，○>，若<M，○>是半群且○有幺元，換句話說，若○滿足結(jié)合律且擁有幺元，則稱<M，○>為獨異點。可以看出，獨異點是含有幺元的半群。因此有些著作者將獨異點叫做含幺半群。有時為了強(qiáng)調(diào)幺元e，獨異點表示為<M，○，e>。第3頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例13.1.1給定<N，+>和<N，×>，其中N為自然數(shù)集合，+和×為普通加法和乘法。由普通加法和乘法滿足封閉性和結(jié)合律易知，<N，+>和<N，×>都是半群，而且還是獨異點。因為0是+的幺元，1是×的幺元。第4頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例由有限字母表Σ所組成的字母串集合Σ*與并置運(yùn)算∥所構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)<Σ*，∥>是個獨異點。因為首先它滿足結(jié)合律，例如ab//(cd//ef)=(ab//cd)//ef=abcdef.其次，它有一個幺元——，使得對Σ*內(nèi)任意一元素A，有//A=A//=A.故<Σ*，∥>是個獨異點。顯然，我們令∑+＝∑*－{}，則<∑+，//>是一個半群。第5頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于獨異點，有下面二個性質(zhì)：定理13.1.5

設(shè)<M，○，e>為獨異點，則關(guān)于○的運(yùn)算表中任兩列或任兩行均不相同。證明：對任意a,b∈M，且a≠b，有ea＝a≠b＝eb 和 ae＝a≠b＝be即在○的運(yùn)算表中任兩列或任兩行均不相同。注意：這個定理對半群不一定成立，這個定理的成立完全是由于幺元的存在。第6頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.1.6

給定獨異點<M，○，e>，對任意a，b∈M且a，b均有逆元，則(1)(a-1)-1=a。(2)a○b有逆元，且(a○b)-1=b-1○a-1。證明：(1)因為a-1是a的逆元，即a○a-1=a-1○a=e，故(a-1)-1=a。(2)因為(a○b)○(b-1○a-1)=a○(b○b-1)○a-1=a○e○a-1=a○a-1=e，同理(b-1○a-1)○(a○b)=e，故(a○b)-1=b-1○a-1。第7頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定義如果半群<S，⊙>中的集合S是有限的，則稱半群為有限半群。有限半群有下面有趣的定理：定理13.1.1<S，⊙>為有限半群，則(x)(x∈S∧x⊙x=x)。此定理告訴我們，有限半群存在等冪元。順便強(qiáng)調(diào)，半群中的a的n(n∈Z+)次冪的定義與前面代數(shù)結(jié)構(gòu)中的定義一樣，為第8頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定義13.1.3

給定半群<S，⊙>，若⊙是可交換的，則稱<S，⊙>是可交換半群。類似地可定義可交換獨異點<M，○，e>。例13.1.2給定<P(S)，∪>和<P(S)，∩>，其中P(S)是集合S的冪集，∩和∪為集合上的并與交運(yùn)算?？芍?lt;P(S)，∪>和<P(S)，∩>都是可交換半群。不僅如此，它們還都是可交換獨異點，因為與S分別是它們的幺元。第9頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定義13.1.4

給定半群<S，⊙>和g∈S，以及自然數(shù)集合N，則稱g是半群<S，⊙>的生成元:=(x)(x∈S→(n)(n∈N∧x=gn))。此時也稱元素g生成半群<S，⊙>，而且稱此半群為循環(huán)半群。類似地可定義獨異點<M，○，e>的生成元g和循環(huán)獨異點，并且規(guī)定g0=e。對于循環(huán)獨異點，有下面的性質(zhì)：第10頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.1.2

每個循環(huán)獨異點都是可交換的。證明：設(shè)<M，⊙，e>為獨異點且g為其生成元，則對任意a,b∈M，存在m,n∈N，使得a=gm,b=gn，(注意gm=g⊙g⊙…⊙g，有m個g)從而有a⊙b=gm⊙gn=gm+n=gn+m=gn⊙gm=b⊙a(bǔ)。故⊙是可交換的，從而循環(huán)獨異點<M，⊙，e>是可交換的。顯然，每個循環(huán)半群也是可交換的。第11頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例13.1.3給定<N,+>，其中N為自然數(shù)，+為普通加法，則<N,+>是無窮循環(huán)獨異點。證明：易知，<N,+>為無窮半群，且幺元為0。下證，<N,+>為循環(huán)半群。關(guān)鍵是找到它的生成元。事實上，易知，1為其生成元。因為對任意m∈N，存在m∈N，使得m=1+1+…+1(m個1)=1m,故1為<N,+>的生成元。從而<N,+>是無窮循環(huán)獨異點。<N,+>的確是可交換的。第12頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定義13.1.6給定半群<S，⊙>及非空集TS，若T對⊙封閉，則稱<T，⊙>為<S，⊙>的子半群。類似地，可以定義獨異點<M，⊙，e>的子獨異點<P，⊙，e>，顯然，這里要求e∈P。定義：如果子半群有生成元，則稱此子半群為循環(huán)子半群。對于子半群和子獨異點分別有下面的性質(zhì)：第13頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.1.3

