高中數(shù)學(xué)-和角公式教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

PAGE4PAGE《兩角和與差的余弦》教學(xué)設(shè)計課題：兩角和與差的余弦教材：《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書高中數(shù)學(xué)必修4》（人教B版）課時：1課時教學(xué)方法:合作探究學(xué)習(xí)教材分析：本節(jié)課是人教B版數(shù)學(xué)必修四第三章第一單元第一節(jié)，主要內(nèi)容是：通過向量內(nèi)積的坐標(biāo)和定義表示得到兩角差的余弦，轉(zhuǎn)化得到兩角和的余弦。本節(jié)是三角恒等變換這一章的基礎(chǔ)課，在三角部分的學(xué)習(xí)中起著承前啟后的作用，是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識的延伸，是后繼內(nèi)容二倍角，和差化積、積化和差公式的知識基礎(chǔ)，對三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、三角求值等問題的解決有重要作用。學(xué)情分析:本課時面對的學(xué)生是高一年級的學(xué)生，數(shù)學(xué)表達(dá)能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時期，學(xué)生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。他們經(jīng)過半個多學(xué)期的高中生活，儲備了向量內(nèi)積的相關(guān)數(shù)學(xué)知識，掌握了一些高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)建立了良好的知識基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能目標(biāo)： 理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程，熟記兩角和與差的余弦公式，運(yùn)用兩角和與差的余弦公式，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。2、過程與方法目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；培養(yǎng)學(xué)生逆向思維和發(fā)散思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。3、情感、態(tài)度、價值觀目標(biāo)： 通過觀察、對比體會數(shù)學(xué)的對稱美和諧美，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的能力，學(xué)會從一般到特殊的推理過程。教學(xué)重點、難點：重點：兩角和與差的余弦公式難點：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)教學(xué)模式與學(xué)習(xí)方法：（一）建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是通過同化和順應(yīng)不斷發(fā)展自主建構(gòu)的,學(xué)生對知識不是被動的接受,而是學(xué)生自主地將學(xué)習(xí)內(nèi)容通過認(rèn)同、重組、發(fā)展、建構(gòu)而納入自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的,使其成為整個認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有機(jī)組成部分,因此本節(jié)課我采用“自主性教學(xué)”，充分了解學(xué)生的最近發(fā)展情況,精心創(chuàng)設(shè)問題情景,從發(fā)現(xiàn)問題到引發(fā)問題的討論、交流、探索，從而達(dá)到解決問題的目的，最后引導(dǎo)學(xué)生歸納驗證、練習(xí)鞏固、總結(jié)反思,整個教學(xué)過程充分發(fā)揮學(xué)生的民主,以獨立思考和多向交流、答辯等相結(jié)合,教師在其中是參與者、組織者、協(xié)作者，不斷地監(jiān)控學(xué)生的認(rèn)知與思維過程,用幽默性和鼓勵性的語言與學(xué)生進(jìn)行交流、探討,幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、排除障礙,從而解決問題.（二）學(xué)生在輕松、和諧、民主的課堂氛圍中，積極主動地與同學(xué)、老師進(jìn)行大膽對話，在成功中享受喜悅、增強(qiáng)信心，同時對自己的認(rèn)知過程不斷地自我覺察、自我評價、自我調(diào)節(jié)，提高認(rèn)知能力。教學(xué)準(zhǔn)備:多媒體教室以及多媒體課件。教學(xué)程序教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖一、提出學(xué)習(xí)課題：由教師提出學(xué)習(xí)的課題：前面我們學(xué)習(xí)了單角的三角函數(shù)，在研究三角函數(shù)使還常常遇到這樣的問題：“已知任意角α、β的三角函數(shù)值，求α+β、α-β的三角函數(shù)值”，今天我們就來研究這個問題.（板書課題）

