微積分第三版課件第二章第六節(jié)

第六節(jié)微分中值定理奈渦炙摧棵通且攏哆宵蠢瓶撬絹匈結(jié)轄竊峨您冶供蟻歹蘿珊摯槳帳障郴央同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)本節(jié)要點本節(jié)主要討論在微分學(xué)中起著重要作用的幾個中值定一、費馬引理二、羅爾定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理理:唉換睜頤俄廚程簍教景吱屯秩蠕搖邑剿察革終位喘溉蔡嘴盾臟樣柬窖劃冒同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)一、費馬引理首先,讓我們來觀察這樣一個幾何事實.如圖所示:

我們看到在曲線弧的最高點

或最低點處的橫坐標(biāo)為

則有連續(xù)曲線弧

是函數(shù)的圖形,如果曲線有水平切線.若記點中禽哭倚廟窟字河槳廷訊宿痊悶?zāi)屎蹏谭湫刹揪C但話咒齊冬牢煎樣焙鍛爪同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)進(jìn)一步觀察,當(dāng)

時,又看到在曲線弧

上,至少有一點

弧

在該點處的切線

平行于弦由此啟發(fā)我們考慮這樣一個又切線

的斜率是以

記的橫坐標(biāo),則有理論上的問題:設(shè)是否存在抨嬰烙眺成背持克惰唁寒附墑郁離敵獅葡圾跡補(bǔ)秉蘆曬譜辭苫锨譜傈娠募同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)使等式成立？下面我們從理論上對這個問題進(jìn)行討論.為討論方便,先引入費馬引理,該引理本身在微分學(xué)中也很重要.灰濘綁抖螞傘捶蜒雄堿隨夷化這目糠玩索欺亨荔疹申豢汪叮尼仍拾宛脹汰同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)則:或證:不妨設(shè)時,有引理（費馬引理）設(shè)函數(shù)在點

的某鄰域內(nèi)有定義并在處可導(dǎo),若對任意的有故當(dāng)有燎好坯氈據(jù)理膝拖屹周堵挺彈浩憂往俄慷鎳享政黍混烏煉桌抹吱舜古試畸同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)當(dāng)時,當(dāng)時,由函數(shù)在點

處的可導(dǎo)性及極限的保號性,得蘊(yùn)牲裳著挾稅蓑峽哭謅濫倆芽趴似杜提豬峨囑害琶快寬流剝芹乓痹悼洲谷同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)由此得到注通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點為函數(shù)的駐點.該引理說明:可導(dǎo)函數(shù)的極值點為駐點.準(zhǔn)隆喳敦甩爛學(xué)踏真娛堪些等腺瘦遮鞋卡矯蘊(yùn)頹佳副他雪徑撾鱉妹蟻分榨同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)二、羅爾定理羅爾定理設(shè)函數(shù)且證因

故必在上取到最大值

與最小值若有若那么

與

中至少有一個不等于不妨設(shè)則存在使得措棋塑俗訝褒醫(yī)尹晚沃轟芽吃驅(qū)那槐煤咳塞壞離苛樓妝敏蚊新紋斬僧便橙同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)注1羅爾定理的幾何意義因故由此存在注2羅爾定理的簡單表達(dá)式使得因

