數(shù)字信號處理原理實現(xiàn)及應(yīng)用第4版高西全課后參考答案

·PAGE226·第1章時域離散信號和系統(tǒng)1.31.1用單位脈沖序列及其加權(quán)和表示圖P1.1所示的序列。解：1.2給定信號(1)畫出x(n)的波形，標(biāo)上各序列值；(2)試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；(3)令，畫出的波形；(4)令，畫出的波形。解：(1)畫出x(n)的波形，如圖S1.2.1所示。圖P1.1圖S1.2.1(2)。(3)畫出的波形，如圖S1.2.2所示。(4)畫出的波形，如圖S1.2.3所示。1.3判斷下列信號中哪一個是周期信號，如果是周期信號，求出它的周期。圖S1.2.2圖S1.2.3(a) (b) (c)(d) (e) (f)解：(a)是非周期信號。(b)是周期信號，，取M=97，周期為20。(c)是周期信號，，取M=4，周期為5。(d)是周期信號，，周期為14。(e)是周期信號，周期為14。(f)是非周期信號?？偨Y(jié)以上，如果數(shù)字頻率不是的函數(shù)，則一定是非周期序列。1.4對圖P1.1給出的x(n)，要求：(1)畫出x(n)的波形；(2)計算，并畫出的波形；(3)計算，并畫出的波形；(4)令，將和x(n)進(jìn)行比較，你能得出什么結(jié)論？解：(1)畫出x(n)的波形如圖S1.4.1所示。(2)將圖P1.1所示波形和圖S1.4.1所示波形相加再除以2，得到的波形，如圖S1.4.2所示。圖S1.4.1圖S1.4.2(3)將圖P1.1所示波形和圖S1.4.1所示波形相減，再除以2，得到的波形，如圖S1.4.3所示。圖S1.4.3到是x(n)的偶對稱序列，x(n)的奇對稱序列。這是一個具體例子，但可以推廣到一般情況，結(jié)論是對于一般實序列可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列，即，式中，。1.5以下序列是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，試說明系統(tǒng)是否是因果的和穩(wěn)定的。(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7)解：(1)，系統(tǒng)是因果、不穩(wěn)定。 (2)，系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。(3)，系統(tǒng)是因果的，但不穩(wěn)定。 (4)，系統(tǒng)是非因果、穩(wěn)定的。(5)，系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。 (6)，系統(tǒng)是非因果的，不穩(wěn)定。1.6假設(shè)系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關(guān)系分別如下式所示，試分別分析系統(tǒng)是否是線性時不變系統(tǒng)。(1) (2)(3) (4)解：(1)將上式中的n用代替，得到。令，因此，系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。令系統(tǒng)的輸入信號為兩個信號的線性組合，則輸出為，因為，因此該系統(tǒng)不服從線性疊加原理，是非線性系統(tǒng)。(2)分析方法同上，該系統(tǒng)是時不變非線性系統(tǒng)。(3)由上式有因此，該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。令系統(tǒng)的輸入信號為兩個信號的線性組合，則輸出為因為，因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。(4)由上式得到這樣，該系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。按照差分方程，可把系統(tǒng)看成是一個放大器，放大器的放大量是n，因為該放大量隨n改變，從物理概念上講，該系統(tǒng)也是一個時變系統(tǒng)。令系統(tǒng)的輸入信號為兩個信號的線性組合，則輸出為，因為，因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。1.7按照圖P1.7完成下面各題。圖P1.7(1)根據(jù)串并聯(lián)系統(tǒng)的原理直接寫出總的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)；(2)設(shè)，，，試求總的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)，并推出y(n)和輸入x(n)之間的關(guān)系。解：(1)。(2)在下面的推導(dǎo)中，用一些常用的公式，會使推導(dǎo)簡便，它們是，；，在(1)式中，或者1.8由三個因果線性時不變系統(tǒng)串聯(lián)而成的系統(tǒng)如圖P1.8(a)所示，已知分系統(tǒng)整個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖P1.8(b)所示。(1)求分系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)；(2)如果輸入，求該系統(tǒng)的輸出y(n)。圖P1.8解：(1)按照圖P1.8(a)寫出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如下：式中，。已知h(n)，求。上式是一個遞推公式，用遞推法求解。求解時注意系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)。； ；；；； ；； 。最后得到當(dāng)n=0,1,2,3,4,5,6,7,…時，(2)將已求出的代入上式，得到當(dāng)n=0,1,2,3,4,5,6,7,…時,。1.9計算并畫出圖P1.9所示信號的卷積。圖P1.9(a)，原點在6處，波形如圖S1.9.1(a)所示。(b)，原點在18處，波形如圖S1.9.1(b)所示。(c)，原點在第一個2處，波形如圖S1.9.1(c)所示。(d)，原點在第一個1處，波形如圖S1.9.1(d)所示。圖S1.9.11.10證明線性卷積服從交換率、結(jié)合率和分配率，即證明如下等式成立：(1) (2)(3)解：證明如下：(1)因為令(2)利用上面已證明的結(jié)果，得到交換求和號的次序，得到(3)1.11已知系統(tǒng)的輸入x(n)和單位脈沖響應(yīng)h(n)，試求系統(tǒng)的輸出y(n)。(1) (2)(3) (4)(5) (6) 解：(1)，原點在第一個1處。(3)。(4)該題解的方法和主教材中的例題1.3.3相同，；，，n＜0，y(n)=0，非零值范圍為，因此，非零區(qū)間為，因此結(jié)果為(5)。為了計算方便，將上式寫成采用列表法，計算過程如表S1.11.1所示。表S1.11.1m432101234563x(m)0123456h(m)11111h(m)111113y(0)=3h(1m)111113y(1)=6h(2m)111113y(2)=10h(3m)111113y(3)=15h(4m)111113y(4)=21………………h(huán)(1m)111113y(1)=1h(2m)111113y(2)=0，原點在3處。(6)，由得到。由得到。；，；，；，；最后得到1.12如果線性時不變系統(tǒng)的輸入和輸出分別為(1) (2) 試求出相應(yīng)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。解：這是一個簡單的解線性卷積的題目，可用遞推法求解。(1)； ；； 得到(2)1.13已知因果系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。解：用遞推法求解，令，y(1)=0，y(n)=h(n)，；；；歸納起來，結(jié)果為。1.14設(shè)系統(tǒng)的差分方程為，y(1)=0。分析系統(tǒng)是否是線性、時不變系統(tǒng)。解：分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為，，時，求它的輸出，再檢查是否滿足線性疊加原理和非時變性。(1)，系統(tǒng)的輸出用表示：該情況在主教材例題1.5.2中已求出，系統(tǒng)的輸出為。(2)，系統(tǒng)的輸出用表示： 最后得到 。(3)，系統(tǒng)的輸出用表示： 最后得到 。由(1)和(2)得到 因此，可斷言這是一個時不變系統(tǒng)。情況(3)的輸入信號是情況(1)和情況(2)的輸入信號的相加信號，因此。觀察，得到，因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。最后得到結(jié)論：用差分方程描述的系統(tǒng)，當(dāng)初始條件為零時，是一個線性時不變系統(tǒng)。1.15習(xí)題1.6和習(xí)題1.14都是由差分方程分析系統(tǒng)的線性時不變性質(zhì)，為什么習(xí)題1.6沒給初始條件，而習(xí)題1.14給了初始條件？