引導(dǎo)學(xué)生把剛才的問題具體化，即已知任意角α、β的三角函數(shù)值，來推導(dǎo)以下二組公式：（大屏幕顯示一、明確自主學(xué)習(xí)活動要解決的問題明確所要研究的問題，盡量具體化，激發(fā)學(xué)生研究的興趣.通過問題引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，為本節(jié)課的解決做鋪墊.二、確定研究方案：啟發(fā)學(xué)生分析公式之間的聯(lián)系并由此提出研究方案：1.啟發(fā)學(xué)生思考是否可以先推導(dǎo)其中一組公式，從而很快推出其余兩組公式。2．進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生先推導(dǎo)α-β的余弦公式二、和教師合作，根據(jù)教師指導(dǎo)設(shè)計自己的研究方案師：提出問題，讓學(xué)生帶著問題去合作，討論，探究。問題：在直角坐標(biāo)系中，單位圓與角終邊相交于點PP,Q.根據(jù)正余弦的定義，點P坐標(biāo)為，P點Q坐標(biāo)為.則，.O問題2：與的夾角與的關(guān)系O問題3:坐標(biāo)表示，定義表示..問題4：依據(jù)上述，你認(rèn)為.提出研究方案，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和思維能力，發(fā)現(xiàn)公式的內(nèi)在聯(lián)系，領(lǐng)會通過抓住主要矛盾去解決問題的方法，構(gòu)建公式的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).通過學(xué)生的自主探究來找到解決問題的辦法，培養(yǎng)學(xué)生的思考和表達(dá)的能力，體現(xiàn)“由特殊到一般”的思維方式

三、指導(dǎo)學(xué)生自主研究性學(xué)習(xí)：1、將全班劃分為10個小組，安排學(xué)生在各小組內(nèi)進(jìn)行自主性研究.2、教師巡視并參與到小組活動中，了解學(xué)生的進(jìn)展情況，對有的組在探索過程中遇到的困難根據(jù)實際情況進(jìn)行引導(dǎo)：（1）思路參考：回憶一下誘導(dǎo)公式是如何得出的？利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，例如要找sin(π-α)與sinα的關(guān)系先找π-α、α終邊與單位圓的交點，再看兩點坐標(biāo)的關(guān)系（2）思路參考：任何向量與自身的數(shù)量積為向量長度的平方；兩個單位向量的數(shù)量積就等于它們之間夾角的余弦函數(shù)值.(3)在巡視過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點要及時加以鼓勵,對新思路中的困難提供支持.

三、進(jìn)行自主研究性學(xué)習(xí)：1、各組展開討論，提出方法并自主探索公式，重點是推導(dǎo)第一組公式cos（α-β），特別注意分析：（1）選擇探索的出發(fā)點：，能否用適當(dāng)?shù)霓k法將α+β（α-β）、α、β放在單位圓中找出α+β（α-β）與α、β三角函數(shù)的關(guān)系呢？（2）尋求探索的突破口：如何在單位圓中尋找cos(α+β)與角α、β的三角函數(shù)間的等量關(guān)系。(3)對自本組遇到的困惑舉手向教師提出看法，尋求支持.2、對本組研究性學(xué)習(xí)過程和得到的研究方法和研究成果歸納、概括，形成材料，準(zhǔn)備后面的師生共議.。以學(xué)生的探索活動為主線，突出學(xué)生的主體地位，使學(xué)生通過自主推導(dǎo)公式提高思維水平及分析問題、解決問題的能力，通過實踐獲取直接經(jīng)驗，培養(yǎng)其探索精神和團(tuán)結(jié)合作意識，在研究過程中加強(qiáng)學(xué)生思維的交流.四、師生共議,做出評價1、要求各小組派代表簡述解決方案以及解決的思維過程并展示研究結(jié)果（重點是第一個公式的推導(dǎo)）.2、與學(xué)生對各小組的研究過程和結(jié)果作出評價.

四、師生共議，改善過程與思路，獲得新知各組代表陳述解決方案以及解決的思維過程并展示研究結(jié)果師生共議形成正確全面理解和得出結(jié)論,獲取新知.對各小組的研究進(jìn)行反饋，展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，通過學(xué)生交流及師生交流深化學(xué)生的思維，形成研究成果，修正研究中存在的問題，提高概括和表達(dá)能力.

五、例題分析和板演例2:已知求cos（α+β）,cos（α-β）的值.

五、聽教師講授例題，自主設(shè)計變式練習(xí)題，獨立解決。備用練習(xí)題：1教材P118-1，2，5鞏固知識點，提高應(yīng)用能力，提供規(guī)范化解題過程.