給定半群<S，⊙>及任意a∈S，則<{a，a2，a3，…}，⊙>是循環(huán)子半群。證：因為<S，⊙>是半群，故對任意a∈S，ai∈S，其中i∈Z+，則{a，a2，a3，…}S。顯然，a是<{a，a2，a3，…}，⊙>的生成元。故<{a，a2，a3，…}，⊙>是循環(huán)子半群。第14頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.1.4

給定可交換獨異點<M，○，e>，若P為其等冪元集合，則<P，○，e>為子獨異點。第15頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月13.4群的基本定義及性質(zhì)定義13.4.1

給定<G，⊙>，若<G，⊙>是獨異點且每個元素存在逆元，或者說①⊙是可結(jié)合的，②關(guān)于⊙存在幺元，③G中每個元素關(guān)于⊙是可逆的，則稱<G，⊙>是群。可見，群是獨異點的特例，或者說，群比獨異點有更強(qiáng)的條件。第16頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例13.4.1給定<Z，+>和<Q，×>，其中Z和Q分別是整數(shù)集合和有理數(shù)集合，+和×是一般加法和乘法?？芍?lt;Z，+>是群，0是幺元，每個元素i∈Z的逆元是-i；<Q，×>不是群，1是幺元，0無逆元。但<Q-{0}，×>便成為群。第17頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定義13.4.3

設(shè)<G，>是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪為性質(zhì)：a∈G，

m,n∈Z，有①am

an=am+n，②(am)n=amn。

注：群中元素定義了負(fù)整數(shù)次冪，這與半群和獨異點不同。第18頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月群具有前面所講半群和獨異點的所有性質(zhì)，這里我們介紹群特有的幾個重要性質(zhì)：定理13.4.1<G，⊙>是群∧|G|＞1<G，⊙>無零元。其中|G|表示集合G的基數(shù)（勢）證明：若θ為<G，⊙>的零元，又如|G|＞1，則由定理12.2.5得θ≠e

。對任意x∈G

，均有θ⊙x=θ≠e

，故θ無逆元，這與<G，⊙>是群矛盾。第19頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.4.2<G，⊙>是群<G，⊙>中的唯一的等冪元是幺元。證明：假定a∈G

是等冪元，即有a⊙a(bǔ)=a。于是，e=a-1⊙

a=a-1⊙

(a⊙a(bǔ))=(a-1⊙

a)⊙a(bǔ))=ea=a?？梢?，只有幺元e為等冪元。第20頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.4.3

給定群<G，⊙>，則有(a)(b)(c)(a,b,c∈G∧(a⊙b=a⊙c∨b⊙a(bǔ)=c⊙a(bǔ))→b=c))，即群滿足可約律。定理13.4.4給定群<G，⊙>，則有(a)(b)(a,b,∈G→

(!x)(x∈G∧a⊙x=b)

∨

(!y)(y∈G∧y⊙a(bǔ)=b))，或者(a)(b)(a,b,∈G→

(!x)

(!y)(x,y∈G∧a⊙x=y⊙a(bǔ)=b))即群中方程解是唯一的。第21頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.4.5

設(shè)<G，○>為群，則(1)a∈G，(a-1)-1=a。(2)a，b∈G，a○b有逆元，且

(a○b)-1=b-1○a-1。證明：(1)因為a-1是a的逆元，即a○a-1=a-1○a=e，故(a-1)-1=a。(2)因為(a○b)○(b-1○a-1)=a○(b○b-1)○a-1=a○e○a-1=a○a-1=e，同理(b-1○a-1)○(a○b)=e，故(a○b)-1=b-1○a-1。第22頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定義13.4.4

給定群<G，⊙>，若⊙是可交換的，則稱<G，⊙>是可交換群或<G，⊙>是Abel群。例13.4.3例13.4.1中<Z，+>是Abel群。

Abel群具有以下性質(zhì)：第23頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.4.6

給定群<G，⊙>，(1)若<G,⊙>是Abel群，則(a⊙b)n=an⊙bn;(2)<G,⊙>是Abel群(a⊙b)2=a2⊙b2;下面介紹群中某個元素a的階（周期）的定義。第24頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定義13.4.5

給定群<G，⊙>，a,e∈G，其中e是群的幺元，則元素a的階（周期）為n

:=(k)(k∈I+∧{ak=e}=n)，并稱a的階是有限的；否則，a的階是無窮的。例13.4.4任何群的幺元e的階都是1。第25頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.4.7