解：系統(tǒng)用差分方程描述時，分析其線性時不變性質(zhì)，需要給定輸入信號求輸出，因此需要已知差分方程的初始條件，是幾階差分方程就需要幾個初始條件，習(xí)題1.6的差分方程是零階的，因此不需要初始條件，而習(xí)題1.14是一階的，因此需要一個初始條件。1.16設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為，系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀察數(shù)據(jù)，設(shè)，試用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。遞推時設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零。解： 最后得到。1.17如果線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：單位階躍響應(yīng)是系統(tǒng)輸入單位階躍序列時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此該題即是求系統(tǒng)對單位階躍序列的響應(yīng)。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)用y(n)表示，即非零值區(qū)間為，，最后得到。1.18已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入信號x(n)分別為求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：利用習(xí)題1.17的結(jié)果，得到1.19已知系統(tǒng)用下面的差分方程描述：(1)求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；(2)求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：(1)令n=0，n=1，n=2，n=3，n=4，或者(2)該題可以直接由差分方程求單位階躍序列的響應(yīng)，因為上題已求出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，因此可以直接用線性卷積求解。令，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)用表示，則利用習(xí)題1.17的結(jié)果得到從而有1.20*已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別為(1)(2)分別求兩個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)（只求前30個序列值即可）。解：(1)系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B1=1;A1=[1,0.6,0.08]。(2)系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B2=[2,0,1];A2=[1,0.7,0.1]。調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的程序ex120.m如下：％程序ex120.mB1=1;A1=[1,0.6,0.08]; ％設(shè)差分方程(1)系數(shù)向量B2=[2,0,1];A2=[1,0.7,0.1]; ％設(shè)差分方程(2)系數(shù)向量％============================================================％系統(tǒng)1xn=[1,zeros(1,30)]; ％x(n)=單位脈沖序列，長度N=31hn1=filter(B1,A1,xn); ％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號h(n)n=0:length(hn1)1;subplot(3,2,1);stem(n,hn1,'.')title('(a)系統(tǒng)1的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)')xn=ones(1,30); ％x(n)=單位階躍序列，長度N=31sn1=filter(B1,A1,xn); ％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號h(n)n=0:length(sn1)1;subplot(3,2,2);stem(n,sn1,'.')title('(b)系統(tǒng)1的單位階躍響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('s(n)')％===============================================================％系統(tǒng)2xn=[1,zeros(1,30)]; ％x(n)=單位脈沖序列，長度N=31hn2=filter(B2,A2,xn); ％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號h(n)n=0:length(hn2)1;subplot(3,2,5);stem(n,hn2,'.')title('(a)系統(tǒng)2的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)')xn=ones(1,30); ％x(n)=單位階躍序列，長度N=31sn2=filter(B2,A2,xn); ％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號s2(n)n=0:length(sn2)1;subplot(3,2,6);stem(n,sn2,'.')title('(b)系統(tǒng)2的單位階躍響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('s_2(n)')程序運行結(jié)果如圖S1.20.1所示。圖S1.20.11.21*已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號分別為，用遞推法計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算該系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex121.m如下：％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)響應(yīng)序列B=[1,0,2];A=[1,0.5]; ％設(shè)差分方程系數(shù)向量xn=[1,2,3,4,2,1,zeros(1,24)]; ％x(n)長度N=30yn=filter(B,A,xn); ％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號y(n)圖S1.21.1n=0:length(yn)1;圖S1.21.1subplot(3,2,1);stem(n,yn,'.')title('(a)系統(tǒng)1的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('y(n)')程序運行結(jié)果如圖S1.21.1所示。1.22*如系統(tǒng)的差分方程為式中，。(1)編寫求解系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的程序，并畫出；(2)編寫求解系統(tǒng)零狀態(tài)單位階躍響應(yīng)的程序，并畫出；(3)利用(1)中的的一段形成一個新的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為編寫求解這個新系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的程序；(4)比較(2)和(3)中求得的單位階躍響應(yīng)的特點。