簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱(chēng)圖形

3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱(chēng)圖形第1課時(shí)等腰三角形教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．經(jīng)歷探索等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)的過(guò)程，掌握等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性、三線合一、兩底角相等等性質(zhì)．2．能根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)．【教學(xué)難點(diǎn)】等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)及探索過(guò)程．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P121～P122的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．等腰三角形的性質(zhì)：(1)等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；(2)等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱(chēng)“三線合一”)，它們所在的直線都是等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸；(3)等腰三角形的兩個(gè)底角相等.2．如圖，在△ABC中，AB＝AC．(1)因?yàn)锳D⊥BC，所以∠BAD＝∠CAD，BD＝CD；(2)因?yàn)锳D是中線，所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；(3)因?yàn)锳D是角平分線，所以AD⊥BC，BD＝CD；(4)因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C.3．完成教材P121“想一想”：解：(1)等邊三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸，內(nèi)角的平分線(各邊上的中線、各邊上的高)所在的直線為其對(duì)稱(chēng)軸．(2)等邊三角形的特征：①三條邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角都是60°；②是軸對(duì)稱(chēng)圖形；③具有等腰三角形的一切特征．環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC中各內(nèi)角的度數(shù)．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)設(shè)∠A＝x，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得各角的度數(shù)．【解答】因?yàn)锳B＝AC，BD＝BC＝AD，所以∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD．設(shè)∠A＝x，則∠ABC＝∠C＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.在△ABC中，因?yàn)椤螦＋∠ABC＋∠C＝180°，所以x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.所以在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))當(dāng)題中等量關(guān)系或和差關(guān)系較多時(shí)，可考慮列方程解答，設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)較小的角的度數(shù)為x.【例2】如圖，已知AB＝AC，BD⊥AC于點(diǎn)D．求證：∠BAD＝2∠DBC．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)由∠BAD＝2∠DBC，考慮作∠BAD的平分線，即作等腰三角形的高，再根據(jù)“等角的余角相等”證明結(jié)論．【證明】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳B＝AC，AE⊥BC，所以∠BAD＝2∠2.因?yàn)锽D⊥AC于點(diǎn)D，所以∠BDC＝90°，所以∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°，所以∠DBC＝∠2，所以∠BAD＝2∠DBC．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))解決本題的關(guān)鍵：(1)從要證的等式中角之間的數(shù)量關(guān)系，考慮利用等腰三角形“三線合一”作輔助線；(2)在有直角的平面幾何圖形中，可用“等角的余角相等”證明角相等．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．已知等腰三角形的一個(gè)角為80°，則其頂角為(D)A．20° B．50°或80°C．10° D．20°或80°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，則BD＝3cm.3．在△ABC中，AB＝AC＝5，∠A＝60°，則BC＝5.4．在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)C作CN∥AB且CN＝AC，連結(jié)AN交BC于點(diǎn)M.求證：BM＝CM.證明：因?yàn)锳B＝AC，CN＝AC，所以AB＝CN，∠N＝∠CAN.又因?yàn)锳B∥CN，所以∠BAM＝∠N，所以∠BAM＝∠CAM，所以AM為∠BAC的平分線．又因?yàn)锳B＝AC，所以AM為△ABC的邊BC上的中線，所以BM＝CM.活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度數(shù)．【互動(dòng)探索】要求∠A，需討論∠A是等腰△ABC的頂角還是底角，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和求解．【解答】分情況討論：當(dāng)∠A為頂角時(shí)，則∠B＝∠C．因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，所以∠B＝∠C＝50°，所以∠A＝80°.當(dāng)∠C為頂角時(shí)，則∠A＝∠B．因?yàn)椤螦＋∠B＝130°，所以∠A＝65°.當(dāng)∠B為頂角時(shí)，則∠A＝∠C．因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，所以∠A＝∠C＝50°.綜上所述，∠A的度數(shù)可以為80°，65°或50°.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))本題體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想．等腰三角形的兩個(gè)底角相等，已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角．本題易忽略討論∠B是頂角還是底角．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))等腰三角形eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(軸對(duì)稱(chēng)性,三線合一,等邊對(duì)等角))練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！第2課時(shí)線段的垂直平分線教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．探索并了解線段垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)，并利用垂直平分線的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題．2．會(huì)用尺規(guī)作圖作一條線段的垂直平分線．3．經(jīng)歷探索簡(jiǎn)單圖形軸對(duì)稱(chēng)性的過(guò)程，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱(chēng)的特征，發(fā)展空間觀念．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)．【教學(xué)難點(diǎn)】用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，并利用垂直平分線的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P123～P124的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．線段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對(duì)稱(chēng)軸．2．線段的垂直平分線的定義：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡(jiǎn)稱(chēng)中垂線.3．