2021年山東省青島市膠南第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2021年山東省青島市膠南第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，則（

）A．－1

B．0

C．1

D．2參考答案：B2.命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（

）A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”

B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”

C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”

D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”參考答案：B解析：因?yàn)橐粋€(gè)命題的逆命題是將原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行交換，因此逆命題為“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”。3.，，“”是“”的（

）A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充分必要條件

D．非分非必要條件參考答案：A4.的值為（）A．B．C．D．參考答案：B

考點(diǎn)：二倍角的正弦．專題：計(jì)算題．分析：把所求的式子提取后，利用二倍角的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，即可求出值．解答：解：=×2=sin=．故選B點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．5.已知恒成立，則必定為

（

）

A．銳角三角形

B．鈍角三角形

C．直角三角形

D．不確定參考答案：C6.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，那么，各班可推選代表人數(shù)與該班人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)表示不大于的最大整數(shù)）可以表示為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.已知變量x、y，滿足則的最大值為

A．

B．1

C．

D．2參考答案：C設(shè)，則。做出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖為三角形內(nèi)。做直線，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最大，對(duì)應(yīng)的也最大，由得。即代入得，所以的最大值為，選C.8.設(shè)（

）A

a<c<b

B

b<c<a

C

a<b<c

D

b<a<c參考答案：D9.記全集，集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合是（

）A．{7,8}

B．{2}

C．{4,6,7,8}

D．{1,2,3,4,5,6}參考答案：A由題意，圖中陰影部分所表示的區(qū)域?yàn)?，由于，，故，選A．10.已知，若，則實(shí)數(shù)取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），則sinα的值為

．參考答案：考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：求得sinβ和cosβ的值，根據(jù)已知條件判斷出α+β的范圍，進(jìn)而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的兩角和公式求得答案．解答： 解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，∴0＜α+β＜，∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)．解題過程中判斷出α+β的范圍是解題的最重要的一步．12.一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，每次從袋中摸出兩個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率為

．參考答案：13.的展開式中，的系數(shù)為，則

．(用數(shù)字填寫答案)參考答案：略14.函數(shù)f（x）=在x=4處的切線方程

．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=4處的導(dǎo)數(shù)，也就是切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=，∴x=4時(shí)，f′（4）=，∵f（4）=2，∴函數(shù)f（x）=在x=4處的切線方程為y﹣2=（x﹣4），即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為該點(diǎn)處切線的斜率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．15.設(shè)變量x，y滿足，則z=2x-y的最大值為_________.參考答案：7略16.若⊙與⊙相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是____________.參考答案：4

略17.設(shè)=a+bi（i為虛數(shù)單位，a，b∈R），則ab的值為．參考答案：0【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由復(fù)數(shù)相等求得a，b的值，則答案可求．【解答】解：由，得a=0，b=1．∴ab=0．故答案為：0．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1將曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)α，即可得出C1的普通方程．將代入上述方程即可得出極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）由曲線C2的極坐標(biāo)方程ρcos（θ+）=2，展開為=2，即可得直角坐標(biāo)方程，與圓的方程聯(lián)立即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）將曲線C1的參數(shù)方程（α為參數(shù)）．消去參數(shù)α，得（x﹣2）2+y2=4，∴C1的普通方程為：x2+y2﹣4x=0．將代入上述方程可得ρ2﹣4ρcosθ=0，∴C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．（Ⅱ）由曲線C2的極坐標(biāo)方程ρcos（θ+）=2，展開為=2，可得直角坐標(biāo)方程得：x﹣y﹣4=0．由，解得或．∴C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（4，0），（2，﹣2）．可得極坐標(biāo)分別為（4，0）或．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19.已知，且，，數(shù)列、滿足，，，．(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)(理科)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)(理科)若滿足，，，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：．參考答案：證明(1)∵，∴,.

∵，，

∴

．又，∴數(shù)列是公比為3，首項(xiàng)為的等比數(shù)列．解(2)(理科)依據(jù)(1)可以，得．于是，有，即．因此，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．故．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．(3)（理科）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(i)當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，即左邊=右邊，所以當(dāng)時(shí)結(jié)論成立．(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即．當(dāng)時(shí)，左邊

，右邊．即左邊＝右邊，因此，當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立．根據(jù)(i)、(ii)可以斷定，對(duì)的正整數(shù)都成立．

20.（2017?深圳一模）某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費(fèi)，超過200度但不超過400度的部分按0.8元/度收費(fèi)，超過400度的部分按1.0元/度收費(fèi)．（1）求某戶居民用電費(fèi)用y（單位：元）關(guān)于月用電量x（單位：度）的函數(shù)解析式；（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過260元的點(diǎn)80%，求a，b的值；（3）在滿足（2）的條件下，若以這100戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，記Y為該居民用戶1月份的用電費(fèi)用，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）利用分段函數(shù)的性質(zhì)即可得出．（2）利用（1），結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．（3）由題意可知X可取50，150，250，350，450，550．結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，y=0.5x；當(dāng)200＜x≤400時(shí)，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，當(dāng)x＞400時(shí)，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y與x之間的函數(shù)解析式為：y=．（2）由（1）可知：當(dāng)y=260時(shí)，x=400，則P（x≤400）=0.80，結(jié)合頻率分布直方圖可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020．（3）由題意可知X可取50，150，250，350，450，550．當(dāng)x=50時(shí)，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，當(dāng)x=150時(shí)，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，當(dāng)x=250時(shí)，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，當(dāng)x=350時(shí)，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，當(dāng)x=450時(shí)，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，當(dāng)x=550時(shí)，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列為：Y2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、頻率分布直方圖的性質(zhì)、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)和；（2）求證：；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：(1)，；(2)證明見解析；(3)．試題解析：（1）∵是與2的等差中項(xiàng)，∴，∴，∴，又，∴，（，），即數(shù)列是等比數(shù)列，，∵點(diǎn)在直線上，∴，，即數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴．（2）∵ ，∴．考點(diǎn)：1、數(shù)列的通項(xiàng)；2、裂項(xiàng)求和法；3、錯(cuò)位相減法求和.22.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1⊥平面ABC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE∥平面A1BD。（Ⅰ）求證：點(diǎn)D是CC1的中點(diǎn)；（Ⅱ）若A1D⊥BD，求平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值。參考答案：見解析【知識(shí)點(diǎn)】立體幾何綜合解：（Ⅰ）取A1B1的中點(diǎn)F，連接FC1，EF，設(shè)EF，A1B=G，連接CD，

由作圖過程易得：四邊形CEFC1為平行四邊形，EC∥AA1。

在△AA1B中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G是A1B的中點(diǎn)，

EG=AA1=CC1。

又CE∥平面A1BD，CE平面EFC1C，

且平面EFC1C平面A1BD=DG，

∴DG∥CE，又∵EG∥CD

∴四邊形CEGD為平行四邊形，CD=EG=CC1，

∴點(diǎn)D是CC1的中點(diǎn)

（