解：調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算該系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex122.m如下：％《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第1章上機題1.22程序ex122.m％電子工業(yè)出版社出版高西全丁玉美闊永紅編著2006年8月％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)B=0.866;A=[1,0.8,0.64]; ％差分方程系數(shù)向量％================================================================％(1)求解系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)，并畫出h(n)xn=[1,zeros(1,48)]; ％x(n)=單位脈沖序列，長度N=31hn=filter(B1,A1,xn); ％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號h(n)n=0:length(hn)1;subplot(3,2,1);stem(n,hn,'.')title('(a)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)')％==================================================================％(2)求解系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)，并畫出h(n)xn=ones(1,100); ％x(n)=單位階躍序列，長度N=100sn=filter(B,A,xn); ％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)s(n)n=0:length(sn)1;subplot(3,2,2);stem(n,sn,'.');axis([0,30,0,2])title('(b)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('s(n)')％==================================================================％(3)求解截取15點的FIR系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)，并畫出s(n)form=1,15,hnfir(m)=hn(m);endsn=filter(B,A,xn); ％調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)s(n)n=0:length(sn)1;subplot(3,2,6);stem(n,sn,'.');axis([0,30,0,2])title('(c)FIR系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('s(n)')程序運行結(jié)果如圖S1.22.1所示。圖S1.22.1圖P1.22.1(b)和(c)的波形基本相同，由此可見，有些IIR數(shù)字濾波器可以用FIR數(shù)字濾波器逼近，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)可以通過截取IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)的一段得到，截取長度足夠長時，逼近誤差很小。1.23*在圖P1.23中，有四個分系統(tǒng)，分別用下面的單位脈沖響應(yīng)或者差分方程描述： 編寫程序計算整個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。圖P1.23解：由圖P1.23可知，可以采用以下步驟計算整個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。設(shè)，，該式調(diào)用conv函數(shù)計算。，該式調(diào)用filter函數(shù)計算。調(diào)用MATLAB函數(shù)conv和filter計算該系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex123.m如下：％《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第1章上機題1.23程序ex123.m％電子工業(yè)出版社出版高西全丁玉美闊永紅編著2006年8月％調(diào)用conv和filter求總系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)序列h1n=[1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32];％對h1(n)賦值h2n=ones(1,6);h3n=[1/4,1/2,1/4,zeros(1,97)];％計算v(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)h12n=conv(h1n,h2n);h12n=[h12n,zeros(1,89)];vn=h12n++h3n;％調(diào)用filer計算h(n)等于T4對v(n)響應(yīng)B4=[1,1];A4=[1,0.9,0.81];hn=filter(B4,A4,vn);％以下為繪圖部分n=0:length(hn)1;subplot(2,1,1);stem(n,hn,'.')xlabel('n');ylabel('h(n)')程序運行結(jié)果如圖S1.23.1所示。圖S1.23.11.24(a)寫出3項滑動平均濾波器的差分方程和單位脈沖響應(yīng)。(b)*設(shè)3項滑動平均濾波器的輸入信號為，畫出該濾波器的輸入和輸出的前15個序列值。解：(a)3項滑動平均濾波器的差分方程和單位脈沖響應(yīng)分別為(b)x(n)=濾波程序ex124.m如下：%《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》習(xí)題1.24程序ex124.mB=[1,1,1]/3;A=1; %設(shè)置系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和An=0:30;xn=sin(n*pi/6); %產(chǎn)生x(n)的20個樣值yn=filter(B,A,xn); %對x(n)平滑濾波subplot(3,2,1);stem(n,xn,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');subplot(3,2,3);stem(n,yn,'.');xlabel('n');ylabel('y(n)');程序運行結(jié)果如圖S1.24.1所示。1.25*假設(shè)5項滑動平均濾波器的輸入信號用圖P1.25表示，畫出該濾波器輸出的前16個序列值的波形，并說明該濾波器對輸入信號起什么作用。圖S1.24.1圖P1.25解：5項滑動平均濾波器的差分方程為調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算該系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex125.m如下：%《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第1章上機題1.25程序ex125.m%電子工業(yè)出版社出版高西全丁玉美闊永紅編著2016年7月%調(diào)用conv實現(xiàn)5項滑動平均濾波xn=0.5*ones(1,15);xn(4)=1;xn(8)=1;xn(11)=1;hn=ones(1,5);yn=conv(hn,xn);n=0:length(yn)-1;subplot(2,1,1);stem(n,yn,'.')xlabel('n');ylabel('y(n)')程序運行結(jié)果如圖S1.25.1所示。圖S1.25.1第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言數(shù)字信號處理中有三個重要的數(shù)學(xué)變換工具，即傅里葉變換、Z變換和離散傅里葉變換，利用它們可以將信號和系統(tǒng)在時域空間和頻域空間相互轉(zhuǎn)換，這大大方便了對信號和系統(tǒng)的分析和處理。三種變換互有聯(lián)系，但又不同。表征一個信號和系統(tǒng)的頻域特性用傅里葉變換；變換是傅里葉變換的一種擴展，在Z域?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行分析與設(shè)計更加既靈活方便。單位圓上的Z變換就是傅里葉變換，因此用Z變換分析頻域特性也很方便。離散傅里葉變換是離散化的傅里葉變換，因此用計算機分析和處理信號時，全用離散傅里葉變換進(jìn)行。離散傅里葉變換具有快速算法FFT，使離散傅里葉變換在應(yīng)用中更加重要。但是離散傅里葉變換不同于傅里葉變換和Z變換，其優(yōu)點是將信號的時域和頻域都進(jìn)行了離散化，便于計算機處理。但實際使用中，一定要注意它的特點，例如對模擬信號進(jìn)行頻域分析，只能是近似的，如果使用不當(dāng)，會引起較大的誤差。因此掌握好這三種變換是學(xué)習(xí)好數(shù)字信號處理的關(guān)鍵。本章只學(xué)習(xí)前兩種變換，離散傅里葉變換及其FFT在下一章中講述。2.2本章學(xué)習(xí)要點(1)求序列的傅里葉變換—序列頻率特性。(2)求周期序列的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換—周期序列頻率特性。(3)，和的傅里葉變換，為有理數(shù)。(4)傅里葉變換的性質(zhì)和定理：傅里葉變換的周期性、移位與頻移性質(zhì)、時域卷積定理、巴塞伐爾定理、頻域卷積定理、頻域微分性質(zhì)、實序列和一般序列的傅里葉變換的共軛對稱性。(5)求序列的Z變換及其收斂域。(6)序列Z變換收斂域與序列特性之間的關(guān)系。