數(shù)學課件（新教材人教A版強基版）第七章立體幾何與空間向量77向量法求空間角（一）

向量法求空

間角(一)第七章立體幾何與空間向量能用向量法解決異面直線、直線與平面所成角的問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_______.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(

)××√(4)直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sinθ＝cos〈u，n〉.(

)×A.30° B.60°C.120° D.150°√2.已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為√因為s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為√探究核心題型第二部分題型一異面直線所成的角√√因為∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，連接CO，則CO⊥平面ABD，以點O為坐標原點，OB，OC所在直線分別為y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設異面直線AD與BC所成的角為θ，用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標系.(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.思維升華跟蹤訓練1

(1)有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為_____.設等邊三角形的邊長為2.取BC的中點O，連接OA，OD.因為△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD兩兩垂直，以O為坐標原點，OD，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設異面直線AB和CD所成的角為θ，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，正方體的棱長為2，則A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，題型二直線與平面所成的角(1)證明：BD⊥PA；[切入點：由等腰梯形ABCD的性質求BD長](2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.[關鍵點：建立空間直角坐標系求法向量]利用空間向量求線面角的解題步驟(1)若G是DP的中點，求證：AG⊥BD；設圓柱OQ的底面半徑為r，高為h.在底面圓O中，∠APB＝90°，∠ABP＝60°，所以AP＝BP·tan60°＝3.因為圓柱OQ的母線DA⊥底面APB，所以DA⊥BP，DA⊥AP.因為∠APB＝90°，所以PA⊥BP，又PA∩AD＝A，所以BP⊥平面APD.因為AG?平面APD，所以BP⊥AG.在△DAP

中，AD＝AP＝3，G是DP的中點，所以DP⊥AG.又BP∩DP＝P，所以AG⊥平面BPD.因為BD?平面PBD，所以AG⊥BD.顯然，向量n＝(1,0,0)是平面ABCD的一個法向量.設GB與平面ABCD所成的角為θ，課時精練第三部分12345678910111213141516√基礎保分練12345678910111213141516由題意可知，AB，AC，AA1兩兩相互垂直，以A為坐標原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，2.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為√1234567891011121314151612345678910111213141516建立如圖所示的坐標系，設AB＝2，√1234567891011121314151612345678910111213141516如圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，設平面D1EC的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516123456789101112131415164.(2023·滄州模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中點，則異面直線AP與BA1所成角的余弦值為√12345678910111213141516方法一設正方體的棱長為2，取CC1的中點Q，連接PQ，AD1，AC，AQ，∵P是C1D1的中點，∴PQ∥CD1∥A1B，故∠APQ就是AP與BA1所成的角或其補角，12345678910111213141516方法二設正方體的棱長為2，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則A(2,0,0)，P(0,1,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，12345678910111213141516√12345678910111213141516取AC的中點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設n＝(x，y，z)為平面B1DC的法向量，12345678910111213141516令z＝1，得n＝(0,2,1)，設直線AD與平面B1DC所成的角為α，則12345678910111213141516√12345678910111213141516∵AB是圓柱底面圓的一條直徑，∴∠AOB＝90°，∵AC∥OB，∴∠OAC＝90°；∵AB是圓柱的底面圓的直徑，∴∠ACB＝90°，又∠OAB＝45°，∴四邊形OACB為正方形，設AB＝2，建立如圖所示的空間直角坐標系，12345678910111213141516設平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516設直線PC與平面PAB所成的角為θ，12345678910111213141516112345678910111213141516解得a＝1，所以棱AB的長度是1.1234567891011121314151612345678910111213141516以A為原點，在平面ABC內作垂直于AC的射線為x軸，以射線AC為y軸，射線AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由x軸⊥平面PAC得平面PAC的一個法向量為n＝(1,0,0)，設直線PB與平面PAC所成的角為α，123456789101112131415169.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.12345678910111213141516(1)求證：BD⊥平面PAC；12345678910111213141516因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又因為AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值.1234567891011121314151612345678910111213141516設AC∩BD＝O.因為∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，12345678910111213141516設PB與AC所成的角為θ，則10.如圖，在三棱柱ABC

－A1B1C1中，各棱長均相等.D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點.12345678910111213141516(1)證明：EF∥平面A1CD；12345678910111213141516在三棱柱ABC