給定群<G，⊙>，a∈G，且|a|=k，p為整數(shù)，則ap=ek|p。推論：若an=e且沒有n的因子d(1＜d＜n)使ad=e，則n為a的階。例13.4.5如果a6=e且a2≠e和a3≠e

，則6是a的階。定理13.4.8

給定群<G，⊙>及a∈G，則a與a-1具有相同的階。第26頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月13.5循環(huán)群和子群定義13.5.6

設(shè)<G，⊙>是群，若g∈G，對x∈G，k∈Z，有x=gk，稱<G，⊙>是循環(huán)群，記作G=<g>，稱g是群<G，⊙>的生成元。

若存在最小正整數(shù)n，gn=e，稱n為生成元的階或周期；否則稱g是無限階的。

第27頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)生成元g的階，將循環(huán)群分成兩類：一是有限循環(huán)群，二是無限循環(huán)群。于是若G=<g>且g的階為n，則G={g0=e，g，g2，…，gn-1}，即|G|=|g|=n；否則，G={g0=e，g1，g2，…}，有|g|＝|G|=∞。如<Z，+>是無限循環(huán)群，其生成元是1和-1。對于循環(huán)群的生成元可能不只一個，如何求出它的所有生成元呢？看下面結(jié)論。第28頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定理13.5.6

設(shè)<G，⊙>是以g為生成元的循環(huán)群，①若<G，⊙>是無限循環(huán)群，則群<G，⊙>只有兩個生成元，即g和g-1。②若<G，⊙>是n階循環(huán)群，則群<G，⊙>含有φ(n)個生成元，對于任何小于等于n且與n互素的正整數(shù)p，gp是生成元。（P263定理13.5.6）其中，φ(n)是歐拉函數(shù)，它表示小于或等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)。如φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(5)=4，φ(6)=2，φ(7)=6，φ(8)=4，φ(9)=6，…。當(dāng)p是素數(shù)時，顯然有，φ(p)=p-1。（P194）第29頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定義13.6.1

給定群<G，⊙>及非空集合HG，若<H，⊙>是群，則稱<H，⊙>為群<G，⊙>的子群。顯然，<{e}，⊙>和<G，⊙>都是<G，⊙>的子群，并且分別是<G，⊙>的“最小”和“最大”的子群。（P263）子群的性質(zhì)：1.群與其子群具有相同的幺元（P263定理13.6.1）2.<H，⊙>是<G，⊙>的子群H對于運(yùn)算⊙是封閉的。（P264定理13.6.4）第30頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)G=<a>是14階循環(huán)群，求出G的所有生成元和G的所有子群。1）G的所有生成元是：a，a3，a5，a9，a11，a13。2）G的所有子群為：{e}，{e，a2，a4，a6，a8，a10，a12}，{e，a7}及G本身，共4個。注：①確定已知群的全部子群，一般來說是很困難的，但從此例可以看到，對于循環(huán)群而言，卻是容易辦到的。②一般地，若G是循環(huán)群，且有m個元素，m=p1α1p2α2…prαr，其中p1,p2,…pr是r個兩兩不同的素數(shù)，則G共有(1+α1)(1+α2)…(1+αr)個兩兩不同的子群。第31頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)G1是循環(huán)群，G1的生成元是a，f是G1到G2的同構(gòu)映射，問G2是不是循環(huán)群？如果是，G2的生成元是多少？解：記b=f(a)∈G2，則對任意x∈G2，c∈G1以及k∈Z，c=ak使得x=f(c)=f(ak)=(f(a))k=bk。這說明G2是由b生成的循環(huán)群。G2的生成元是b=f(a)。此例說明，循環(huán)群的同構(gòu)映射的結(jié)果仍是循環(huán)群。第32頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月循環(huán)群的性質(zhì)：1.循環(huán)群的任何子群仍是循環(huán)群。（P265定理13.6.7）2.循環(huán)群必定是Abel群。（聯(lián)想上一章的結(jié)論：每個循環(huán)半群是可交換的。）第33頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月14.1環(huán)定義14.1.1

給定<R，+，·>，其中+和·都是二元運(yùn)算，若①<R，+>是Abel群，②<R，·>是半群，③·對于+是可分配的，即：對任意x,y,z∈R，

x·(y+z)=x·y+x·z

(y+z)·x=y·x+z·x則稱<R，+，·>是環(huán)。第34頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月為了方便，通常將+稱為加法，將·稱為乘法，把<R，+>稱為加法群，<R，·>稱為乘法半群。而且還規(guī)定，運(yùn)算的順序先乘法后加法。注意這里加法和乘法不一定僅限于初等數(shù)學(xué)的加與乘。同樣，加運(yùn)算的幺元我們用“0”表示，乘運(yùn)算的幺元用“1”表示，