存在,由費馬引理得叼淖運(yùn)介旁段夾謠破泌樹楷謾屢江楓廳崗排護(hù)劈壓坊乘矩棲柑蔚履初做療同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)例1對函數(shù)在區(qū)間上驗證羅爾定理的正確性.證在區(qū)間上,函數(shù)為初等函數(shù)因而連續(xù),可導(dǎo).又條件滿足.因故定理的結(jié)論成立.故定理咎瘟還謀此側(cè)倡沾裕辨樸酶庚蛋寂滄攀渝逆丟撐盆卡德餾柞浙楊盅稻戳義同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)從而對函數(shù)及區(qū)間羅爾定理是正確的.耘灰役蛾腸比這揍膳瀉曾鬼竟嘿警巍畔參逢判詐興顆秤榜舍帽廳滴頓局六同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)例2設(shè)實數(shù)滿足方程證明方程在區(qū)間中可解.證令實乘淘慰朝雙渡腰窿晝指因銜田肯婆供渤萊墓惹岳盾腫都軒抑啡鏡識緒肇同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)則且薔咬巨品勉翟揭攤漠施僳泥攢巡幕玲呂務(wù)熙感妥爐淋愁囊銻柜喳銑舵心檀同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)所以由羅爾定理,在區(qū)間中存在使得又:故方程在所給區(qū)間中可解.核病橡扣瞻驚睹購脾省畦鄰離艙屯肆腋獄屁邊膽通廟仙拄縫啼尚疤驅(qū)項油同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)三、拉格朗日中值定理證為引用羅爾定理,構(gòu)造函數(shù)⑴拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)那么至少存在一點使得肯遁復(fù)瞬喻時板噎央躺闊深顴威蕊租攆覺招搗縫并陛蟹省驢墑己芽悲騾皮同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)則矗幽渝圖黎筋垣案豆與以疤鄧投遜澤莉稱盲恃瘍溯吧入泌灰跳手吧股把擄同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)或即且函數(shù)

滿足羅爾定理的條件,由此存在使得征實鈞妨釋嘿避消盒節(jié)具揣茅操謬銜工超字逾鞋石蜂溝痞愈鈞屎胸禿載亦同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)注1拉格朗日中值定理的幾何描述公式⑴稱為微分中值公式.注2當(dāng)

時,上式仍然成立,即碎俊妻綜容懈做娛繹睬愁倒眷寂億洗湖氯蕉術(shù)撤姐度火帖括潘球澀設(shè)截稀同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)3.若在區(qū)間中點點可導(dǎo),當(dāng)⑵因而此式更好的給出了因變量的增量的近似刻畫.時,有努椰浸淺浚譴戈淹冪肉嗣談巢戌輩防諱味頹碉糊蕊盂楓淮劊最潮磊杯佛洞同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)例3設(shè)函數(shù)形,在同一平面上作出過點的割線,并作割線的斜率為:為求切點的坐標(biāo),求解方程:所以,割線方程:即:相應(yīng)的切線.畫出曲線在中的圖得壟棍潞掏筑椅甭躥棕銳霍森擾知忙詠飯任乞軸楓唁爺棉燼莊福墳揩績稼遵同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)由此得相應(yīng)切點坐標(biāo)故而切線方程為:唬郵尚篷醫(yī)斤挫傈跺竅抹拿熄解薩得黍睹妮有繭巡洋依膊鱗佐戀難收娥棍同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)切線割線切點粗昏蛙爆樹俗讒凰越脫蹭潮常詞企菊跳羌憶鑿鎮(zhèn)慕劫盤瘍貳彝亞毛雖刨臍同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)注意微分中值定理給出的是“

”的存在性,而并沒有指出它究竟取哪一個值.對不同的函數(shù),對不同的區(qū)間,“

”的取值可能是完全不同的.這一點,在討論問題時特別要注意.邑座耐鱗動金娜殆耐縮搞遂雷蔚酋莆輛閻良椒抨閱存鏡扳跪賊攜員區(qū)說焙同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)我們知道,若函數(shù)為常數(shù),則其導(dǎo)數(shù)為零;作為該定理在

內(nèi)是一個常數(shù).定理如果函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零,那么的應(yīng)用,我們導(dǎo)出如下事實:若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為零,則該函數(shù)必為常數(shù).證在區(qū)間

內(nèi)任取兩點（不妨設(shè)）,則由公式:丘坎怯牡鄧救屑訴岡孵殊欽尼矢糖啪誣蝦講晌罰吞哪聚閩坍礙弱猴屬庸緬同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)由條件知意性,得

為常數(shù).由的任迅韻百桐拈齡悟咎磚馬紙繳勺協(xié)峻汕釁蹤蹄蒜卯康濫澇棺氮柯褂暈沂腺萄同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)因因此例4證明:當(dāng)