(7)求逆Z變換：部分分式法和圍線積分法。(8)Z變換的定理和性質(zhì)：移位、反轉(zhuǎn)、Z域微分、共軛序列的Z變換、時域卷積定理、初值定理、終值定理、巴塞伐爾定理。(9)如何求系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)。(10)如何用極點分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。(11)何謂零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)以及暫態(tài)響應(yīng)；如何求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及系統(tǒng)穩(wěn)定時間；如何用單位階躍函數(shù)測試系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(12)如何用零極點分布定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。2.72.1試求以下序列的傅里葉變換。(1) (2)(3) (4)解：(1)(2)(3)(4)(1) (2) (3)(4) (5) (6)n為偶數(shù)nn為偶數(shù)n為奇數(shù)解：(1)。(2)。(3)。(4)，令取偶數(shù)取偶數(shù)或者。(5)因為對該式兩邊對求導(dǎo)，得到因此，。(6)。(7)。令2.3假設(shè)信號它的傅里葉變換用表示，不具體計算，計算下面各式的值：(1) (2)∠ (3)(4) (5)解：(1)(2)∠=0(3)，令n=0，(4)(5)2.4證明：若是的傅里葉變換為整數(shù)為整數(shù)則整數(shù)解：整數(shù)令，是整數(shù)2.5設(shè)圖P2.5所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列運算(1) (2) (3)(4)確定并畫出傅里葉變換為的時間序列(5) (6)解：(1) (2)(3)(4)因為傅里葉變換的實部對應(yīng)序列的共軛對稱部分，即按照上式畫出的波形，如圖S2.5.1所示。圖P2.5圖S2.5.1(5)(6)因為所以，2.6設(shè)，證明x(n)的FT為。解：不服從絕對可和的條件，只有引入函數(shù)才能表示出它的FT令 (a) (b)將(a)、(b)兩式相減，得 (c)再將(c)進(jìn)行FT，得再對(a)式進(jìn)行FT，得2.7線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為，如果單位脈沖響應(yīng)為實數(shù)序列，試證明輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為解：假設(shè)輸入信號，系統(tǒng)單位脈沖相應(yīng)為，系統(tǒng)輸出為上式說明當(dāng)輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)，利用該性質(zhì)解此題。=上式中是的偶函數(shù)，相位函數(shù)是的奇函數(shù)，=，2.8設(shè)將以為周期進(jìn)行周期延拓，形成周期序列，畫出和的波形，求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換表示式。解：畫出和的波形如圖S2.8.1所示。以8為周期以8為周期圖S2.8.1或者，以8為周期2.9證明：(1)是實、偶函數(shù)，則對應(yīng)的傅里葉變換是實、偶函數(shù)。(2)是實、奇函數(shù)，則對應(yīng)的傅里葉變換是純虛數(shù)，且是的奇函數(shù)。解：(1)是實、偶函數(shù)，下面證明其傅里葉變換是實、偶函數(shù)。兩邊取共軛，得到對上式兩邊取共軛，得到，說明是實序列，具有共軛對稱性質(zhì)。由于是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，那么，因此，該式說明是實函數(shù)，且是的偶函數(shù)。歸納起來，證明是實、偶函數(shù)時，對應(yīng)的傅里葉變換是實、偶函數(shù)。(2)是實、奇函數(shù)，下面證明其傅里葉變換是純虛數(shù)，且是的奇函數(shù)。上面已推出，是實序列，具有共軛對稱性質(zhì)，即。由于是奇函數(shù)，上式中是奇函數(shù)，那么，因此證明了是純虛數(shù)，且是的奇函數(shù)。2.10設(shè)，試求的共軛對稱序列和共軛反對稱序列，并分別用圖表示。解：，和的波形如圖S2.10.1所示圖S2.10.12.11設(shè)，分別求出其偶對稱序列和奇對稱序列的傅里葉變換。解：，因為的傅里葉變換對應(yīng)的實部，的傅里葉變換對應(yīng)的虛部乘以，因此2.12若序列是因果序列，已知傅里葉變換的實部為，求序列及其傅里葉變換。解：2.13若序列是實因果序列，=1，其傅里葉變換的虛部為，求序列及其傅里葉變換。解：2.14如果h(n)是實序列，證明。解：在第2.9題中已證明實序列的FT具有共軛對稱性，即，兩邊取共軛，即得到。實際上要證明的公式就是共軛對稱性的一種表示方法。試求序列y(n)。解：即2.16已知，證明：(1)(2)解：(1)將式進(jìn)行FT，得到 (a)令=0，得到(2)將(a)式中的用()代替，得到令=0得到該題中，將用()代替的意思是將頻譜移動弧度。2.17假設(shè)序列分別如圖P2.17所示，其中的傅里葉變換用表示，試用表示其他三個序列的傅里葉變換。圖P2.17解：(1)的前4個序列值的波形和一樣，后4個序列值的波形是移位4形成的波形，因此得到。將上式進(jìn)行FT，得到。(2)的前4個序列值的波形是翻轉(zhuǎn)以后，再移位3形成的波形，后4個序列值的波形仍是移位4形成的波形，因此。將上式進(jìn)行FT，得到。(3)的前4個序列值的波形和一樣，后4個序列值的波形是翻轉(zhuǎn)以后，再移位7形成的波形，因此。將上式進(jìn)行FT，得到。2.18求出下面系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并畫出它們的幅頻特性。(1) (2)(3) (4)(5)解：(1)，，幅頻特性如圖S2.18(a)所示。(2)，，幅頻特性如圖S2.18(b)所示。(3)，，幅頻特性如圖S2.18(c)所示。(4)，，幅頻特性如圖S2.18(d)所示。(5)，，幅頻特性如圖S2.18(e)所示。(a)(b)(c)(d)(e)圖S2.182.19若系統(tǒng)的差分方程為(1)計算并畫出它的幅頻特性；(2)計算系統(tǒng)對輸入x(n)的響應(yīng)，；(3)利用(1)的幅頻特性解釋得到的結(jié)論。解：(1)由系統(tǒng)的差分方程求出系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為，，，畫出其幅頻特性，如圖S2.19.1所示。(2)圖S2.19.1圖S2.19.1查表2.2.1得到x(n)的傅里葉變換。因此，(3)觀察圖S2.19.1中的幅頻特性，剛好在處，，系統(tǒng)將分量濾除，而在處，幅度為2，即將分量反相后，再放大兩倍。2.20如果濾波器的差分方程為，(1)確定b，使； (2)確定頻率，使；(3)該濾波器是低通、帶通還是高通？(4)如果差分方程為，重復(fù)(2)和(3)。解：(1)，，b=0.1。(2)，，，，。(3)觀察平方幅度函數(shù)，在=0處最大，隨增大，幅度下降，故該濾波器是低通。(4)，，，，。觀察平方幅度函數(shù)，在=0處最小，隨增大，幅度上升，故該濾波器是高通。2.21求以下各序列的Z變換和相應(yīng)的收斂域，并畫出相應(yīng)的零極點分布圖。(1) (2)(3)是常數(shù)， (4)(5) (6)(7) (8)，式中(9)解：(1)，，極點為z=0（是二階極點）；零點為z=1/3,3/2。零極點分布如圖S2.21.1所示。(2)，由分母多項式求得極點為z=0（4階極點），z=1/2。極零點分布如圖S2.21.2所示。(3)，極點為z=0，極零點分布如圖S2.21.3所示。圖S2.21.1圖S2.21.2圖S2.21.3(4)零點為z=0，極點為z=0.5。極零點分布如圖S2.21.4所示。(5)零點為z=0，極點z=0.5，極零點分布如圖S2.21.4所示。該題的Z變換和(4)題一樣，但由于收斂域不同，對應(yīng)的原序列也不同。(6)由，得到零點為，k=0,1,2,…,9。由，得到極點為z=0（9階極點），z=0.5。上面的極零點中z=0.5處的零極點相互對消。零極點分布如圖S2.21.5所示。(7)，由，得到零點為由極點為，（其中z=0是3階極點）。零極點圖如圖S2.21.6所示，圖中處的零極點相互對消。圖S2.21.4圖S2.21.5圖S2.21.6(8)零點為，極點為。假設(shè)r=0.9，，，極零點分布如圖S2.21.7所示。(9)，式中，令，那么，將該式進(jìn)行ZT，得到，。因為，所以。極點為（7階極點），（2階極點）。零點為（均為2階零點）。在z=1處的極零點相互對消，收斂域為，極零點分布如圖S2.21.8。圖S2.21.7圖S2.21.82.22假設(shè)x(n)的Z變換用X(z)表示，試用X(z)表示序列的Z變換。解：，。