六、課堂學(xué)習(xí)小結(jié)：1、知識小結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生歸納正弦余弦的和角、差角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)圖；第一個公式推導(dǎo)中過程中出現(xiàn)的解決方案.2、方法小結(jié)：（1）

歸納在推導(dǎo)公式過程中的用到的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、方程的思想、坐標(biāo)法、換元等，找出不同方案之間的共性。（2）

歸納解決問題中用到的一般方法：尋找事物之間的聯(lián)系，抓住問題的主要矛盾.六、體會小結(jié),自我評價：由學(xué)生談體會：“己推導(dǎo)的公式，覺得是否清楚？”“自主性學(xué)習(xí)，是否激發(fā)了自己的興趣，更容易掌握知識？”“和同學(xué)一起討論問題，是否有獨立思考外的收獲？”師生合作小結(jié)：能夠進(jìn)一步歸納過程與方法，讓學(xué)生對自主學(xué)習(xí)過程有深刻的感受和多方面的收獲.七、布置作業(yè)（略）1．教材P118-3,42.根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)，設(shè)計1到2道題目作為補(bǔ)充作業(yè).七、完成作業(yè)（略）鞏固知識，提高應(yīng)用能力教學(xué)流程圖反饋練習(xí)反饋練習(xí)開始課題提出學(xué)習(xí)課題確定研究方案學(xué)生自主研究性學(xué)習(xí)教師巡視參與和指導(dǎo)師生共議,形成結(jié)論例題分析和板演課堂小結(jié)作業(yè)結(jié)束符號說明：教學(xué)開始和結(jié)束教師的邏輯判斷活動 指向線師生的活動學(xué)情分析本課時面對的學(xué)生是高一年級的學(xué)生，數(shù)學(xué)表達(dá)能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時期，學(xué)生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。他們經(jīng)過半個多學(xué)期的高中生活，儲備了向量內(nèi)積的相關(guān)數(shù)學(xué)知識，掌握了一些高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)建立了良好的知識基礎(chǔ)。通過對必修四第1章和第2章的學(xué)習(xí)，掌握了三角函數(shù)和向量的基礎(chǔ)知識，為學(xué)生實施自主學(xué)習(xí)提供了知識保障，加之我所教班級學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，對數(shù)學(xué)課有濃厚的興趣，具備自主探索的能力，為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供展示自我的平臺。效果分析從課堂上做的課堂檢測、學(xué)生的作業(yè)、課后測評題、學(xué)生座談反饋，可以發(fā)現(xiàn)這節(jié)課教學(xué)效果良好，每個學(xué)生都學(xué)有所獲。理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程，熟記兩角和與差的余弦公式，運(yùn)用兩角和與差的余弦公式，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。增強(qiáng)了學(xué)生的觀察、數(shù)學(xué)表達(dá)、逆向思維和發(fā)散思維、邏輯推理和合作學(xué)習(xí)能力。學(xué)會從已有知識出發(fā)主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態(tài)度。充分體現(xiàn)“在教學(xué)中，教師其主導(dǎo)作用，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”。把“學(xué)生為主，教師為輔”的教學(xué)指導(dǎo)原則落到實處。面向全體，抓好雙基。注重采用典型的例子，逐層遞進(jìn)，使學(xué)生的思維處在活躍狀態(tài)，重議練，重分析，適時總結(jié)解題方法。教材分析本節(jié)課是人教B版數(shù)學(xué)必修四第三章第一單元第一節(jié)，主要內(nèi)容是：通過向量內(nèi)積的坐標(biāo)和定義表示得到兩角差的余弦，轉(zhuǎn)化得到兩角和的余弦。重點放在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)和證明上，其次是利用公式解決一些簡單的三角函數(shù)問題。在學(xué)習(xí)本章之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)及向量的有關(guān)知識，本節(jié)是三角恒等變換這一章的基礎(chǔ)課，在三角部分的學(xué)習(xí)中起著承前啟后的作用，是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識的延伸，是后繼內(nèi)容二倍角公式、和差化積、積化和差公式的知識基礎(chǔ)，對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用，而且其推導(dǎo)過程本身就具有重要對的教育價值。練習(xí)（一）一、選擇題1、下列命題中，假命題是（）A．存在這樣的α、β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在無窮多個α、β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．