液壓與氣壓傳動概率

§6.3

點(diǎn)估計(jì)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)問題的提出總體均值與方差的矩估計(jì)量的表達(dá)式不因不同的總體分布而異.有的參數(shù)矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量是相同，有的不同，如：均勻分布的參數(shù).(1)對于同一個(gè)參數(shù)究竟采用哪一個(gè)估計(jì)量好?(2)評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn).m?

=

X

,n1ii

=12(

X

-

X

)

.1?

2s

=n一.無偏性2q,

則稱若X1

,X

2

,,Xn

為總體X

的一個(gè)樣本，q

?

Q

是包含在總體X

的分布中的待估參數(shù),(Q

是q

的取值范圍)若估計(jì)量q?

=q?(X1

,X

2

,,Xn

)的數(shù)學(xué)期望E(q?)

存在,

且對于任意q

?

Q

有

E(q?)q?

是q

的無偏估計(jì)量.無偏估計(jì)的實(shí)際意義:

無系統(tǒng)誤差.E(q?)

-q

=

0kikX

是k1ni

=1總體服從什么分布,

k

階樣本矩

A

=階總體矩mk

的無偏估計(jì).證

因?yàn)閄1

,

X

2

,,

Xn

與X

同分布，iki

=

1,2,,

n.故有

E(

X

k

)

=

E(

X

k

)

=

m

,3nkiki

=1E(

X

)1n即

E(

A

)

=k=

m

.k例1

設(shè)總體

X

的k

階矩

mk

=

E(

X

)

(k

?

1)存在,又設(shè)X1

,X

2

,,Xn

是X

的一個(gè)樣本，試證明不論n故k

階樣本矩Ak

是k

階總體矩mk

的無偏估計(jì).特別地:不論總體

X

服從什么分布,

若它的數(shù)學(xué)期望存在,X

是總體

X

的數(shù)學(xué)期望

m1

=

E(

X

)

的無偏估計(jì)量.4522是有偏的(即不是無偏估計(jì)).=ni

=1i(

X

-

X

)1nm,s

2

均為未知,則s

2

的估計(jì)量s?對于均值m

,方差s

2

>0

都存在的總體,若證ni

=121s?

=

n2

2

2Xi

-

X

=

A2

-

X

,因?yàn)镋(A

)=m

=s

2

+m

2

,2

22

2

2s

2又因?yàn)?/p>

E(

X

)

=

D(

X

)

+[E(

X

)]

= +

m

,n例2n所以

E(s?

2

)

=

n

-1s

2

?

s

2

,所以s?

2

是有偏的.2

22?E(s

)

=

E(

A

-

X

)22E(

X

)=

E(

A

)

-若以n

-1n乘s?

2

,所得到的估計(jì)量就是無偏的.(這種方法稱為無偏化).?2s=E(s?

2

)

=

s

2

.n

-1n

n

-1nE22nn

-1s?因?yàn)?62=

S

=ni

=1i(

X

-

X

),n

-1即S

2是s

2

的無偏估計(jì),故通常取S

2作s

2的估計(jì)量.1

2

nn

+1

max{X

,X

,,X

}都是q的無偏估計(jì).n證

因?yàn)?E(2

X

)

=

2E(

X

)

=

2E(

X

)=

2

·q

=

q

,所以2

X

是q

的無偏估計(jì)量.因?yàn)閄h

=max{X1

,X

2

,,Xn

}的概率密度為例3

設(shè)總體

X

在

[0,q]上服從均勻分布,參數(shù)q

>

0,X1

,X

2

,,Xn

是來自總體X

的樣本，試證明2

X

和n7q

nxn-1f

(

x)

=

0,, 0

￡

x

￡

q,其他xhdx0nxn-1qqn所以

E(

X

)

=q,=n

+

1n

8

h

n故有

E

n

+

1

X

=

q,n1

2

n故

n

+1

max{X

,

X

,,

X

}

也是q的無偏估計(jì)量.可知,一個(gè)參數(shù)可以有不同的無偏估計(jì)量.二.有效性91比較參數(shù)q的兩個(gè)無偏估計(jì)量q?

和q?

,

如果1

2在樣本容量n

相同的情況下,q?

的觀察值在真值q的附近較q?

更密集,

則認(rèn)為q?

較

q?

有效.2

1

2設(shè)q?

=

q?

(X

,

X

,,

X

)

與q?

=

q?

(X

,

X

,,

X

)1

1

1

2

n

2

2

1

2

n都是q的無偏估計(jì)量,

若有

D(q?

)

￡

D(q?

),則稱1

2q?

較q?

有效.1

2n1

2

12

nq?

=

2X在例3中已證明和

q?

=

n

+

1

max{

X

,

X

,,

X

}都是

q的無偏估計(jì)量,

現(xiàn)證當(dāng)n

?

2時(shí),

q?

較q?

有效.2

1證明?1由于D(3n4nq

2D(

X

)

=

,q

)

=

4D(

X

)

=n

n

+

1?D(q2

)

=

Dn

D(X

h

),

n

+

12Xh

=

h10nn

+1又因?yàn)?/p>

E

(

X

)

=q,例4 (續(xù)例3)h0E(

X

2

)

=q

qnq

2

,n

xn+1dx

=n

+

2n2

2D(

Xh

)

=

E(

Xh

)

-[E(

Xh

)]q

2

,=(n

+

1)2

(n

+

2)n12q

2

,n(n

+

2)故D(q?

)=又n

?

2,

所以

D(q?

)

<

D(q?

),2

1q?

較q?

有效.2

1?11q

2D(q1

)

=

3n三.相合性12lim

P{|

q?

-q

|<

e}

=1.有即，若對于任意q

?

Q

都滿足：對于"e

>0nfi

￥則稱q?為q

的相合估計(jì)量。若q?

=

q?(X1

,

X

2

,,

Xn

)為參數(shù)q的估計(jì)量,若對于任意q

?

Q

,當(dāng)n

fi

￥

時(shí),q?(X1

,

X

2

,,

Xn

)依概率收斂于q,

則稱q?

為q

的相合估計(jì)量.(112)22ni

=1ni

=12(X

i

-X

)都是總體方差s

的相合中心矩B2

=nXi

-X

及樣本的二階=

n

-1量,

樣本方差

S試證:樣本均值X

是總體均值m

的相合估計(jì)估計(jì)量.證明由大數(shù)定律知,"

e

>

0,

1n

Xi

-

m

<

e

=

1,

n

i

=1

有l(wèi)im

P

nfi

￥n13

ii

=1X

是m

的相合估計(jì)量.1n所以X

=例5nii

=122(

X

-

X

)1n又

B

==n

iX

-

Xi

=1221n2=

A2

-

X

,由大數(shù)定律知,1n2

2Xi

依概率收斂于E(

X

),i

=1A2

=

n1nniX

依概率收斂于E(X

),i

=1X

=2

2

2故

B2

=

A2

-

X

依概率收斂于

E(

X

)

-[E(

X

)]2=

s

,2所以

B

是s

2

的相合估計(jì)量.nnfi

￥

n

-1又lim214B

也是s

2

的相合估計(jì)量.nn

-1=1,所以S

2

=一般地，由第五章可知15k樣本k(k

?

1)階矩是總體

X

的k

階矩

mk

=

E(

X

)的相合估計(jì)量；進(jìn)而若待估參數(shù)q

=g(m1

,m2

,,mn

),其中g(shù)

為連續(xù)函數(shù),則q

的矩估計(jì)量q?

=

g(m?1

,

m?2

,,

m?n

)