線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.4．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA＝5，則線段PB的長(zhǎng)為(B)A．6 B．5C．4 D．3環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)教材P124例1.【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D．若△DBC的周長(zhǎng)為35cm，求BC的長(zhǎng)．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)DE垂直平分AB→AD＝BD→△DBC的周長(zhǎng)為35cm→BC＋AD＋CD＝35cm→求出BC．【解答】因?yàn)镈E垂直平分AB，所以AD＝BD．因?yàn)椤鱀BC的周長(zhǎng)為35cm，即BC＋BD＋CD＝35cm，所以BC＋AD＋CD＝35cm.又因?yàn)锳C＝AD＋DC＝20cm，所以BC＝35－20＝15(cm)．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長(zhǎng)．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E、D兩點(diǎn)，CE＝4，△ABC的周長(zhǎng)是25，則△ABD的周長(zhǎng)為(C)A．13 B．15C．17 D．192．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，∠B＝60°，∠C＝25°，則∠BAD為(B)A．50° B．70°C．75° D．80°3．如圖，在△ABC中，AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D．若△DBC的周長(zhǎng)為35cm，則BC長(zhǎng)為15cm.4．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.已知∠BAE＝10°，求∠C的度數(shù)．解：因?yàn)椤螧＝90°，∠BAE＝10°，所以∠BEA＝80°.因?yàn)镋D是AC的垂直平分線，所以AE＝EC，所以∠C＝∠EAC．因?yàn)椤螧AC＋∠B＋∠C＝180°，∠BAC＝∠BAE＋∠EAC，所以10°＋∠EAC＋90°＋∠C＝180°.所以∠C＝∠EAC＝40°.活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD．【互動(dòng)探索】(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADE＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可證得△ADE≌△FCE，從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB＝BF即可．【證明】(1)因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADE＝∠ECF.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以DE＝EC．又因?yàn)椤螦ED＝∠CEF，所以△ADE≌△FCE，所以FC＝AD．(2)因?yàn)椤鰽DE≌△FCE，所以AE＝EF，AD＝CF.因?yàn)锽E⊥AE，所以BE是線段AF的垂直平分線，所以AB＝BF＝BC＋CF.因?yàn)锳D＝CF，所以AB＝BC＋AD．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，利用它可以證明線段相等．【例4】如圖，A、B、C三點(diǎn)表示三個(gè)工廠，要建立一個(gè)供水站，使它到這三個(gè)工廠的距離相等，求作供水站的位置．【互動(dòng)探索】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等作圖．【解答】如圖，連結(jié)AB、AC，分別作出AB、AC的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)P就是供水站的位置．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))此題主要考查了應(yīng)用作圖，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))線段的垂直平分線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(線段是軸對(duì)稱(chēng)圖形,,對(duì)稱(chēng)軸,線段的垂直平分線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(定義,性質(zhì),作法))))練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！第3課時(shí)角平分線的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．經(jīng)歷探索角的軸對(duì)稱(chēng)性的過(guò)程，理解并掌握角平分線的有關(guān)性質(zhì)，并能運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題．2．掌握作已知角的平分線的尺規(guī)作圖方法．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】掌握角平分線的性質(zhì)，會(huì)用尺規(guī)作已知角的平分線．【教學(xué)難點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P125～P126的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，角平分線所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸．2．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.3．如圖，已知BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝6，則DF的長(zhǎng)為(D)A．2 B．3C．4 D．64．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC＝7，DE＝4，則△ADC的面積等于14.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)教材P126例2.【例2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D，如果AC＝3cm，那么AE、AC、DE這三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝CE，從而可知AE、AC、DE之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】AE＋DE＝AC＝3cm.理由如下：因?yàn)椤螦CB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，所以DE＝CE，所以AC＝AE＋CE＝3cm.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(C)A．OE是∠AOB的平分線B．OC＝ODC．點(diǎn)C、D到OE的距離不相等D．∠AOE＝∠BOE2．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝10，則點(diǎn)D到AB的距離是(D)A．9 B．8C．7 D．63．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，且與AB垂直，垂足為點(diǎn)A，交CD于點(diǎn)D．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是4.4．如圖，已知BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，S△ABC＝36cm2，AB＝12cm，BC＝18cm，則DE的長(zhǎng)為cm.教師點(diǎn)撥：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F.根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，得DE＝DF，再根據(jù)S△ABC＝S△ABD＋S△BCD列方程求解即可．5．如圖，BD是∠ABC的平分線，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為點(diǎn)M、N.試說(shuō)明：PM＝PN.證明：因?yàn)锽D是∠ABC的平分線，所以∠ABD＝∠CBD．又因?yàn)锳B＝BC，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD(SAS)，所以∠ADB＝∠CDB，即DB是∠ADC的平分線．因?yàn)镻M⊥AD，PN⊥CD，所以PM＝PN.活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，你能說(shuō)出可供選擇的地址有幾處嗎？【互動(dòng)探索】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得貨物中轉(zhuǎn)站必須是三條相交直線所組成的三角形的內(nèi)角或外角平分線的交點(diǎn)．【解答】因?yàn)橹修D(zhuǎn)站要到三條