2.23已知如式，(1)根據(jù)零極點分布，可以選擇哪幾種收斂域？(2)求出對應(yīng)各種收斂域的序列表達(dá)式。解：有兩個極點為，因為收斂域總是以極點為界，因此收斂域有三種情況：(1)，(2)，(3)。下面分別求三種收斂域?qū)?yīng)的原序列。(1)收斂域，這是一個左序列。式中，。令，，因為c內(nèi)無極點，；，c內(nèi)有極點0，但是一個階極點，改為求圓外極點留數(shù)，圓外極點有，那么(2)收斂域，這是一個雙邊序列，令，，c內(nèi)有極點0.5，，c內(nèi)有極點0.5,0，但0是一個n階極點，改成求c外極點留數(shù)，c外極點只有一個，即2最后得到。(3)收斂域，這是一個因果右序列，令，，c內(nèi)有極點0.5,2，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此；或者這樣分析，c內(nèi)有極點0.5,2,0，但0是一個n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外無極點，所以。最后得到。2.24已知Z變換為，求所有可能對應(yīng)的原序列。解：極點有z=1,z=0.5，可以選取三種收斂域，因此可以有三種不同的原序列。(1)收斂域，這是一個因果的右序列。令，，c內(nèi)有極點0.5,1，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此；或者這樣分析，c內(nèi)有極點0.5,1,0，但0是一個n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外無極點，所以。最后得到。(2)收斂域，因為是環(huán)狀域，原序列是雙邊序列，，c內(nèi)有極點0.5，n＜1，c內(nèi)有極點0.5,0，但0是一個n階極點，改成求c外極點留數(shù)，c外極點只有一個，即1，最后得到。(3)收斂域，這是左序列，，因為c內(nèi)無極點，，c內(nèi)有極點0，但是一個多階極點，改為求圓外極點留數(shù)，圓外極點有，那么。2.25用部分分式法求以下函數(shù)的逆Z變換。(1) (2)解：(1)， ， (2)， 2.26求下面各Z函數(shù)對應(yīng)的因果序列。(1) (2)(3) (4) (5)解：因果序列Z變換的收斂域特點是收斂域一定包含點。(1)極點為1,2。取收斂域，因為是因果序列，因此n＜0時，x(n)=0。最后結(jié)果為。(2)式中，，取收斂域，因為是因果序列，因此n＜0時，x(n)=0。最后結(jié)果為。(3)，取收斂域，因為所以得到(4)，取收斂域，令，得到最后得到。(5)，收斂域，，，最后得到。2.27求以下函數(shù)的逆Z變換。(1) (2)(3) (4)解：(1)，(2)用留數(shù)法解題過程同第2章例題2.3.7一樣，對比該例題，可得到a=0.75，因此。(3)，由收斂域可知，原序列是一個因果序列。最后得到。(4)，由收斂域可知，這是一個左序列。當(dāng)時，收斂域內(nèi)無極點，因此x(n)=0；當(dāng)n＜0時，z=0，是一個n階極點，改求c外的極點留數(shù)之和，。最后，將x(n)表示為。解：。(1)。(2)利用Z變換的性質(zhì)求解。，(3)令，因為是左序列，因此收斂域，或者由，得到收斂域。2.29系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。(1)(2)n＜1解：(1)，0.5。(2)n＜1前一題的解是零狀態(tài)解，下面利用遞推法求零輸入解。，，系統(tǒng)的完全解為。穩(wěn)態(tài)輸出為。2.30設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：(1)求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，并畫出極零點分布圖；(2)限定系統(tǒng)是因果的，寫出的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)；(3)限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，寫出的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)。解：(1)圖S2.30.1由，得到極點，極零點分布如圖S2.30.1所示。圖S2.30.1(2)，收斂域為，，最后得到。2.31利用復(fù)卷積定理證明下式（巴塞伐爾定理）成立：式中，，，，解：由復(fù)卷積定理可知，若，則 (a)令，式中由式(a)得到令z=1，代入上式，得到。2.32利用復(fù)卷積定理證明下式（巴塞伐爾定理）成立：式中，。解：在2.31題中已證明了公式成立。x(n)和y(n)在z平面單位圓上收斂。令，得到；令x(n)=y(n)，得到。2.33已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面的差分方程描述：(1)求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)及其單位脈沖響應(yīng)；(2)寫出網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)的表達(dá)式，并定性畫出其幅頻特性曲線；(3)設(shè)輸入，求穩(wěn)態(tài)輸出。解：(1)，令，c內(nèi)有極點0.9，c內(nèi)有極點0.9,0，最后得到。(2)極點為，零點為極零點圖如圖S2.33.1(a)所示。按照極零點圖定性畫出的幅度特性，如圖S2.33.1(b)所示。(3)(a)(b)圖S2.33.12.34已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為，，試求網(wǎng)絡(luò)的全響應(yīng)輸出，以及穩(wěn)態(tài)輸出。解：設(shè)系統(tǒng)處于零狀態(tài)，下面分別用卷積法和Z變換法求解。(1)用卷積法求解：最后得到=(2)用ZT法求：，，令，c內(nèi)有極點為因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，，最后得到=2.35已知系統(tǒng)輸入信號，系統(tǒng)函數(shù)為，(1)求系統(tǒng)的全響應(yīng)輸出； (2)求穩(wěn)定時間及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：(1)系統(tǒng)的全響應(yīng)輸出為。(2)，或者，距單位圓最近的極點是，查表2.4.1得到，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定時間為43個采樣單位。2.36設(shè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的輸入信號，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：為了求正弦序列的穩(wěn)態(tài)輸出，先求復(fù)正弦序列的穩(wěn)態(tài)輸出。在例題2.4.4中已推導(dǎo)出，如果輸入為x(n)=，，其穩(wěn)態(tài)輸出為，因為正弦序列是復(fù)指數(shù)序列的虛部，因此得到因果系統(tǒng)對于正弦序列的穩(wěn)態(tài)輸出為2.37*假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為試用MATLAB語言判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：調(diào)用MATLAB函數(shù)roots判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的程序ex237.m如下：％《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第2章上機題2.37程序ex237.m％電子工業(yè)出版社出版高西全丁玉美闊永紅編著2016年7月％調(diào)用roots函數(shù)求極點，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性A=[3,3.98,1.17,2.3418,1.5147]; ％H(z)的分母多項式系數(shù)p=roots(A) ％求H(z)的極點pm=abs(p) ％求H(z)的極點的模ifmax(pm)＜1disp('系統(tǒng)因果穩(wěn)定'),else,disp('系統(tǒng)不因果穩(wěn)定'),end程序運行結(jié)果如下：極點：p=[0.74860.69960.7129i0.6996+0.7129i0.6760]極點模：pm=[0.7486,0.9988,0.9988,0.6760]系統(tǒng)因果穩(wěn)定。2.38*假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為(1)用極點分布判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(2)用輸入單位階躍序列u(n)檢查系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(3)如果系統(tǒng)穩(wěn)定，求出系統(tǒng)對于u(n)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)定時間。