對于任意的α、β，都有cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在這樣的α、β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ2、cos75°－cos15°等于（）A．B．－C．D．－3、cos48°cos12°－sin48°sin12°的值是（）A．B．cos36°C．D．sin36°4、設(shè)cos(α－)＝，α，則cosα的值是（）A．B．C．D．－5、cos(36°+x)cos(54°－x)+sin(x+36°)sin(x－54°)的值為（）A．0B．1C．－1D．二、填空題6、(α－β)β－sin(α－β)sinβ＝。7、如果＝—,∈(π,)，那么的值等于_________。8、已知為銳角，且＝，＝－，則β＝____。三、解答題9、利用兩角和（差）的余弦公式證明：⑴cos()=－sinα⑵sin()=cosα10、利用兩角和（差）的余弦公式，求①cos②cos③coscossinsin11、已知tanα＝，cos(α＋β)＝－,α、β均為銳角，求cosβ的值。12、已知sinα－sinβ＝－,cosα－cosβ＝－,求cos(α－β)的值。練習(xí)（二）一、選擇題1、已知α、β均為銳角，sinα＝,sin(α＋β)＝,則cosβ等于（）A．B．C．D．或2、在△ABC中，若cosA＝，cosB＝,則cosC等于（）A．－B．C．－D．3、cos(80°+2a)cos(35°+2a)+sin(80°+2a)cos(55°－2a)的值為（）A．B．C．D．－4、使函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上為減函數(shù)的的一個值為（）A．B．C．D．5、在△ABC中，如果cosAcosB＞sinAsinB，則△ABC為（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．銳角或直角三角形二、填空題6、已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)＝。7、已知。8、cos10°cos55°+cos80°cos35°的值為__________________．三、解答題9、不查表求下列各式的值：⑴(2)10、已知，,,求cos2α的值。11、求證：12、求函數(shù)的最大值與最小值。（一）參考答案一、選擇題1．B解：由兩角和的余弦公式知C，D為真命題。要使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ必須有sinαsinβ=0，即α=kπ或β=kπ（k∈Z）。所以A也正確。【本題主要考察對兩角和的余弦公式的理解】2．D解：cos75°－cos15°=cos(45°+30°)－cos(45°－30°)=cos45°cos30°－sin45°sin30°－cos45°cos30°+sin45°sin30°=－2sin45°sin30°=【本題利用兩角和(差)的余弦公式將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值】3．C解：cos48°cos12°－sin48°sin12°=cos（48°+12°）=cos60°=【本題主要考察兩角和的余弦公式的逆用】4．B解：因為α，所以(α－)，則sin(α－)>0.因為sin2(α－)+cos2(α－)=1，且cos(α－)＝，所以sin(α－)=。而cosα=cos[(α－)+]=cos(α－)cos－sin(α－)sin==【本題主要考察將角靈活的轉(zhuǎn)化為已知角和特殊角的和是本題的關(guān)鍵】5．A解：cos(36°+x)cos(54°－x)+sin(x+36°)sin(x－54°)=cos(36°+x)cos(54°－x)－sin(x+36°)sin(54°－x)=cos(36°+x+54°－x)=cos90°=0【本題主要考察誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式】二、填空題6．cosα解：cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ＝cos(α－β+β)=cosα【本題直接應(yīng)用兩角和的余弦公式】7．解：∴∴【本題直接應(yīng)用兩角和的余弦公式及誘導(dǎo)公式】8．解∴∴∴【本題利用兩角和與差的余弦公式將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值】9．（1）解：==【本題主要考察兩角和的余弦公式的運(yùn)用】（2）解：由（1）可知，用代替得==【本題主要考察角的代換思想】10．解（1）====（2）====（3）===0【本題主要考察兩角和與差的余弦公式】11．解：，∴∴=【本題主要考察兩角差的余弦公式以及已知正切求正弦和余弦】12．解：∴∴【本題主要利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的余弦公式】（二）參考答案【本題主要考察對兩角差的余弦公式,及整體思想把α+β看成整體再去用公式】【本題主要考察兩角和的余弦公式，以及三角形的內(nèi)角和是】【本題主要考察兩角和的余弦公式的逆用，以及正弦和余弦之間的互換】【本題主要考察兩角和余弦公式，及奇函數(shù)的定義和三角函數(shù)的單調(diào)性】【本題主要考察兩角和的余弦公式，以及余弦函數(shù)象限角對函數(shù)值的影響】7．解：=，【本題主要是兩角和及差余弦公式的靈活運(yùn)用】8．解：cos10°cos55°+cos80°cos35°===【本題主要考察兩角和的余弦定理及誘導(dǎo)公式】9．解：（1）====(2)====【本題主要考察誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式】10．【關(guān)鍵是找到要求的角轉(zhuǎn)化為已知角的關(guān)系還要利用兩角差的余弦公式】解：