－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以A1F∥DE，且A1F＝DE，因此四邊形A1FED為平行四邊形，所以EF∥A1D，又EF?平面A1CD，A1D?平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)若三棱柱ABC－A1B1C1為直棱柱，求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.1234567891011121314151612345678910111213141516方法一設A1B1的中點為O，連接OC1，OD，因為三棱柱ABC－A1B1C1為直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1為等邊三角形，所以OC1⊥A1B1.以O為坐標原點，OA1，OD，OC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.12345678910111213141516設平面A1CD的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516令x＝2，得n＝(2,1,0).設直線BC與平面A1CD所成的角為θ，12345678910111213141516方法二因為底面ABC是正三角形，D為AB的中點，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，AA1，AB?平面A1ABB1，所以CD⊥平面A1ABB1.如圖，在平面A1ABB1內，過點B作BG⊥A1D，交A1D的延長線于點G，連接CG，則BG⊥平面A1CD，所以∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角.1234567891011121314151611.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E是棱B1C1的中點，點F是線段CD1上的一個動點.有以下三個命題：①異面直線AC1與B1F所成的角是定值；②三棱錐B－A1EF的體積是定值；③直線A1F與平面B1CD1所成的角是定值.其中真命題的個數(shù)是12345678910111213141516綜合提升練√12345678910111213141516以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，設正方體的棱長為1，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，設F(t,1,1－t)(0≤t≤1)，12345678910111213141516三棱錐B－A1EF的底面A1BE的面積為定值，且CD1∥BA1，BA1?平面A1BE，CD1?平面A1BE，所以CD1∥平面A1BE，點F是線段CD1上的一個動點，可得點F到底面A1BE的距離為定值，故三棱錐B－A1EF的體積是定值，故②正確；12.(多選)關于正方體ABCD－A1B1C1D1，下列說法正確的是A.直線AC1⊥平面A1BDB.若平面A1BD與平面AB1D1的交線為l，則l與AD所成的角為45°12345678910111213141516√√√12345678910111213141516如圖，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，令x＝－1，則y＝z＝1，即n＝(－1,1,1)，12345678910111213141516∵A(2,0,0)，C1(0,2,2)，則直線AC1⊥平面A1BD，故A正確；結合圖形可知，平面A1BD與平面AB1D1的交線l即為直線MN，M(1,0,1)，N(2,1,1)，12345678910111213141516∴l(xiāng)與AD所成的角為45°，故B正確；12345678910111213141516如圖，取棱CC1的中點E，連接PC1，QC1，PE，BE，∵P，E分別為棱DD1，CC1的中點，則PE∥DC且PE＝DC，又∵AB∥DC且AB＝DC，則PE∥AB且PE＝AB，∴四邊形ABEP為平行四邊形，則AP∥BE，∵Q，E分別為棱BB1，CC1的中點，則C1E∥BQ且C1E＝BQ，12345678910111213141516∴四邊形BEC1Q為平行四邊形，則BE∥C1Q，∴AP∥C1Q，同理可證，AQ∥C1P，∴經過點A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形為平行四邊形AQC1P，1234567891011121314151613.若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為____.12345678910111213141516方法一令M為AC的中點，連接MB，MA1，由題意知△ABC是等邊三角形，所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC.因為平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM?平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.因為A1M?平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，12345678910111213141516所以AC，BM，A1M兩兩垂直，以M為原點，MA，MB，MA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設AA1＝AC＝AB＝2，12345678910111213141516設異面直線AC1與A1B所成的角為θ，12345678910111213141516方法二如圖所示，在平面ABC，平面A1B1C1中分別取點D，D1，連接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四邊形ABDC，A1B1D1C1為平行四邊形，連接DD1，BD1，則AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其補角為異面直線AC1與A1B所成的角.連接A1D1，過點A1作A1M⊥AC于點M，連接BM，設AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，12345678910111213141516因為平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1M?平面A1ACC1，所以A1M⊥平面ABC.又BM?平面ABC，1234567891011121314151612345678910111213141516212345678910111213141516取AD的中點O，連接A1O，因為AA1＝A1D，O為AD的中點，則A1O⊥AD，因為平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，A1O?平面AA1D1D，所以A1O⊥平面ABCD，以O為坐標原點，過點O作AB的平行線為x軸，OD，OA1所在直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設A1O＝a，其中a＞0，則A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，A1(0,0，a)，C1(2,2，a)，D(0,1,0)，12345678910111213141516取x＝a，則m＝(a，－a，－1)，12345678910111213141516拓展沖刺練15.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，K，L分別是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中點，則直線A1C與平面EFGHKL所成角的大小為_____；若P，Q是六邊形EFGHKL邊上兩個不同的動點，設直線D1B與直線PQ所成的最小角為θ，則sinθ的值為_____.90°12345678910111213141516則A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(xiàn)(2,2,1)，G(1,2,2)，∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF?平面EFGHKL，∴A1C⊥平面EFGHKL，∴直線A1C與平面EFGHKL所成角的大小為90°.12345678910111213141516設直線D1B與平面EFGHKL所成的角為α，則12345678910111213141516∵直線PQ?平面EFGHKL，∴直線D1B與直線PQ所成的角最小