解：(1)求解程序ex238.m如下：%《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第2章上機題2.38程序ex238.m%電子工業(yè)出版社出版高西全丁玉美闊永紅編著2016年7月%判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定時間A=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147];%H(z)的分母多項式系數(shù)B=[0,0,1,5,-50]; %H(z)的分子多項式系數(shù)%用極點分布判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定subplot(2,1,1);zplane(B,A); %繪制H(z)的零極點圖p=roots(A); %求H(z)的極點pm=abs(p); %求H(z)的極點的模ifmax(pm)<1disp('系統(tǒng)因果穩(wěn)定'),else,disp('系統(tǒng)不因果穩(wěn)定'),end%畫出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)波形判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性un=ones(1,700);sn=filter(B,A,un);n=0:length(sn)-1;subplot(2,1,2);plot(n,sn)xlabel('n');ylabel('s(n)')程序運行結(jié)果如下：系統(tǒng)因果穩(wěn)定。系統(tǒng)的零極點圖如圖S2.38.1所示。圖S2.38.1(2)系統(tǒng)對于單位階躍序列的響應(yīng)s(n)如圖S2.38.1所示，它趨于穩(wěn)態(tài)值，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出約為2500，穩(wěn)態(tài)時間約為500個采樣單位時間。2.39四個穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為(a) (b)(c) (d)試分別求出各系統(tǒng)對于單位階躍序列的穩(wěn)態(tài)輸出。解：在2.4.3節(jié)中已推導(dǎo)出穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)對于輸入x(n)=Au(n)的穩(wěn)定輸出為AH(1)，下面均應(yīng)用此結(jié)論。(a) (b)(c) (d)2.40*假設(shè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為(1)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(2)求出系統(tǒng)對于單位階躍序列的全響應(yīng)輸出，并畫出波形。解：求解程序為ex240.m.％《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第2章上機題2.40程序ex240.m％電子工業(yè)出版社出版高西全丁玉美闊永紅編著2016年7月％判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性A=[1,0.5,03]; ％H(z)的分母多項式系數(shù)B=[0,0,0.8]; ％H(z)的分子多項式系數(shù)％用極點分布判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定subplot(2,1,1);zplane(B,A); ％繪制H(z)的零極點圖p=roots(A); ％求H(z)的極點pm=abs(p); ％求H(z)的極點的模ifmax(pm)＜1disp('系統(tǒng)因果穩(wěn)定'),else,disp('系統(tǒng)不因果穩(wěn)定'),end％計算并畫出系統(tǒng)對u(n)的響應(yīng)un=ones(1,100);sn=filter(B,A,un);n=0:length(sn)1;subplot(2,1,2);stem(n,sn,'.')xlabel('n');ylabel('s(n)');程序運行結(jié)果如圖S2.40.1所示。因極點在單位圓外，系統(tǒng)不因果穩(wěn)定。由單位階躍序列的輸出響應(yīng)看到，輸出并不是趨近穩(wěn)態(tài)值，因此也驗證了系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。圖S2.40.12.41*下面四個二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)具有一樣的極點分布：試用MATLAB語言，研究零點分布對于單位脈沖響應(yīng)的影響。要求：(1)分別畫出各系統(tǒng)的零極點分布圖；(2)分別求出各系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并畫出其波形；(3)分析零點分布對于單位脈沖響應(yīng)的影響。解：求解程序為ex241.m.％《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第2章上機題2.41程序ex241.m％電子工業(yè)出版社出版高西全丁玉美闊永紅編著2016年7月A=[1,1.6,0.9425]; ％H(z)的分母多項式系數(shù)B1=1;B2=[1,0.3];B3=[1,0.8];B4=[1,1.6,0.8];％H(z)的分子多項式系數(shù)[h1n,n]=impz(B1,A,100); ％計算單位脈沖響應(yīng)h1(n)的100個樣值[h2n,n]=impz(B2,A,100); ％計算單位脈沖響應(yīng)h1(n)的100個樣值[h3n,n]=impz(B3,A,100); ％計算單位脈沖響應(yīng)h1(n)的100個樣值[h4n,n]=impz(B4,A,100); ％計算單位脈沖響應(yīng)h1(n)的100個樣值％======================================================％以下是繪圖部分subplot(2,2,1);zplane(B1,A); ％繪制H1(z)的零極點圖subplot(2,2,2);stem(n,h1n,'.'); ％繪制h1(n)的波形圖line([0,100],[0,0])xlabel('n');ylabel('h1(n)')subplot(2,2,3);zplane(B2,A); ％繪制H2(z)的零極點圖subplot(2,2,4);stem(n,h2n,'.'); ％繪制h2(n)的波形圖line([0,100],[0,0])xlabel('n');ylabel('h2(n)')figure(2);subplot(2,2,1);zplane(B3,A); ％繪制H3(z)的零極點圖subplot(2,2,2);stem(n,h3n,'.'); ％繪制h3(n)的波形圖line([0,100],[0,0])xlabel('n');ylabel('h3(n)')subplot(2,2,3);zplane(B4,A); ％繪制H4(z)的零極點圖subplot(2,2,4);stem(n,h4n,'.'); ％繪制h4(n)的波形圖line([0,100],[0,0])xlabel('n');ylabel('h4(n)')程序運行結(jié)果如圖S2.41.1所示。S2.41.1四種系統(tǒng)函數(shù)的極點分布一樣，只是零點不同。第一種零點在原點，不影響系統(tǒng)的頻率特性，也不影響單位取樣響應(yīng)，第二種的零點在實軸上，但離極點較遠(yuǎn)，第三種的零點靠近極點，第四種的零點非?？拷鼧O點。比較它們的單位取樣響應(yīng)，會發(fā)現(xiàn)零點越靠近極點，則單位取樣響應(yīng)的變化越緩慢，因此零點對極點起抵消作用。另外，第四種有兩個零點，對消作用更明顯。2.42設(shè)線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為為實數(shù)(1)在Z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)，即常數(shù)；(2)參數(shù)如何取值才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定，并畫出極零點分布及收斂域。解：(1)，極點為，零點為。設(shè)，極零點分布圖如圖S2.42.1(a)所示。我們知道等于極點矢量的長度除以零點矢量的長度，按照圖S2.42.1(a)得到。因為角公用，且～，故。，故是一個全通網(wǎng)絡(luò)?；蛘甙凑沼嘞叶ɡ碜C明，，(2)只有選擇才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。