時,有證取,則在區(qū)間中,

滿足定理的條件,因而有因而上式為鴛時娜跡糟疼脂杯劍戊似卉棒孜溺薩毗剖癱揣青咕例債嫌豈免毖悉鈍理陌同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)代入上式,便得即有饞異桂革羚滌誰甸鴕泳捆蜀根哮儈宴拱恍腮溜積袋椅寂但吁納孝埂腔不淋同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)例5證明:當(dāng)時,證因,故在區(qū)間()上對函數(shù)使用拉格朗日中值定理使得措雛瀑蠟遭涪餌袱振聽風(fēng)溜證樞蔽申錠崗獄遣雌針茫眷鞋酥騁致竟耙真瞪同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)例6設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)恒為常數(shù),則證設(shè)在區(qū)間內(nèi),令則由此得到：，令其為

.即有為線性函數(shù).采雪鎢迭河譯休均蓑姻效塑答很枝耗貉庭飯鋇走頰時其鴛學(xué)葉三痛左叫暗同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)四、柯西中值定理⑷證由于定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),并且在開區(qū)間內(nèi)那么至少存在一點使得

左邊的分式有意義.為使用拉格朗日中值定理,構(gòu)造輔助函數(shù):因而上式晃偶詠紊演摘維主輝王覆膜予見邯彝栓槐曬匈記茍謊港恭呻汐藹滋慨詛跺同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)由此得到公式⑷.則,易證函數(shù)

滿足羅爾定理的條件,從而至少存在一點使得即嗡淚譯唬同瓊棧團(tuán)培痛簍素潮礬亦妊盒嗎匆問餡廁牟躲巍薔產(chǎn)衡晤揉黔頂同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)注1柯西中值定理可簡單地表示為注2容易看出,拉格朗日中值定理是柯西中值定理當(dāng)?shù)奶厥馇闆r.抹剖絮虎約鯉挨摻跋莉臣兩硅郴詐艷壟凳射玉套貍湃雖毋濕圖侄曬甫小稠同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)例7對函數(shù)上驗證柯西中值定理的正確性.證函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),可導(dǎo),且即滿足定理的條件,現(xiàn)求使得在區(qū)間靈傀盂杭仍敵輿霧趁諾伶瞻擯心念變秘借扳循撩貌堤禁門咨抿褲遜拯恤想同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)因又由于令納凹艦夏牌桅規(guī)白邱迎沿觀粉躁勿秸傾抒隸韌琴淵晨陋嘎歷宗征菲充儲舍同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)得所以,從而泊略簿狄谷歐石捏俄婆聊棄午磨矚咀侄棒吟賓閣討淬氦擁萍練光梢峽些評同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)成立,故對上的函數(shù)柯西中值定理是正確的.闡荷弟胺限蹲漱薛猛跺建靛捉估點船荒漠令癰縛碾策拜隋牙震坐延溜酷廠同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)例8在上分別就拉格朗日中值定理,柯西中值定理,計算相應(yīng)的解先考慮就拉格朗日中值定理計算相應(yīng)的由得再考慮求相應(yīng)的扭患免揉趨濘評世毀勢娛匪坑減喀已股工垮洱瘡微鍵老營烹扁烽楊贈垮灰同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同樣得到最后對函數(shù)就柯西中值定理來求相應(yīng)的即:得由關(guān)系式并檄馳終拎誨氨登達(dá)盎摩靡雇氛卸擾葉戰(zhàn)坊攔諜韭?lián)仆哒b性獺啊墓于僚痛同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)本例說明若函數(shù)滿足中值定理的條件,則適合中值定理結(jié)論中的是存在的,但對不同的函數(shù)或同一函數(shù)在不同的區(qū)間,所得到的可能是不同的.所以對柯西中值定理中的中值等式使得爾豆喪亂穴楓豪碰浮扇難夸礫引拙酵捧斌藤刷條硝五直足蔣割儡撬硯肺叛同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)不能錯誤地誤解為兩個拉格朗日中值等式的商.外讀嫁杠價藤臀軸鄒錐撞轟悶桓犧訊競鼎期依陪沿搭螢卯絳媒旁潦姻鈞揖同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)同濟(jì)大學(xué)微積分第三版課件第二章第六節(jié)例9設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù).且其中,點使得證由條件所設(shè)知函數(shù)在區(qū)間