設(shè)，極零點分布圖及收斂域如圖S2.42.1(b)所示。圖S2.42.12.43若序列是因果序列，其傅里葉變換的實部為，求序列及其傅里葉變換。解：傅里葉變換的實部對應(yīng)的偶對稱序列，，求上式的Z的反變換，得到序列的共軛對稱序列，，因為是因果序列，必定是雙邊序列，收斂域取，，c內(nèi)有極點為a，，，c內(nèi)有極點為a,0因為，2.44若序列是實因果序列，=1，其傅里葉變換的虛部為求序列及其傅里葉變換。解：令對應(yīng)的共軛反對稱序列，因此的反變換就是，因為是因果序列，是雙邊序列，收斂域取，，c內(nèi)有極點為a，內(nèi)有極點為a,0，，因為，所以2.45證明：對應(yīng)圖P5.9零極點分布的系統(tǒng)是全通濾波器。解：按照圖P5.9(a)零極點分布寫出系統(tǒng)函數(shù)為，a為實數(shù)圖P5.9，即證明了圖P5.9(a)對應(yīng)的系統(tǒng)是一個全通函數(shù)。按照圖P5.9(b)零極點分布寫出系統(tǒng)函數(shù)為，即證明了圖P5.9(b)對應(yīng)的系統(tǒng)是一個全通函數(shù)。圖P5.112.46在圖P5.11中，當(dāng)系統(tǒng)是：(1)低通濾波器，截止頻率為；(2)高通濾波器，截止頻率為，問系統(tǒng)分別是什么濾波器，并確定它的單位脈沖響應(yīng)。圖P5.11解：(1)是低通濾波器，截止頻率為。，系統(tǒng)是高通濾波器。單位脈沖響應(yīng)為。(2)是高通濾波器，，系統(tǒng)是低通濾波器。單位脈沖響應(yīng)為。該題可以這樣解釋，當(dāng)輸入時，輸出為。因為是低通濾波器，是x(n)的低頻分量，因此輸出y(n)是x(n)的高頻部分。對于(2)也有類似的解釋。2.47某系統(tǒng)用下面的差分方程描述：(1)畫出系統(tǒng)的零極點分布圖； (2)通過零極點分布定性畫出幅度特性曲線；(3)確定它的因果可逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)； (4)通過零極點分布定性畫出可逆系統(tǒng)的幅度特性曲線。解：(1)由差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為零點為極點為z=0，零極點分布如圖S5.17.1(a)所示。(2)幅度特性如圖S5.17.1(c)所示。(3)可逆系統(tǒng)為。(4)可逆系統(tǒng)的零點為z=0，極點為可逆系統(tǒng)的零極點分布如圖S5.17.1(b)所示，其幅度特性如圖S5.17.1(d)所示。圖S5.17.12.48證明下面結(jié)論的正確性。(1)兩個最小相位序列的卷積總是最小相位序列；(2)兩個最小相位序列的和總是最小相位序列。解：(1)假設(shè)分別是兩個不同的最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)。，顯然，H(z)是最小相位系統(tǒng)，其逆Z變換h(n)一定是最小相位序列。(2)假設(shè)，因為最小相位系統(tǒng)的零極點均在單位圓中，因此h(n)一定是最小相位序列。2.49設(shè)有限長最小相位序列用表示，令，，證明是最大相位序列。解：，令的零點，那么按照，就是的零點。因為圓外，因此說明是最大相位系統(tǒng)，是最大相位序列。2.50如果是最小相位序列，序列h(n)是因果序列。假設(shè)h(n)和具有相等的幅度特性，即，試?yán)贸踔刀ɡ碜C明：。解：令，則按照初值定理，因此。因為，所以。2.51圖P5.22表示了一種用查表法產(chǎn)生正弦信號的方框圖，方法是將正弦信號的一個周期的樣本，即，預(yù)先進(jìn)行存儲，再按照采樣周期，順序?qū)個樣本取出，送到理想D/A轉(zhuǎn)換器，得到一個周期的連續(xù)正弦信號，如果按照周期N重復(fù)上面的過程，便得到周期性連續(xù)正弦信號。(1)說明通過改變，可以調(diào)節(jié)連續(xù)正弦信號的頻率。(2)如果取出樣本的間隔不變，能否改變連續(xù)正弦信號的頻率圖P5.22解：(1)按照采樣周期T()，順序?qū)個樣本取出，并不斷重復(fù)，經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換器得到原來的周期性連續(xù)正弦信號；如果將取出序列值的間隔縮小，經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換器的時間波形會進(jìn)行時間壓縮，相當(dāng)于提高了連續(xù)正弦信號的頻率。反過來，則會降低連續(xù)正弦信號的頻率。(2)如果取出樣本的間隔不變，但不是順序取樣本，假設(shè)N等于偶數(shù)，順序的兩個樣本只取一個樣本，會將連續(xù)正弦信號的頻率提高一倍；如果N是3的倍數(shù)，順序的3個樣本取一個樣本，則會將連續(xù)正弦信號的頻率提高3倍，依次類推。但是如果一個周期中包含的樣本數(shù)太少，會使連續(xù)正弦信號波形失真。因此當(dāng)要求提高的倍數(shù)較大時，要注意波形的失真。第3章離散傅里葉變換（DFT）及其快速算法（FFT）3.2說明：下面各題中的DFT和IDFT計算均可以調(diào)用MATLAB函數(shù)fft和ifft計算。3.1在變換區(qū)間0≤n≤N1內(nèi)，計算以下序列的N點DFT。(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)為偶數(shù)為奇數(shù)(11)為偶數(shù)為奇數(shù)解：(1)X(k)====(2)X(k)===1，k=0,1,…,N1(3)X(k)===，k=0,1,…,N1(4)X(k)===，k=0,1,…,N1(5)X(k)====(6)X(k)====，k=0,1,…,N1或X(k)=，k=0,1,…,N1(7)X(k)===+==，(8)(9)解法①直接計算(n)=cos()RN(n)=RN(n)X(k)===，k=0,1,…,N1解法②由DFT共軛對稱性可得同樣的結(jié)果。為了敘述方便，令。因為，前面(6)中已經(jīng)求出，所以X(k)=DFT[(n)]=X6e(k)==，k=0,1,…,N1(10)解法①X(k)=，k=0,1,…,N1上式直接計算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。因為(n)=，所以。等式兩邊進(jìn)行DFT得到，故X(k)=，k=1,2,…,N1。當(dāng)k=0時，可直接計算得出X(0)===這樣，X(k)可寫成如下形式：X(k)解法②k=0時，X(k)==k0時，X(k)=X(k)=所以，時，X(k)=，即X(k)(11)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)3.2已知下列X(k)，求。(1) (2) (3)(4) (5)其中，m為整數(shù)，。解：(1)(2)(3)(4)(n)=IDFT[X(k)]====，n=0,1,…,N1(5)(n)===，n=0,1,…,N13.3證明DFT的頻域循環(huán)卷積定理。證：DFT的頻域循環(huán)卷積定理重寫如下：設(shè)h(n)和x(n)長度分別為N和M，，則其中，L≥max[N,M]。根據(jù)DFT的唯一性，只要證明，就證明了DFT的頻域循環(huán)卷積定理。3.4*已知序列向量。(1)求出x(n)的傅里葉變換，畫出幅頻特性和相頻特性曲線；(2)計算x(n)的N（N≥6）點離散傅里葉變換X(k)，畫出幅頻特性和相頻特性曲線；(3)將和X(k)的幅頻特性和相頻特性曲線分別畫在同一幅圖中，驗證X(k)是的等間隔采樣，采樣間隔為2/N；(4)計算X(k)的N點IDFT，驗證DFT和IDFT的唯一性。解：該題求解程序為ex304.m，程序運行結(jié)果如圖S3.4.1所示。第(1)小題用1024點DFT近似x(n)的傅里葉變換；第(2)小題用32點DFT。圖(e)和(f)可以驗證，X(k)是的N點等間隔采樣，采樣間隔為2/N。圖S3.4.1％《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第3章上機題3.4程序ex304.m％DFT與FT的關(guān)系驗證clearall;closeall;xn=[123321]; ％輸入時域序列向量x(n)N=32;M=1024;Xjw=fft(xn,M); ％計算xn的1024點DFT,近似表示序列的傅里葉變換Xk32=fft(xn,N); ％計算xn的32點DFTxn32=ifft(Xk32,N); ％計算Xk32的32點IDFT％以下為繪圖(a)和(b)的部分k=0:M1;wk=2*k/M; ％產(chǎn)生M點DFT對應(yīng)的采樣點頻率(關(guān)于歸一化值)subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xjw)); ％繪制M點DFT的幅頻特性圖title('(a)FT[x(n)]的幅頻特性圖');xlabel('/');ylabel('幅度')subplot(3,2,5);plot(wk,angle(Xjw)); ％繪制x(n)的相頻特性圖line([0,2],[0,0]) ％畫橫坐標(biāo)軸線title('(b)FT[x(n)]的相頻特性圖');xlabel('/');ylabel('相位');％axis([0,2,3.5,3.5])％以下為繪圖(c)--(g)的部分(省略)3.5設(shè)，用表示下面兩個序列的N點DFT。解：同樣的推導(dǎo)，可得3.6已知實序列x(n)的8點DFT的前5個值為0.25,0.125j0.3018,0,0.125j0.0518,0。(1)求X(k)的其余3點的值；(2)，求；(3)，求。解：(1)因為x(n)為實序列，所以，X(k)滿足共軛對稱性：X*(Nk)=X(k)。由此可得，X(k)的其余3點的值為0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018。(2)因為。由DFT的循環(huán)卷積性質(zhì)得到(3)= 3.7試?yán)肈FT和IDFT的定義證明離散巴塞伐爾定理：其中，。證明：=====3.8*給定兩個序列向量：x1(n)=[2,1,1,2],x2(n)=[1,1,1,1]。(1)直接在時域計算x1(n)與x2(n)的卷積；(2)用DFT計算x1(n)與x2(n)的卷積，驗證DFT的時域卷積定理。解：設(shè)x1(n)和x2(n)的長度分別為M1和M2，所謂DFT的時域卷積定理，就是當(dāng)時，。本題中，M1=M2=4，所以，程序中取N=7。本題的求解程序為ex308.m。％《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第3章上機題3.8程序：ex308.m％DFT時域卷積定理驗證clearall;closeall;x1n=[2112];x2n=[1111];％時域直接計算卷積yn：yn=conv(x1n,x2n);％用DFT計算卷積ycn：M1=length(x1n);M2=length(x2n);N=M1+M21;X1k=fft(x1n,N); ％計算x1n的N點DFTX2k=fft(x2n,N); ％計算x2n的N點DFTYck=X1k.*X2k;ycn=ifft(Yck,N);％以下為繪圖部分n=0:N1;subplot(2,2,1);stem(n,yn,'.');axis([0,9,3,3])line([0,10],[0,0])title('(a)直接在時域計算卷積');xlabel('n');ylabel('y(n)')subplot(2,2,2);stem(n,yn,'.');axis([0,9,3,3])line([0,10],[0,0])title('(b)用DFT計算卷積');xlabel('n');ylabel('yc(n)')程序運行結(jié)果如圖S3.8.1所示。由圖可見，兩種方法計算結(jié)果相同，從而驗證了DFT時域卷積定理。圖S3.8.13.9證明頻域循環(huán)移位性質(zhì)。設(shè)，證明：。證明：y(n)=DFT[Y(k)]===令,y(n)===3.10已知長度為N，，并定義，m為正整數(shù)，確定與的關(guān)系。解：Y(k)====,整數(shù)時,3.11假設(shè)，和是長度為N的實序列，。(1)如果已知，請求出用和表示序列和的N點DFT的表示式。(2)已知，試用表示和的N點DFT。解：(1)根據(jù)DFT的共軛對稱性可知：(2)同理，得到3.12已知，，對在單位圓上采樣N點，得到求。解：我們知道，是以為周期的周函數(shù)，所以必然以N為周期，將看成是一個周期序列的DFS系數(shù)，則又因為，所以，由于所以，由題意知，，所以，根據(jù)有關(guān)和的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系有=由于，所以因此，3.13設(shè)，并定義求證與的關(guān)系式，并說明這一過程對產(chǎn)生什么影響。解：由題意可知所以，其中，h(n)計算如下：kc]的求和。這一過程相當(dāng)于對的周期延拓序列進(jìn)行低通濾波，濾除頻段[2(kc+1)/N，]上的高次諧波頻率成分。3.14*已知序列。(1)計算④； (2)計算⑧和。解：本題的求解程序為ex314.m。程序運行結(jié)果如圖S3.14.1所示。由圖(b)和(c)可見，④，由圖(b)和(c)可見，⑧=請讀者確定圖(a)和(c)的關(guān)系式。圖S3.14.1程序ex314.m如下：％《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第3章上機題3.14程序ex314.m％循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系驗證clearall;closeall;hn=[1111];xn=[0123];％用DFT計算4點循環(huán)卷積yc4n：H4k=fft(hn,4); ％計算h(n)的4點DFTX4k=fft(xn,4); ％計算x(n)的4點DFTYc4k=H4k.*X4k;yc4n=ifft(Yc4k,4);％用DFT計算8點循環(huán)卷積yc8n：H8k=fft(hn,8); ％計算h(n)的8點DFTX8k=fft(xn,8); ％計算x(n)的8點DFTYc8k=H8k.*X8k;yc8n=ifft(Yc8k,8);％時域計算線性卷積yn：yn=conv(hn,xn);％以下為繪圖部分（省略）3.15、和分別如圖P3.15(a)、(b)和(c)所示，已知。求和。[注：用X(k)表示X1(k)和X2(k)]圖P3.15解：由圖P3.15可知，。所以，由DFT的時域循環(huán)移位性質(zhì)有X(k)，并根據(jù)上式求出X1(k)和X2(k)的具體表達(dá)式。3.16已知有限長序列，。(1)設(shè)，求序列；(2)設(shè)，求序列；(3)設(shè)，求序列。解：(1)由DFT的時域循環(huán)移位性質(zhì)有；(2)由DFT的共軛對稱性質(zhì)有；(3)由DFT的共軛對稱性質(zhì)有。3.17已知有限長序列，，，分別為的5點DFT。(1)確定序列，使；(2)判斷是否存在滿足的序列？如果存在，請給出求的方法。解：(1)由DFT的時域循環(huán)卷積定理有⑤，即中，。故先求出，然后求s(n)=IDFT[S(k)]5。也可以按如下方法求s(n)：由DFT的時域循環(huán)卷積定理有⑤，寫成矩陣形式如下：代入和的值，得到關(guān)于s(n)的5元一次方程組解方程組得到s(n)=[0.180.220.020.020.02]。3.18(1)設(shè)序列，求的傅里葉變換；(2)設(shè)序列，求；(3)請解釋與之間的關(guān)系。解：(1)。(2)。(3)對比(1)、(2)的結(jié)果，得到與之間的關(guān)系。解釋：由DFT與DFS的關(guān)系可知，v((n))6的DFS系數(shù)為V((k))6，因為題中v((n))6=x((n))6，所以x((n))6的DFS系數(shù)也為V((k))6。為了敘述簡潔，分別用表示v((n))6、x((n))6的DFS系數(shù)，則又因為，所以。3.19設(shè)是長度為N的因果序列，且，，試確定與的關(guān)系式。解：因為y(n)是x(n)的周期延拓序列的主值區(qū)序列，周期為M，所以，由頻域采樣理論及主教材中式(3.3.3)和式(3.3.4)可知，。3.20*驗證頻域采樣定理。設(shè)時域離散信號為其中，a=0.9，L=10。(1)計算并繪制信號的波形；(2)證明：；(3)按照N=30對采樣得到；(4)計算并圖示周期序列，試根據(jù)頻域采樣定理解釋序列與的關(guān)系；(5)計算并圖示周期序列，比較與，驗證(4)中的解釋；(6)對N=15，重復(fù)(3)～(5)。解：求解本題(1)、(3)、(4)、(5)、(6)的程序為ex320.m。下面證明(2)。N=30和N=15時，對頻域采樣Ck進(jìn)行離散傅里葉級數(shù)展開得到的序列分別如圖S3.20.1(b)和(d)所示。由圖顯而易見，如果Ck表示對在[0，2]上的N點等間隔采樣，則言述之：是x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列。程序ex320.m如下：％《數(shù)字信號處理—原理、實現(xiàn)及應(yīng)用》第3章上機題3.20程序ex320.m％頻域采樣理論驗證clearall;closeall;a=0.9;L=10;n=L:L;％===N=30===============================N=30;xn=a.^abs(n);subplot(3,2,1);stem(n,xn,'.');axis([15,15,0,1.2]);％(1)顯示序列x(n)title('(a)x(n)的波形');xlabel('n');ylabel('x(n)')％(2)對X(jw)采樣30點：fork=0:N1,Ck(k+1)=1;form=1:L,Ck(k+1)=Ck(k+1)+2*xn(m+L+1)*cos(2*pi*k*m/N);％(3)計算30點采樣Ckendendx30n=ifft(Ck,N);％(4)30點IDFT得到所要求的周期序列的主值序列％以下為繪圖部分n=0:N1;subplot(3,2,2);stem(n,x30n,'.');axis([0,30,0,1.2])title('(b)N=30由Ck展開的的周期序列的主值序列');xlabel('n');ylabel('x30(n)')％==N=15===============================N=15;n=L:L;subp